利用 Matlab作回归分析

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1、利用 Matlab 作回归分析一元线性回归模型：y 二 a + px + , N(O,g2)求得经验回归方程：y 二a + p x统计量：总偏差平方和：SST = 丫 (y -刃2，其自由度为f二n -1 ； iTi=1回归平方和：SSR二工(y - y )2，其自由度为f = 1 ；iRi=1残差平方和：SSE =工(y -y )2，其自由度为f = n-2 ；i iEi=1它们之间有关系： SST=SSR+SSE。一元回归分析的相关数学理论可以参见概率论与数理统计教 程，下面仅以示例说明如何利用Mat lab作回归分析。【例1】为了了解百货商店销售额X与流通费率(反映商业活动 的一个质量指

2、标，指每元商品流转额所分摊的流通费用)y之间 的关系，收集了九个商店的有关数据，见下表 1.试建立流通费 率 y 与销售额 x 的回归方程。表 1 销售额与流通费率数据样本点销售额x(万元)流通费率y11.57.024.54.837.53.6410.53.1513.52.7616.52.5719.52.4822.52.3925.52.2【分析】：首先绘制散点图以直观地选择拟合曲线，这项工作可 结合相关专业领域的知识和经验进行，有时可能需要多种尝试。 选定目标函数后进行线性化变换，针对变换后的线性目标函数 进行回归建模与评价，然后还原为非线性回归方程。【Matlab 数据处理】：【Stepi】：

3、绘制散点图以直观地选择拟合曲线x=1.5 4.5 7.5 10.5 13.5 16.5 19.5 22.5 25.5;y=7.0 4.8 3.6 3.1 2.7 2.5 2.4 2.3 2.2; plot(x,y,-o)输出图形见图 1 。图 1 销售额与流通费率数据散点图根据图 1，初步判断应以幂函数曲线为拟合目标，即选择非 线性回归模型，目标函数为：y 二 axb (b F)q 0 ；模型方差的估计值.2 - SE - 0.0012。n-2【注】：严格来讲，模型评价工作应在逆线性化变换后进行；但 是，若所建立的线性回归方程不理想，则相应的非线性回归方 程必定不理想。【Step3】：拟线性化

4、变换求非线性回归方程(若选择为非线性 模型)% 逆线性化变换A=exp(b(1)B=b(2)运行结果为： A = 8.5173； B =-0.4259。即非线性回归方程为：y - 8.5173x-0.4259 。多元回归模型多元线性回归模型(p1):y =卩 + 卩 x + 卩 x H卩 x + 8 , 8 口 N(0Q 2)0 1 1 2 2 p p 求得经验回归方程：y =卩+卩x +卩x H卩x0 1 1 2 2 p p 统计量：总偏差平方和：SST =工(y - y)2，其自由度为f = n -1 ；iTi=1回归平方和：SSR =工(y -y)2，其自由度为f = p ；iRi=1残

5、差平方和：SSE =(y -y )2，其自由度为f = n-p-1 ；i iEi=1它们之间有关系： SST=SSR+SSE。 多元回归分析的相关数学理论可以参见多元数据分析，下面 仅以示例说明如何利用Mat lab作多元回归分析。【例 2】参见教材 P294： 10.1 牙膏的销售量。下面只描述运行程序的过程，应该按照规定格式书写报告】。符号说明：x ：表示价格差；1x ：广告费用；2y ：销售量。【Stepi】：绘制散点图以直观地选择拟合曲线 clear x1=-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0

6、.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55;x2=5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.506.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.507.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80;y=7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.898.15 9.1

7、0 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.008.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26;h1=figure;plot(x1,y,+);h2=figure;plot(x2,y,o);图1 y对x1的散点图75109.598.587.55.566.5y77.5图2x2的散点图分析图 1 ，可以发现，随着 x1的增加，y的值有比较明显的线性增长趋势； 分析图2,当x增大时，y有向上弯曲的趋势，可用二次多项式进行逼近；因此可以选择如下方程作为初步的回归模型：y =卩 +卩 x +卩 x +卩 x2 + , N(u,Q

