MBA数学必备公式(打印版)

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1、MBA联考数学基本概念和必备公式（一）初等数学部分一、绝对值1、非负性：即|a| 0，任何实数a的绝对值非负。归纳：所有非负性的变量（1） 正的偶多次方（根式） （2） 负的偶多次方（根式） （3） 指数函数 ax (a 0且a1)0考点：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零。2、三角不等式，即|a| - |b| |a + b| |a| + |b| 左边等号成立的条件：ab 0且|a| |b|右边等号成立的条件：ab 0 3、 规定会画绝对值图像二、比和比例1、 2、 合分比定理： 等比定理：3、增减性 (m0) , (m0)4、 注意本部分的应用题三、平均值1、当为n个正

2、数时，它们的算术平均值不不不小于它们的几何平均值，即当且仅当。2、3、4、n个正数的算术平均值与几何平均值相等时，则这n个正数相等，且等于算术平均值。四、方程1、鉴别式（a, b, c R）2、图像与根的关系= b24ac0= 00)x1 x2x1,2f(x) = 0根无实根f(x) 0 解集x x2XRf(x)0解集x 1 x 0= 00)x1 x2x1,2f(x) = 0根无实根f(x) 0 解集x x2XRf(x)0解集x 1 x 0且 0（2）ax2 + bx + c0对任意x都成立，则有：a0且 03、要会根据不等式解集特点来判断不等式系数的特点六、二项式1、，即：与首末等距的两项的

3、二项式系数相等2、，即：展开式各项二项式系数之和为2n3、常用计算公式4、通项公式() 5、展开式系数 5、 内容列表归纳如下：二项式定理 公式所示的定理成为二项式定理。 二项式展开式的特性 通项公式 第k1项为，k0，1，n 项 数 展开总共n1项指 数 a的指数：由；b的指数：由； 各项a与b的指数之和为n 展开式的最大系数 当n为偶数时，则中间项（第项）系数最大； 当n为奇数时，则中间两项（第和项）系数最大。 展开式系数之间的关系 1，即与首末等距的两项系数相等； 2，即展开式各项系数之和为； 3 ，即奇数项系数和等于偶数项系数和 七、数列（二）微积分部分一、函数、极限、持续1、单调性：

4、（注意严格单调与单调的区别） 设有函数y = f(x)，x D，若对于D中任意两点x1，x2(x1 x2)，均有f(x1) f(x2)(或f(x1) f(x2)，则称函数f(x)在D上单调上升(或单调下降)。若上述不等号为严格不等号“”)，则称函数f(x)在D上严格单调上升(或严格单调下降)。2、奇偶性： （1）定义： 设函数y = f(x)的定义域D有关原点O对称，若对于D中的任一种x，均有f( x ) = f(x) (或f( x) = f(x)，则称函数f(x)为奇函数(或偶函数)。（2）图像特点：奇函数图像有关原点对称，偶函数图像有关y轴对称，函数y0既是奇函数，也是偶函数。3、4、常用

5、等价无穷小：当x0时，有ex1x ln(1x)x (1x)n1nx引申：当a(x) 0时，ln(1a(x)e(x)1a(x)，(1a(x)n1na(x)5、当x+时，增长速度由慢到快排列：lnx，x，x，xx 6、7、闭区间上持续函数的性质（1）最值定理一种闭区间函数一定在某一点，达到最大值，在某一点达到最小值。（2）零值定理设f(x) C(a,b)，且f(a).f(b)0，。注意：零点定理只能阐明存在性不能阐明唯一性。应用：f(x) = 0 是一种方程，证明它在某一种区间上一定有根。二、一元函数微分学1、导数的数学定义式 2、可导与持续的关系 3、左右导数4、导数的几何意义设点M0(x0 ,

6、 f(x0)是曲线y = f(x)上的上点，则函数f(x)在x0点处的导数f (x0)正好是曲线y=f(x)过M0点的切线的斜率k，这就是导数的几何意义。（1） 切线方程，（2）切线平行x轴切线方程：y = f(x0)，法线方程：x = x0(3) 切线平行y轴切线方程：x = x0，法线方程：y = f(x0)6、 常用函数求导公式f(x)CXaaxexloga|x|ln|x|f(x)0axa-1axlnaex6、7、高阶导数（掌握二阶导数即可）常用函数的二阶导数f(x)CXaaxexLoga|x|ln|x|f(x)0axa-1axlnaexf(x)0a(a-1)xa-2ax(lna)2ex

