弹性力学最新试题带答案

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1、1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各 向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。非均匀的各向同性体如：混凝土。【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和 土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性， 各向同性假定。【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和 岩质地基不可以作为理想弹性体。【1-3】五个基本假定

2、在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这 个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理 量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示 他们的变化规律。完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全 恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者 之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为 线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。均匀性假定：假

3、定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整 个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的， 因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此 假定后，物体的弹性常数不随方向而变。小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的 位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的 平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与 形变的关系时，它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计，

4、使得弹性力学中的微分 方程都简化为线性的微分方程。【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力 和正的面力的方向。解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向 为负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的 负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负 由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负面上应力分量与面力分量符号相 反。yyZy X77正商负

5、面负面正的应力 正的面力【1-5】试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。【解答】材料力学中规定切应力符号以使研究对象顺时针转动的切应力为正，反之为负。弹性力学中规定，作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正，作用于负坐标 面上的切应力以沿坐标轴负方向为正，反之为负。1-6】试举例说明正的应力对应于正的形变。O(z)【解答】正的应力包括正的正应力与正的切应力，正的形变包 括正的正应变与正的切应变，本题应从两方面解答。正的正应力对应于正的正应变：轴向拉伸情况下，产生轴向拉 应力为正的应力，引起轴向伸长变形，为正的应变。正的切应力对应于正的切应变：在如图所示应力状态情况下， 切应力均

6、为正的切应力，引起直角减小，故为正的切应变。1-7】试画出图 1-4 中矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向。解答】o-fylVyfy77.正的体力、面力正的体力、应力1-8】试画出图1-5 中三角形薄板的正的面力和体力的方向。解答】【1-9】在图1-3的六面体上，y面上切应力T的合力与z面上切应力T的合力是否相 yzzy【解答】切应力为单位面上的力，量纲为厶1MT-2，单位为N/m2。因此，应力的合力应乘以相应的面积，设六面体微元尺寸如dxxdyxdz，则y面上切应力T yz的合力为：t - dx - dz(a)yzz面上切应力T的合力为：zyt - dx - dy(b)zy由式(a) (b

7、)可见，两个切应力的合力并不相等。【分析】作用在两个相互垂直面上并垂直于该两面交线的切应力的合力不相等，但对某点 的合力矩相等，才导出切应力互等性。【2-9】试列出图2-17 ,图2-18 所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上,应用圣 维南原理列出三个积分的应力边界条件。图 2-18代入公式（2-15）得在主要边界上 x=0【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件,若为小边界也可写成圣维南原理的 三个积分形式,大边界上应精确满足公式（2-15）。解答】图 2-17：上（y=0）左(x=0)右（x=b）l0-11m-100f (s)x0p g(y + 件)_pg(y + q)f (s)y

8、p gh 100x=b 上精确满足应力边界条件：G) =_pg(y + h ), C ) = 0;x x =01 xy x =0G) =_pg(y + h ), C ) = 0;x x =b1 xy x =b在小边界y二0上,能精确满足下列应力边界条件：)=_pgh, C )= 0y y=0xy y=0在小边界y二h上,2能精确满足下列位移边界条件：（u ） = 0, （v ）= 0y =h2y =h2这两个位移边界条件可以应用圣维南原理,改用三个积分的应力边界条件来代替,当板厚5 =1时，可求得固定端约束反力分别为：F 二 0, F 二一p ghb,M 二 0s N 1由于y - h2为正面

9、故应力分量与面力分量同号则有:Jb G)k b c)20 y y=hJ b C) 2xy y=h2dx = _p ghb1xdx = 0dx = 0图 2-18lmf (s)x/ (s)yhy = _ 20-10qh y =-201一 qi0上下主要边界 y=h/2 ， y=h/2 上，应精确满足公式（2-15）(b )= _ q ,(t)= 0 , 9 )= 0 ,(t)= _ qy y=-h / 2yx y=-h / 2y y=h / 2yx y=h/21在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有Jh/2_h/2h/2_ h/2Jh/2I

