工程电磁场理论与应用讲义

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1、第 3 章 电磁场分析的数学模型3.1 电磁场控制方程的表述电磁场数值分析的具体任务，就是要求解一个与特定问题相联系的偏微分方程定解问题。根据 数学物理方程的理论，所谓定解问题指的是在某一确定区域内成立的微分方程加上定解条件。对于 静态电磁场问题，或者可化为复数计算的正弦稳态电磁场问题，定解条件就是微分方程中的未知函 数在该区域边界上所满足的条件，亦即边界条件；对于时变电磁场问题，则定解条件除了边界条件 以外，还包括整个区域未知函数在初始时刻的值，亦即初始条件。针对这一定解问题的求解，发展 了如上节所述的各种解算方法。因此，为了得到正确的解答，第一步工作就是要写出定解问题的表 达式，也就是建立

2、特定电磁场问题的恰当的数学模型。定解问题中的偏微分方程通常称为控制方程。 选择哪种物理量作为控制方程中的未知函数，建立什么形式的微分方程，将影响问题求解的难易程 度。本节将从麦克斯韦方程组出发，介绍各种情况下电磁场控制方程的表述方式。3.1.1 麦克斯韦方程组54100 多年前，麦克斯韦对前人在实验中得出的电磁场的基本定律进行了数学上的总结和提升， 引入了位移电流的概念，创立了后来以其命名的方程组，完善了电磁场理论。其著作 Treatise on Electricity and Magnetism成书于1873年。从理论框架上看，麦克斯韦方程组加上洛仑兹力的计算 公式，合起来构成了静止及运动媒

3、质中电动力学的基础，概括了发电机、电动机和其它电磁装置的 工作原理，也概括了电磁波的发射、传播和接收的原理。科学技术发展的实践证明，描述电磁场宏 观性质的麦克斯韦方程组正确反映了电磁场中各物理量之间的相互关系，是电磁场的基本方程。在大学普通物理和电类专业的电工原理课程中，都对麦克斯韦方程组作了基本的介绍。本节主 要从电磁场数值计算的需要出发来加以说明。麦克斯韦方程组的微分形式可以表述为：(3-1) (3-2)(3-3)V-B = 0(3-4)式中，H、B、D、E、J、p分别为磁场强度（A/m）、磁感应强度（或称磁通密度，T）、电位移（或 称电通密度，C/m2）、电场强度（V/m）、电流密度（A

4、/m2）和电荷密度（C/ m3）。式（3-1）右端第 二项QD/61具有电流密度的量纲，称为位移电流密度。事实上，上面的四个方程并不是独立的，可 以证明（见文献54第 1.3节），后两个方程（式（3-3）和（3-4）是基于高斯定理和斯托克斯定理 从前两个方程导出的。前两个方程，即式（3-1）和（3-2），分别称为麦克斯韦第一方程和第二方程 在这两个矢量方程中，含有5个独立的矢量函数，为了得到确定的解答，还需要增加3个独立的矢 量方程，这就是(3-5)(3-6)在电源以外区域，有J E(3-7)其中、卩、Q分别为介电常数(或称电容率)、磁导率和电导率。式(3-5)(3-7)说明了 5个场 矢量之

5、间的关系，通常称为电磁性能关系式，或本构方程。对于方程(3-1) (3-7)，如果假设所有场矢量的分量在所考察点的邻域内是连续可微的，且 在该邻域内媒质的电磁参数、卩和Q是线性、各向同性的，则这些参数可以分别用一个标量来表示。 对于非线性和(或)各向异性媒质，则情况要复杂得多，这将在以后的章节中详述。如果所研究的 场域内包含不同的媒质，则在媒质的交界面上电磁参数和场矢量都将发生突变，从而在这种交界面 上麦克斯韦方程组的微分形式将不再适用，此时可以采用其积分形式来研究场矢量在交界面上的特 性。与式(3-1) (3-4)的微分形式相对应，麦克斯韦方程组的积分形式为(3-8)(3-9)(3-10)(