7、8、可导、可微、持续与极限的关系可导一定持续，持续不一定可导极限 持续 可导 可微可微9、奇偶函数，周期函数的导数（1）可导的偶函数的导函数为奇函数，且f(0) = 0（2）可导的奇函数的导函数为偶函数（3）可导的周期函数的导函数仍为同周期函数10、微分公式（*核心*）：11、A12、判断函数的增减性，求函数单调区间（1）单调性定义（2）鉴别措施：用f (x)判断注意：设f(x)在(a，b)区间内可导则f(x)在(a，b)内严格单调增长(减少)的充足条件是f(x)0(f(x)0)13、极值点的定义（局部最大或局部最小）（1）定义：设yf(x)，若对x(x0d，x0d)均有f(x)f(x0)(f

8、(x)f(x0)则称x0为f(x)的极大值点(极小值点) ，f(x0)为极大值(极小值)。 （2）鉴定措施：两个充足条件第一充足条件：若f(x)在x0处持续，在x0的邻域内可导，且当x0,(f(x) x0时，f(x)0)，则称x0为极大值点(极小值点)。第二充足条件：设f(x)在x0点的某一领域内可导且f(x0)0，f(x0)0注意：，有也许为极值，也也许不是极值。（3）极值存在的必要条件若x0为f(x)的极值点，且f(x0)存在，则f(x0)0注：f(x0)0不能推出x0为f(x)的极值点如：yx3 ，在x0处必有y0 14、驻点(稳定点)（1）（2）15、函数的最值及其求解（1）若f(x)

9、在a，b上持续，则f(x)在a，b上必有最大值、最小值（2）设函数f(x)在a,b上持续，在(a,b)内有一种极值点x，则若x是f(x)的极大值点，那么x必为f(x)在a,b上的最大值点；若x是f(x)的极小值点，那么x必为f(x)在a,b上的最小值点。（3）求最值的措施 （最值是a,b整体概念，极值是局部概念） (a)求f(x)在(a,b)内所有驻点和导数不存在的点(b)求出以上各函数值及区间a,b端点的函数值(c)比较上述数值，最大的为最大值，最小的为最小值最大值：M:maxf(a)，f(b)，f(x1)，f(x0)最小值：m:minf(a)，f(b)，f(x1)，f(x0)其中：x1，x

10、0为f(x)所有也许的极值点16、驻点、极值点、最值点的联系与区别驻点 边界 17、函数的切线与法线切线与法线求法18、函数凹凸性及其鉴定（1）凹弧（a）定义：如果曲线在其任一点切线之上，称曲线为凹弧（b）凹弧的切线斜率随着x的增大而增大，即f(x)单调递增（c）设f(x)在(a，b)上二阶可导，f(x)为凹弧的充要条件为f(x) 0 x(a,b)(2)凸弧（a）定义：若曲线在其任一点切线之下，称曲线为凸弧（b）凸弧的切线斜率随着x的增大的而减小，即f(x)单调递减（c）设f(x)在(a,b)二阶可导，f(x)为凸弧的充要条件为f(x) 0(3)常用函数的性质f(x) ax(a1) ax(0a

11、1) logax(0a1) f(x) ax lna axlna f(x) ax(lna)2 ax(lna)2 图像 性质增，凹减，凹增，凸减，凹19、拐点及其鉴定（1）定义：曲线上凸弧与凹弧的分界点称为拐点。二阶导数从不小于0到不不小于0，或从不不小于0到不小于0，中间的过渡点称为拐点。（2）必要条件：f(x)存在且(x0，f(x0)为拐点，则f(x0)0（3）充足条件：若f(x0)0，且在x0的两侧 f(x)异号，则(x0，f(x0)是拐点三、一元函数积分学1、不定积分与导数的关系 2、基本初等函数的不定积分公式（1）（2）（），（3） （4），（5）（6）（7）4、5、奇偶函数的积分 四、

