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1、材料五：蒙特卡洛措施模拟期权定价1蒙特卡洛措施模拟欧式期权定价运用风险中性的措施计算期权定价：其中，是期权价格，是到期日T的钞票流，是风险中性测度如果标的资产服从几何布朗运动：则在风险中性测度下，标的资产运动方程为：对于欧式看涨期权，到期日欧式看涨期权钞票流如下：其中，K是执行价，r是无风险利率，是原则差， 是正态分布的随机变量。对到期日的钞票流用无风险利率贴现，就可懂得期权价格。例1 假设股票价格服从几何布朗运动，股票目前价格为50，欧式期权执行价格为52，无风险利率为0.1，股票波动原则差为0.4，期权的到期日为5个月，试用蒙特卡洛模拟措施计算该期权价格。下面用MATLAB编写一种子程序进
2、行计算：function eucall=blsmc(s0,K,r,T,sigma,Nu) %蒙特卡洛措施计算欧式看涨期权的价格%输入参数%s0 股票价格%K 执行价%r 无风险利率%T 期权的到期日%sigma 股票波动原则差%Nu 模拟的次数%输出参数%eucall 欧式看涨期权价格%varprice 模拟期权价格的方差%ci 95%概率保证的期权价格区间randn(seed,0); %定义随机数发生器种子是0, %这样保证每次模拟的成果相似nuT=(r-0.5*sigma2)*Tsit=sigma*sqrt(T)discpayoff=exp(-r*T)*max(0,s0*exp(nuT+s
3、it*randn(Nu,1)-K)%期权到期时的钞票流eucall,varprice,ci=normfit(discpayoff)%在命令窗口输入：blsmc(50,52,0.1,12/5,0.4,1000)2 蒙特卡洛措施模拟障碍期权定价障碍期权，就是拟定一种障碍值，在期权的存续期内有也许超过该价格，也也许低于该价格，对于敲出期权而言，如果在期权的存续期内标的资产价格触及障碍值时，期权合同可以提前终结执行；相反，对于敲入价格，如果标的资产价格触及障碍值时，期权合同开始生效。当障碍值高于目前资产价格，称上涨期权，反之称下跌期权。对于下跌敲出看跌期权，该期权一方面是看跌期权，股票价格是，执行价格
4、是K，买入看跌期权就一方面保证以执行价K卖掉股票，下跌敲出障碍期权相称于在看跌期权的基本上附加提前终结执行的条款，内容是当股票价格触及障碍值时看跌期权就提前终结执行。由于该期权对于卖方有利，因此其价格应低于看跌期权的价格。对于下跌敲出看跌期权，该期权一方面是看跌期权，股票价格是，执行价格是K，买入看跌期权就一方面保证以执行价K卖掉股票，下跌敲出障碍期权相称于在看跌期权的基本上附加提前终结执行的条款，内容是当股票价格触及障碍值时看跌期权就提前终结执行。由于该期权对于卖方有利，因此其价格应低于看跌期权的价格。对于下跌敲入看跌期权，该期权一方面是看跌期权，下跌敲出障碍期权相称于在看跌期权的基本上附加
5、提前何时生效的条款，内容是当股票价格触及障碍值时看跌期权开始生效。 当障碍值拟定期，障碍期权存在解：其中，运用上述公式编写下跌敲出障碍期权价格程序：function P=DownOutPut(S0,K,r,T,sigma,Sb)a=(Sb/S0)(-1+2*r/sigma2)b=(Sb/S0)(1+2*r/sigma2)d1=(log(Sb/K)+(r+sigma2/2*T)/(sigma*sqrt(T)d2=(log(Sb/K)+(r-sigma2/2*T)/(sigma*sqrt(T)d3=(log(S0/Sb)+(r-sigma2/2*T)/(sigma*sqrt(T)d4=(log(S
6、0/Sb)+(r+sigma2/2*T)/(sigma*sqrt(T)d5=(log(S0/Sb)-(r-sigma2/2*T)/(sigma*sqrt(T)d6=(log(S0/Sb)-(r+sigma2/2*T)/(sigma*sqrt(T)d7=(log(S0*K/Sb2)-(r-sigma2/2*T)/(sigma*sqrt(T)d8=(log(S0*K/Sb2)-(r+sigma2/2*T)/(sigma*sqrt(T)P=K*exp(-r*T)*(normcdf(d4)-normcdf(d2)-a*(normcdf(d7)-normcdf(d5) -S0*(normcdf(d3)-
7、normcdf(d1)-b*(normcdf(d8)-normcdf(d6)例2 同例1，运营：P=DownOutPut(50,50,0.1,5/12,0.4,40)P=4.0936运用蒙特卡洛措施模拟下跌敲出障碍期权价格程序：在模拟中我们给出模拟次数Nrepl，每次模拟时间分为Nsteps，障碍值为，其钞票流如下：当St不不小于时，CashFlow=0我们可以先模拟途径，然后让不小于途径的钞票流为0，程序如下：function P,aux,ci=DOPutMC(S0,K,r,T,sigma,Sb,NSteps,NRepl)NSteps每次离散时间数目NRepl模拟次数%模拟股价途径dt=T/
8、NStepsnudt=(r-0.5*sigma2)*dtsidt=sigma*sqrt(dt)randn(seed,0)rand=randn(NRepl,NSteps)rand1=nudt+sidt*randrand2=cumsum(rand1,2)path=S0*exp(rand2) 运用途径进行定价payoff=zeros(NRepl,1)for i=1:NRepl ax=path(i,:) if min(ax) AsianMC(50,50,0.1,5/12,0.4,5,50000)P = 3.9622aux = 5.9669CI = 3.9099 4.0145ans = 3.96224
9、等价鞅测度（内容参见247页）function eucall=blsmc(s0,kK,r,T,sigma,Nu)s0=50;K=52;r=0.1;T=5/12;sigma=0.4;Nu=1000;randn(seed,0);nuT=(r-0.5*sigma2)*T;sit=sigma*sqrt(T);discpayoff=exp(-r*T)*max(0,s0*exp(nuT+sit*randn(Nu,1)-K);disp(蒙特卡洛模拟成果)eucall,varprice,ci=normfit(discpayoff)SM=s0*exp(nuT+sit*randn(Nu,1);SM=s0*exp(
10、r*T)*SM/mean(SM);S1=max(0,SM-K);disp(风险中性下欧式看涨期权成果)Emscall,varprice,ci=normfit(S1)disp(欧式看涨期权解析解)blsprice(50,52,0.1,5/12,0.4)blsmc蒙特卡洛模拟成果eucall = 1.3035e-021varprice = 3.5526e-022ci = 1.0e-020 * 0.1281 0.1326风险中性下欧式看涨期权成果Emscall = 5.4320varprice = 9.8321ci = 4.8219 6.0422欧式看涨期权解析解ans = 5.1911ans = 1.3035e-021
5蒙特卡洛方法模拟期权定价