6、3-11)J H - dl = J + 辺dis J dt 丿j E - dl = - 6 J B - dsi6t sJ D - ds = J p dv = qsVJ B - ds = 0s其中，式(3-8)正是全电流定律，式(3-9)是电磁感应定律，式(3-10)和(3-11)则分别对应于 电场的通量定律和磁场的磁通连续性定律。麦克斯韦方程组是解决各种电磁场问题的出发点，但是由于包含了 5个矢量未知函数，它的直 接求解比较困难。在电磁场数值分析中，通常需要引入不同的电位和磁位作为辅助函数，从而使计 算得到简化。3.1.2 场矢量和位函数的微分方程在麦克斯韦第一方程和第二方程中，磁场与电场的场

7、矢量是互相耦合的，本节首先将磁场与电 场解耦，假设所研究区域内媒质为线性、各向同性，并设不包含电源区，且自由电荷体密度为零， 在这种条件下推出单一场矢量满足的微分方程，然后给出不同规范下的电磁位方程。1. 场矢量的微分方程对式( 3-1)取旋度，有6D6VxVx H = Vx J + Vx= Vx J + Vx D6t6t考虑到电磁性能关系式(3-5)、(3-6)、(3-7)，并代入麦克斯韦第二方程(3-2)，容易推出VxVx B 二阳逻憾聖B(3-12)01d t2根据矢量分析恒等式VxVx B = V（V- B） V 2B并考虑到 B 的散度为零, 式（3-12）就成为V 2 B 凹更眩聖

8、B = 0（3-13）0t0t2同样，对式（3-2）取旋度，并代入麦克斯韦第二方程（3-1），按照相似的推理方式，可以得出V2E pgE 眩 0E = 0（3-i4）0t0t2由于B = rH、J =q E，且在线性、各向同性媒质中卩、b皆为常数，因此将式（3-13）、（3-14） 分别乘以1/卩和b，可以直接得出V 2 H bH 眩兰冬=0（3-15）010120J02JV2J -陆 J = 0（3-16）01012式（3-13）、（3-14）、（3-15）和（3-16）就是由场矢量B、E、H和J单独满足的微分方程，它们均 属于一般化齐次波动方程，并且均为矢量方程。不过，如果直接求解这些方程

9、，在很多实际问题中 并不方便，而且不容易给出恰当的边界条件。为了简化计算，可以引入电磁位作为辅助函数建立微 分方程。2时变电磁场中的电磁位根据式（3-3）, B的散度恒等于零，故可定义一个新的矢量函数A,令B = Vx A（3-17）显然式（3-17）与式（3-3）相容，因为旋度场的散度为零。A称为矢量磁位。将式（3-17）代入（3-2）, 同时考虑到时间导数和旋度的运算顺序可以交换，就得出（0A、V x E H= 0（3-18）I0t丿丿上式括号中的二项之和构成一个无旋的矢量场，由于无旋场可以表示成一个标量函数的梯度，因此 可推出0AE = VQ（3-19）0t0称为标量电位。将式（3-18

10、）和（3-19）代入方程（3-1）和（3-4），并考虑到电磁性能关系式（3-5）和（3-6），就得到Vx Vx A +二卩 J01d t2(3-20)0ts(3-21)可以看出，若能在某一定解条件下由方程（3-20）、（3-21）得到A和e的一组解答，则根据式（3-18）和（3-19），场矢量B和E就完全确定；但对应于确定的B和E,通过式（3-17）、（3-19）定义的A 和e却并不是唯一的。这是因为，如果令(3-22)(3-23)则将式（3-22）、（3-23）代入（3-17）、（3-19），容易得出B=VxA(3-24)(3-25)这就证明对于满足条件（3-40）、（3-41）的任意一组矢

11、量磁位和标量电位A和e，有唯一的B和E与之对应。式（3-22）、（3-23）的变换称为规范变换，其中屮是空间坐标的任意标量函数，称为规 范函数。由规范变换所决定的B和E的不变性称为规范不变性。在以上讨论中，电磁位的多值性是 因为虽然式（3-17）规定了 A的旋度，但是A的散度尚未确定。A与e的任意性允许任意选择V-A，为了简化计算，存在着几种常用的选择，下面将分别讨论。3电磁位的波动方程，洛仑兹规范当所研究的区域内不存在导电媒质，且电流密度J为已知函数时，取洛仑兹规范）(3-26)将式（3-26）代入（3-20），有(3-27)利用矢量微分关系式式（3-27）化简为3 2 AV2 A 憾J(3