8、2)0 1 1 2 2 3 2【Step2】：模型求解(理论方法：最小二乘法)alpha=0.05;v二ones(leng th(x1),1) x1 x2(x2.八2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,v,alpha)计算结果：b = 17.3244 1.3070 -3.6956 0.3486bint =5.728228.92060.68291.9311-7.49890.10770.03790.6594r = -0.0988-0.0795-0.1195-0.04410.4660-0.0133 0.2912 0.2735-0.23510.1031-0.40330.17

9、470.0400-0.1504 0.1284 0.1637-0.0527-0.1907-00870-0.0165-0.1292-0.3002 -0.2933 -0.1679-0.21770.1116030350.06930.24740.2270rint =-.52700.3294;-0.53090.3718;-0.5106 0.2716;-0.47310.3848;0.08130.8507;-0.46090.4343;-0.1374 0.7197; -0.0870 0.6340; -0.59600.1258;-0.3280 0.5341; -0.81900.6112;-0.40320.4832

10、; -0.59330.5775;-0.28410.6116; -0.48300.2434;-0.53480.3609; -0.44230.3024;-0.71810.1177; -0.72430.2190;-0.64490.2095; -0.29940.7106;-0.37140.5099; -0.18070.64300.0125; -0.26180.2925; -0.32070.3776; -0.62480.4092; -0.56090.1377; -0.55480.5226; -0.10370.6755; -0.1890stats = 0.9054 82.9409 0.0000 0.049

11、0【St ep3】结果分析回归模型为：y 二 17.3244+1.3070x -3.6959x + 0.3486x2122从结果数据来看，模型整体可用。但也有缺陷，可以改进【St ep4】销售量的预测设需要预测的点为：x = (x ,x ，,x )，0 01 02 0 p则预测值为y = P + 卩 x + 卩 x H卩 x0 0 1 01 2 02 p 0 p *2 =E,A= ；1 + + n - p -1nni=1 j=1(x x)(x x )c , x =- x0ii0 jj ij i n kik=1(c) = (XT X)-1，ij Px P则在 x 处的区间预测为 0(y -1 _

12、 (n - p - 1)d *A , y +1 _ (n - p - 1)d *A)0(1-a)0(1-a)模型改进】：当两个因素是不独立时，引入交叉项 x x ，新的12回归模型为y = P + P x + P x + P x2 + P x x + 0 11 2 2 3 2 412alpha=0.05;v二ones(leng th(x1),1) x1 x2(x2.八2)(x1.*x2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,v,alpha)输出结果：b = 29.1133 11.1342 -7.6080 0.6712 -1.4777 bint =13.701344.52

13、52;1.977820.2906;-12.6932 -2.5228; 0.2538 1.0887; -2.8518-0.1037r = -0.0441; -0.1229; 0.0299; -0.0745;0.3841;-0.0472;0.2331;0.0287;-0.0661;0.0297;-0.4372;0.1763;0.0356;-0.1382;0.1027;0.1270;0.0048;-0.1435;-0.1016;0.0050;-0.0389;-0.1334;-0.3272;-0.3274;-0.2102;0.1412;0.3250;0.1096;0.2342;0.2455rint =

14、 -0.4425 0.3542; -0.5408 0.2951;-0.31010.3698;-0.47360.3247;0.02450.7437;-0.46400.3695;-0.16740.6337;-0.23690.2943;-0.37510.2430;-0.36910.4284;-0.8118-0.0627;-0.23060.5832;-0.37880.4499;-0.55210.2757;-0.31720.5226;-0.29170.5456;-0.39440.4039;-0.54900.2621;-0.51930.3160;-0.39260.4026;-0.43600.3582;-0