12、多元函数1、偏导的定义设函数z = f(x, y)定义在P0(x0, y0)点的一种邻域内，若将y固定在y0，作为x的函数f(x, y0)在x0点处的导数称为函数f(x, y)在P0(x0, y0)点处对x的偏导数，记作2、一般极值（1） （2） （4）（三）线性代数部分一、矩阵1、矩阵的乘法一般没有互换律，即；常用可互换矩阵：(1) 逆A-1：AA-1=A-1A=E(2) 单位矩阵E：AE=EA=A(3) 数量矩阵kE：A(kE)=(kE)A=kA(4) 零阵0：A0=0A=0(5) 幂：AmAn= An Am=Am+n(6) 随着A*：A A*= A*A=|A|E (重要)2、，当且仅当A

13、或B可逆时才成立；对于，应当结识到B的每一列都是齐次方程组AX0的解，若，则齐次方程组有非零解；3、，当且仅当A可逆时，才成立；4、，当且仅当A可逆时，有AE；当AE可逆时，有A0；，仅当A为对称矩阵，即时，命题才成立；5、注意数乘矩阵和数乘行列式的区别：。6、列表对比矩阵的逆、转置和随着的公式逆转置随着一般一般互换性：，；即这四种符号（-1，T，*，k）可以进行互换，以简化运算。7、重要结论与公式（2） A与B的行向量互相等价 不变化列向量的线性关系（一般用初等行变换求矩阵的秩） r（A）=r（B）（4）类似 |x+y|x|+|y| P(A+B)P(A)+P(B) P(A+B)=P(A)+P

14、(B)-P(AB)P(A)+P(B)（5） （6） B可逆r（AB）=r（A）B不可逆r（AB）n时，则其线性有关. 三、线性方程组（一）有关方程组解的性质（二）具有参数的线性方程组的求解。1齐次线性方程组AX0解题提示：对系数矩阵A进行初等变换，化成阶梯型，然后按两步进行讨论：（1）线性方程组只有零解，即r(A)n；（2）线性方程组有非零解，即r(A)0时若A与B互相独立，则A与B必不互斥(独立不互斥)若A与B互斥，则A与B必不独立(互斥不独立)注意：与任事件即互斥也独立8.判断A与B互相独立的充要条件(1)定义P(AB)=P(A)P(B)(2)P(B|A)=P(B) (P(A)0)或P(A

15、|B)=P(A) (P(B)0)，即：B的发生不受A的影响(3)0P(A)1即：A发生与否不影响B的概率P(AB)-P(A)P(AB)=P(A)P(B)-P(A)P(AB) P(AB)=P(A)P(B)四组事件中，若其中一组互相独立，则其他三组也互相独立，则其他三组也互相独立 (6)求“n个事件至少有一种发生时”转化为其对立事件“都不发生”9独立实验序列(1)贝努里：n次实验中成功k次的概率：(2)直到第k次实验，A才初次发生：(3)做n次贝努里实验，直到第n次，才成功k次：二、随机变量部分1、常用随机变量的分布表如下：随机变量EXDX密度函数f(x)离散型0 1 分布PP( 1 P )Px

16、= k=Pk(1-P) 1-k,k=0,1二项分布nPnP(1 P )持续型正态分布u原则正态分布u = 02、离散型随机变量（1）分布律Pk=P(X=Xk)，k=1，2，Xk x1 x2 xk Pk P1 P2 Pk （2）分布律的性质(1)有界性：0Pk1应用：求待定参数值，注意求完参数要验证3、二项分布（1）定义 （2）各参数的意义参数n：实验次数为n次；参数P：每次实验成功的概率参数k：n次实验中成功k次（3）二项分布产生的背景可以是n重贝努利实验，若用X表达n重被努力实验中事件A发生的次数，则X服从参数为n,p的二项分布，其中p是一次实验中事件A发生的概率。，4、分布函数F(X) F