10、 _h/2(t ) dx = _ Fxy x =0S(b ) dx = _ Fx x =0N(b ) ydx = _Mx x =0在x=l的小边界上，可应用位移边界条件U = 0,v= 0这两个位移边界条件也可x =lx =l改用三个积分的应力边界条件来代替。首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：工 F = 0, F + F = ql n F = ql - Fx N N 1 N 1 N 工 F = 0, F + F + ql = 0 n Fr = _ql - F y S SSSE ma=0,M+M f+2 ql 2 _ 2 吐=0 n M=芈 _M _ _

11、 普由于 x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故Jh/2 Q ) dy = F，= ql_F_h / 2 x x=lN 1 NJh/2 Q ) ydy =M=垫_M _Fl_坐_h/2 x x=l2 S 2Jh/2 (t ) dy =F，= -ql - Fxy x =lSS_h/22-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答：bxbOqyq图 2-20q a a qy图 2-21(a)图 2-20,s = b2 qx b2Q = T = 0y xy【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答,必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力

12、边界条件（2-15）。（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且fx = f = 0do 机Qq 3t孟+芥=0 舌+孟=0显然满足2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有等式左=d2d2+|o +Q2Qy 2 丿 xI =兽丰0 =右b2应力分量不满足相容方程。(b)图 2-21,M由材料力学公式，Q x =y，因此，该组应力分量不是图示问题的解答。T =筈（取梁的厚度b=l）,得出所示xy bIx3 y3q x2问题的解答:Q =-2q，t二-（h2 -4y2）。又根据平衡微分方程和边界条件xlh3xy 4 lh33q xyxy 3 q x得出：q y =光-吒-2厂试导出上述

13、公式，并检验解答的正确性。【解答】（1）推导公式在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1,高为h的矩形，其对中性h3轴（Z轴）的惯性矩I=，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程M (x)=-(x) =qx22l所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：M(x)y=-2q 皂lh3xy得：3F (x )s2bh I1-4y2h2lh3-4y2)根据平衡微分方程第二式（体力不计）。xydxxy3lh3根据边界条件y=h/2A 二一qx2lxy 3 q xlh32l将应力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式：左二-6q.x2ylh3+ 6qx2ylh3满足第二式自然满足将应力分量代

14、入相容方程（2-23）(cL-w羡-皿羡 o=右应力分量不满足相容方程。故，该分量组分量不是图示问题的解答。【3-9】图3-11所示的墙，高度为h,宽度为b, H ? B，在两侧面上受到均布剪力q的作用，试应用应力函数二AxY + Bx3y求解应力分量。【解答】按半逆解法求解。将应力函数代入相容方程（2-25）显然满足。由公式（2-24）求应力分量表达式，体力为零，有d 2 cc = 0，xdy 2c=20 = 6Bxy，Tydx 2xyd 2=t = A 3Bx 2yxdxdy考察边界条件：在主要边界x二-B 2上，精确满足公式（2-15）(c )= 0,(T )x x=-b / 2xy x

15、=-b/ 2=-q第一式自然满足，第二式为3-A 一一 Bb 2 = -q4(a)在主要边界 x=b/2 上，精确满足式(2-15)G )= o, C )= qx x=b / 2xy x=b / 2第一式自然满足，第二式为3一 A 一一 Bb 2 = -q4(b)在次要边界 y=0 上，可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件:Jb/2 （c ） dx = 0 满足-b/ 2 y y=0J b/ 2 （c ） xdx = 0 满足-b / 2 y y=0n/2()-b/2YX y=0dx3Bx2)Dx=- AB4Bb = 0-b/2c)联立（a） （c）得系数代入应力分量表达式，得12q=x