12、-29)3t2将式（3-26）代入（3-21），则有V2 憾 绅=P（3-30）d t2s式（3-29）、（3-30）即为 A 与 满足的非齐次波动方程。由于这两个方程解的时间变化滞后于场源 的变化，因此称解出的A与为延迟电磁位，可用于研究电磁波的辐射问题。式3-26）对V-A的 规定称为洛仑兹规范。可以看出，由于应用了洛仑兹规范，使原本存在耦合关系的方程（3-20）和（3-21）解耦，成为 A 与 单独满足的微分方程。4电磁位的涡流方程，电导率规范在时变电磁场中，如果求解区域内存在导电媒质，则在其中将感应涡流。在许多工程问题中，特别是在电气设备、电力传输和生物医学等领域，时变电磁场的频率较低

13、（通常低于101（Hz）,此时 3D麦克斯韦方程（3-1）右端的两项中，位移电流密度与传导电流密度J相比较可以忽略不计，这3t类电磁场通常称为涡流场。在涡流场中，传导电流密度J可以分为两种情况，其一是作为已知函数 的源电流密度，记为J ；其二是由于磁场的时间变化感应出来的涡流密度，记为J。对于一般情况,se总的传导电流密度可表示为J = J + J e(3-31)Je的空间分布和时间变化是未知的，可利用电磁性能关系式，将J表示成ef A丄)J =Q E = Q丁 + V(3-32)e( tJ此外，在似稳电磁场中，位移电流密度竺与传导电流密度相比较可以忽略不计，因此与式（3-20） t相对应，有

14、VxVx A =卩 J（3-33）将式（3-32）代入（3-31），再代入（3-33），同时利用矢量微分关系式（3-28），得到V（V - A） V 2 A 二卩+ V + J（3-34） ts将 A 的散度规定为V - A = yb（电导率规范）(3-35)式（ 3-34）就变成2S AV 2A - yb=St-yJs(3-36)将式（3-35）代入（3-21），可得V2 - yb 独=StP8(3-37)式（3-36）和（3-37）即为涡流场中电磁位满足的非齐次涡流方程，规定V-A的式（3-35）称为电 导率规范。5静态场中的电位和磁位方程，库伦规范由于静态场是不随时间变化的场，因此电场的

15、方程与磁场的方程相互独立，不存在耦合关系。 对于静电场，注意到式（3-30）中的时间导数项为零，就得到V 2 = -（3-38）8式（3-38）为静电场电位的泊松方程。在体电荷为零的区域中，上式成为V 2 = 0（3-39）式（3-39）为静电场电位的拉普拉斯方程。在电流密度为零的区域中，静磁场也可引入标量位，即由VxH = 0，定义H = -V（3-40）m类似地，V2 = 0（3-41）m式（3-41）为无电流区的静磁场中标量磁位 的拉普拉斯方程。当有电流存在时，磁场成为有旋场， m不能引入标量位，此时可利用矢量磁位进行计算。与式（3-36）相对照，由于时间导数项为零，静 磁场的矢量磁位满

16、足矢量泊松方程，即V 2 A =卩 J（3-42）s应当指出，矢量磁位也可用来计算无电流区的静磁场，此时式（ 3-42）成为矢量磁位的拉普拉斯方程，V2A=0(3-43)由于式（3-42）和（3-43）是从（3-36）导出的，此时电导率规范（3-35）中& = 0，因此有A的散度为零，这称为库伦规范，即V-A=0（库伦规范）(3-44)3.1.3 工程电磁场数值分析中电磁位方程的表述在工程问题的电磁场数值分析中，通常求解区域内包含不同的媒质。对于线性媒质，其电磁特 性参数是常数或分区常数；对于非线性媒质，电磁参数还依赖于的值。由于两种媒质的交界面上电 磁特性发生突变，因此微分方程在交界面上不成