15、.50450.2378;-0.72120.0667;-0.6326-0.0221;-0.60850.1881;-0.23980.5223;-0.04840.6984;-0.29880.5181;-0.16500.6335;-0.13910.6302stats = 0.9209 72.7771 0.0000 0.0426结果分析：效果更好。逐步回归方法要点：【Stepi】根据问题所属专业领域的理论和经验提出对因变量可 能有影响的所有自变量；【St ep2】计算每一个自变量对因变量的相关系数，按其绝对值 从大到小排序；【St ep3】取相关系数绝对值最大的那个自变量建立一元线性回归模型，检验所得回

16、归方程的显著性，若检验表明回归效果则转 入【Step4】，若检验表明回归效果不显著则停止建模；【St ep4】进行变量的追加、剔除和回归方程的更新操作。Matl ab 命令：【命令1 】：stepwisefit【调用格式】：b,se,pval,inmodel,stats,nextstep,history=stepwisef it(x,y, param1 ,value1, param2,value2, )【参数说明】：X： p个自变量的n个观测值的nxp矩阵；Y：因变量的n个观测值的n x 1矩阵；penter：设置回归方程显著性检验的显著性概率上限，缺 省值为0.05；premove：设置回归

17、方程显著性检验的显著性概率下限， 缺省值为0.10；display用来指明是否强制显示建模过程信息，取值为 on（显示，缺省设置）和off （不显示）。例 4：某种水泥在凝固时放出的热量 （ 单位：卡/ 克 ）Y 与水泥 中的四种化学成分所占的百分比有关，现测得13 组数据如下表：编号X1X2X3X4Y172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.

18、3131068812109.4作回归分析。【Ma tl ab程序】clear clc load haldb,se,pval,inmodel,stats,nextstep,history=stepwisefit( ingredients,heat,penter,0.10,display,off);% 自变量的筛选和模型参数估计信息inmodel,b0=stats.intercept,b% 回归方程显著性整体检验信息Allp=stats.pval,rmse=stats.rmse% 回归方程显著性分别检验信息P=stats.PVAL输出结果：inmodel = 1 1 00；b0 = 52.5773

19、；b = 1.4683 0.66230.2500 -0.2365 ；Allp = 4.4066e-009；rmse =2.4063；P = 0.0000 0.0000 0.20890.2054 。结果分析：最优回归方程为y 52.5773 + 1.4683x + 0.6623x， 回归方程显著性12整体检验和分别检验均为高度显著，模型标准误差估计为2.4063。【命令2】：stepwise调用格式】：stepwise（x,y,inmodel,penter,premove）【说明】：创建多元线性回归分析的逐步回归法建模的交互式图 形环境。【图形界面说明】：窗口1： Coefficients wi

20、th error Bars绘出各个解释变量回归系数的估计，圆点表示点估计值，横线表示置信区间（有色线段表示90%置信区间，黑色线段表 示95%置信区间）。窗口的右侧给出回归系数的点估计值（Coeff）、显著性检验的t统计量的值（t-test）和显著性概率p值（p-val）.窗口2： Model History该窗口绘出的圆点表示历次建模的模型标准差o的估计。两个窗口中间输出的是当前模型的有关信息，包括：Int erce p t ：模型截距（常数项）的估计；RMSE：模型标准差o的估计;R-square :可决系数；Adj-R-sq :校正可决系数;F：模型整体性检验的F统计量的值;p：模型整体性检验的显著性概率。窗口 I右侧的三个按钮：Next St ep:在回归方程中按相关系数绝对值大小逐次引入解释变量，如无解释变量可引入时，按钮不可用；AllSteps：直接给出“只进不出”方式建模的最终结果（注意，此时的回归方程未必是最优回归方程）；Expor t：选择向Workspace传输的计算结果（有关变量名可由用户自定义）stepwise（ingredients,heat,1 1 1 1,0.05,0.10）;