16、y,T=y b 2 xy3-10】设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力图 3-12矩作用，体力可以不计，l ? h (图3-12),试用应力函数二Axy + By2 + Cy3 + Dxy3求解应力分量。解答】采用半逆解法求解1) 将应力函数代入相容方程(2-25)，显然满足2) 由应力函数求应力分量，代入公式(2-24) 、c = 2 B + 6 By + 6 Dxy(a)x c = 0t = t =(A + 3Dy 2)xy yx(3)考察边界条件主要边界y = h/2上，应精确满足应力边界条件(c )= 0y y= h/2(t) = 0,xy y= h/ 2满足3得 A + 4 Dh

17、2 = 0在次要边界x=0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件Jh/2 (c ) dy = F nJh/2 (2 B + 6Cy )dy = F n B = Fh/2 x x=0Nh/2N2hJh/2 (c ) ydy = M nJh/2 (2 B + 6Cy)ydy = M n C = 2Mh/2Jh/2 (t ) dy =Fh/2 xy x=0s联立方程(b) (c)得xx=0-h/2nJh/2 (Ah/2h3+ 3Dy2 71 dy = F n Ah + 丄 Dh3 = F s4sb)c)A =辽,D =乞2hh3最后一个次要边界(x = /)上，在平衡微分方程和上述边界条件均

18、已满足的条件下是必然满足的，故不必在校核。将系数A、B、C、D代入公式(a),得应力分量F 12M12Fc = n y :r xyx hh3h3t=xy3Fl/T14F【3-6】试考察应力函数O =丽xy(3h2 -4y2)，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图 3-9 所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）d 4_ d 4d 4门+2+=0，显然满足ex 4ex 2oy 2dy 4（2）将代入式（2-24）,得应力分量表达式yxj =-! q = 0, T =Txh 3yxy（3

19、）由边界形状及应力分量反推边界上的面力：在主要边界上（上下边界）上，y = 2，应精确满足应力边界条件式（2-15），应力 Cj)= 0, C)= 0y y=h/2yx y=h/2因此，在主要边界y = 2上，无任何面力,即f y=丁2丿2h-在x=0, x=l的次要边界上，面力分别为:3Fx = 0： f = 0,f =y12 Fly -= h 3，y -3F2h J因此，各边界上的面力分布如图所示：x=l 上F =Jh/2 fdy 二 0N2-h/2xFh/2 fdy 二一FS2h/2yM 二 ih/2 f ydy 二-Fl2-h/2x在x=0, x=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形

20、式:x=0上x向主矢：F二卜/2 f dy = 0,N1一h12 xy向主矢：F = ih/2 fdy = F,-h/2 y主矩：M =卜2 f ydy = 0,1-h/2 x因此，可以画出主要边界上的面力， 和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：(a) (b)因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。【3-14】矩形截面的柱体受到顶部的集中力V2f和力矩M的作 用 ( 图 3-15 )， 不 计 体 力 ， 试 用 应 力 函 数二Ay2 + Bxy + Cxy3 + Dy3求解其应力分量。【解答】采用半逆解法求解。(1) 相容条件： 将应力函数代入相容方程(2-25)，显然满

21、足 求应力分量：将代入(2-24)(3) 考察边界条件。 、c = 2 A + 6Cxy + 6 Dyx c = 0yt = B 3Cy2xya) 在主要边界y = b/2上，应精确满足应力边界条件C )=0满足y y=b/ 2(t )xy y=b/ 2 在次要边界 x=0 上，可用圣维南原理3=-q, n B + Cb2 = q4写出三个积分应力边界条件b)J b /2 (c ) dy = - F -b/ 2x x=0(2 Ay + 3Dy 2) |b/2 =- F一 b/2c)Jb/2 (c ) ydy = -M-b/ 2 x x=0J b/2 (t ) dy = -F -b/2xy x=o联立(b)、(c)、(d)、(e)式得r 1)Ay 2 + 2 Dy 3k2丿- b/2(By Cy3 b/2=-Mlb/2 二F-b/2d)e)A = -，B =- 2bi r2，D =-学b3f)将各系数据(f)代入式(a),得应力分量解答F12 (o +xbb 2 (o=0y1(3FTq -xy2b、丿12Mxy F yy2