17、立，需要分区列出电磁位方程，同时列出交界面条 件，从而将不同区域的微分方程关联起来，联立求解。此外，为了减小计算规模，往往将求解区域 分成不同性质的子区域，在其中采用不同的位函数作为未知函数建立微分方程。下面举例说明。1. 静态场中的准拉普拉斯方程和准泊松方程对于不含电荷区的静态电场，标量电位0满足准拉普拉斯方程。在直角坐标系下，可表示为a0axa+ -aya0ay辿、a z丿(3-45)对于含电流区的非线性静态磁场，矢量磁位A满足的方程为（见注1.1）aaA、aaA、aaA、V+V+ Vaxax丿aya丿azaz丿=-Js(3-46)式（3-46）中= 1/卩，为磁阻率。注11由于在非线性媒

18、质情况下磁阻率是空间坐标的函数，因而式（3-46）中应包含与磁阻率的梯度VV有关的项。 但目前在许多文献中均忽略了磁阻率的梯度项，这可以理解为，在有限元法等数值计算方法中，通常将每个离散的 空间单元的磁阻率近似地设为常数，这样一来，在单元内磁阻率的梯度VV就等于零，而不同单元之间场方程的联 系则通过交界面条件来实现。尽管这种处理带来了数学模型表述和计算方法上的很大便利，但这一简化引起的误差 还是值得进一步探讨的。2. 似稳场有损电介质中的标量电位方程有损电介质的电特性不仅需要用电容率、而且需要用电导率来表征。对麦克斯韦第一方程（3-1） 等号两边取散度，有/aD、V. J + aD = 0（3

19、-47）Iat丿式（3-47）即微分形式的电流连续性定理。由式（3-5）和式（3-7），上式可改写成厂aEV oE +竺=0（3-48）、at 通常和为线性参数。根据式（3-19）,有at当激励源等值电磁波的波长比场域尺寸大许多倍时，亦即在似稳场情况下，磁场变化引起的电场分量可以忽略，因此上式可简化成将式（3-49）代入式（3-48），有E = -V(3-49)IQ V - qV+V = 0Qt(3-50)在直角坐标系下，上式成为(3-51)Qq 2 Q2 + Q2 Qt丿、Qx2 Q y式（3-51）即为似稳场有损电介质中标量电位满足的微分方程。3二维涡流分析中的矢量磁位方程当所研究区域内的

20、源电流只存在某一固定方向的分量，且区域内的几何、物理参数沿该方向均 无变化时，电流密度和矢量磁位就只存在沿该方向的分量（一般将该方向取为直角坐标的z轴方向）, 所研究的问题也简化成为二维平行平面场问题。此时选用矢量磁位作为未知函数计算磁场与涡流问 题最为方便。许多涡流分析问题既包含涡流区，也包含源电流区。对于源电流区，往往可以不计涡 流引起的集肤效应而只存在源电流密度，涡流区则不存在源电流而只有涡流密度，此时场方程可看作源区的场方程和涡流区场方程的联立，即：QQ xQQ xIvVIvQyQQyQ A ) Q y丿 Q A )Q y丿zsze（源电流区）（涡流区）(3-52)式（3-52）中涡流

21、密度 J 是未知的，可以用矢量磁位来表达。为此可利用式（ 3-19），并考虑到在 ze二维场中ve=（ve）k，由于沿z轴方向无变化，所以（v）=业=o，从而标量电位可以消去;zz Q z于是式 （3-52）的两个方程可统一写成Q A & +Qx 丿QyQ A ) Q A1= Q &Qy 丿Qtzs(3-53)在数值分析中，式（3-53）的Q和J通常按分区常数给出。方程（3-53）加上适当的边界条件和初始zs条件即构成二维平行平面涡流场定解问题。求得其解答后，可方便地计算磁感应强度B和电流密度 即B = V x A = V x (A k) = B i + B j(3-54)zxyQAIQA)J