17、(X)=P(Xx)(1)定义：F(X)在x处函数值表达点X落入区间(-，x上的概率(2)公式：P(x1Xx2)=P(Xx2)-P(Xx1)=F(x2)-F(x1)(3)分布函数性质：1)值域：0F(X) 12)极限性质()，应用：求参数值3)单调性：单调不减(单调增)即若x1x2，有F(x1) F(x2)4)F(x)右持续注意：前四个性质，用来判断函数与否为分布函数5)P(X=x)=F(x)-F(x-0)6)对于x1x2，有 P(x1Xx2)=F(x2)-F(x1)7)对x1 x2，F(x)在x1， x2处持续P(x1Xx2)=P(x1Xx2)=P(x1Xx2)=P(x1Xx2)=F(x2)-

18、F(x1)5、持续型随机变量密度函数f(x)的性质(1)非负性：f(x) 0，即f(x)与x轴所围面积为1应用：求待定参数值注意：前两个性质用来判断函数与否为密度函数的原则(3)对于x1x2有P(x1Xx2)=P(x1Xx2)=P(x1Xx2)=P(x1Xx2)6、正态分布XN(m，s2)(1)正态分布密度函数(2)f(x)图像特点ma) 密度函数的曲线有关x = 对称，是正态分布的位置参数b) 它在x = 时取到最大值P() = 越大，密度函数的取值越小；越小，其值越大，由于密度函数曲线与x轴之间的面积总是1，因此越大表白密度函数的曲线越矮越胖，而越小，密度函数的曲线越瘦高。c) x离越远，

19、P(x)的值越小，表白对于同样长度的区间，区间离越远，X落在这个区间上的概率越小。d) ，这一条性质非常有用，应好好掌握。e) P(Xm)=P(Xm)f) 盼望EX=m7、一般正态分布的原则化（非常重要）8、密度函数f(x)为偶函数的重要结论(2)F(-a)=1-F(a)-a aF(-a) 1-F(a)(3)P(|X|0)分析：P(|X|a)=P(-aXa)=1-P(|X|a)=2(1-F(a)(5)若EX存在，则EX=09、数学盼望有如下重要性质：(1) 若C为常数，则E(C) = C.(2) 若X为一种随机变量，C为常数，则E(CX) = CE(X).(3) 若X为一种随机变量，C和k为常

20、数，则E(kx + C) = kE(x) + C.(4) 若X,Y是两个随机变量，则有E(X + Y) = E(X) + E(Y)有性质(2)和性质(4)，我们可以得到如下结论：若X1,X2Xk为k个随机变量，C1,C2,Ck为常数，则(5) 设Y是随机变量X的函数：Y= g(X),其中g是持续函数，则有关随机变量Y的数学盼望，有如下结论： 10、 方差及性质 (1) 若C为常数，则D(C) = 0,即常量的方差等于零。 (2) 若k为常数，X为一种随机变量，则D(kX) = k2D(X). (3) 若C为常数，X为一种随机变量，则D(X+C) = D(X). (4) 若k和C为常数，X为随机

21、变量，则D(kX + C) = k2D(X).11、原则差数学盼望EX方差DXEC=C （C为常数）DC=0E( kX) = kEXD( kx ) = k2DXE( X+C) = EX+CD( X+C) = DXE(XY) = EXEY（独立）DX = EX2-(EX)2 （重要）科 目结论初 数（1）n个正数的算术平均值与几何平均值相等时，则这n个正数相等，且等于算术平均值。（2）奇多次方程在定义域内至少有一种实数根。微积分（1）持续函数必然有原函数（注意：不一定有极值！）（2）奇（偶）函数的导数必然为偶（奇）函数（3）奇函数的原函数必然为偶函数（4）周期函数的导数必然是周期函数，最小正周期不变线 代（1）对于AX0，当mn时，必然有无穷多解（非零解）（2）对于AX,当mn时，必然没有唯一解（3）零向量必然与任何向量线性有关（4）若两个线性无关的向量组互相等价，则它们涉及的向量的个数必然相等 （5）数量矩阵可以与任何矩阵相互换概 率（1）空集必然与任何事件既互相独立也互斥（2）A、B不为,不也许事件 若A、B互斥，则A、B必然不互相独立 若A、B独立，则A、B必然相容（3）离散型随机变量中只有几何分布不具有记忆性，持续型随机变量中只有指数分布不具有记忆性（4）概率中的必考分部公式：正态分布