22、 = -Q + J =-Q 宁 + Jk(3-55)QtsVQtzs 丿综上所述，二维涡流场（也包括轴对称场在内）分析的特点是：(1) A和丿只存在一个分量，B只含两个分量;(2) J和B的耦合关系仅用一个标量函数(对于平行平面场为Az，对于轴对称场为A0 )就 可以联系起来。4三维涡流分析中的电磁位方程55对于三维涡流分析，B和J都各有三个分量。直接用B、J求解，需要6个未知函数。若用矢 量磁位求解，则标量电位一般不能消去。为了减少计算规模，研究者们选用了不同的矢量位与标量 位，组成各种电磁位对作为待求函数，使三维涡流场控制方程的表述呈现多样性。现将目前在节点 有限元法中较多选用的电磁位对及

23、与之相应的控制方程列在表 3-1 中。概括起来，表中所列的方法 可分为两大类，即A法和T法。无论那种方法，为了完成场方程的表述，通常在涡流区需要矢量位 与标量位的组合;在非涡流区则只需要采用矢量位或者标量位。下面介绍两种典型的电磁位组合与 相应的微分方程。(1)矢量磁位与标量电位方程，A,- A法所谓A, - A法，指的是把三维涡流场的场域分成涡流区和非涡流区两部分，在涡流区采用矢 量磁位A和标量电位0作为未知函数，在非涡流区只用A作为未知函数，并将源电流归入非涡流区。将式(3-17)和(3-19)代入式(3-1) 和 (3-2)，并考虑到电磁性能关系式 (3-6) 、 (3-7)，在似 稳场

24、情况下，忽略式(3-1)右端的位移电流密度，不难得出Vx(v Vx A)=o 里GV在涡流区内(3-56)d t和Vx(vVx A)= J在非涡流区内(3-57)sVxV Vx A)-vV V. A)+cA + Q V= 0d t( q a)V. GG V = 0式(3-56)和(3-57)尚未规定矢量磁位A的散度。计算实践表明，在数值计算中，应用库伦规范， 即规定V. A = 0，比应用洛仑兹规范更方便。为将V. A = 0并入式(3-56)和(3-57)，可在上述二式 中都加入一项“-V(vVA) ”，并同时把描述电流连续性的方程列出。这样，式(3-56)和(3-57)将 分别改写成：(a

25、) 在涡流区内(3-58)Vx(vVx A)-vVv A)= Js(b)在非涡流区内(3-59)其中，(3-58 (b) 的加入是因为，对于原来的场方程(3-56)，描述电流连续性的方程 (3-58 (b) 是 其必然结果，而加入-V(vVA)以后，该式已不再被(3-58(a)所隐含，因此需要单独列出。式(3-58) 和式(3-59)即为A, A法数学模型中矢量磁位A和标量电位0满足的微分方程。关于加入-V(vVA)这一项的理由，可以从两方面来说明。其一是从该项出发可得出边值问 题所对应泛函的罚函数项，当泛函取得极值时，必然导致A的散度为零，即库仑规范成立。其二是从式(3-58)和式(3-59

26、)出发，应用矢量场的唯一性定理以及调和函数的性质，证明加入-乂 V-A) 这一项并给出恰当的边界条件和交界面条件可以保证库仑规范成立。参见文献8，这将在后面章节 中进一步详述。(2)矢量电位与标量磁位方程，T，屮-屮法T，屮-屮法同样把三维涡流场的场域分成涡流区和非涡流区两部分，并将源电流归入非涡流区。但与A,A法不同，T,屮-屮法在涡流区采用矢量电位T和标量磁位屮作为未知函数，在非涡流区只用屮作为未知函数。将电流密度统一表示为J = J + J(3-60)es其中J为涡流电流密度，J为源电流密度。在涡流区，由电流密度的无散性V-J = 0，可以引入e s e矢量函数T,使J =Vx T(3-

27、61)e由于T的旋度表示电流密度，因而T称为矢量电位。再将麦克斯韦第一方程写成如下形式：V x H = J + J = J +Vx H(3-62)e s e s其中 H 表示源电流密度在无限大空间所产生的磁场强度。综合式(3-61)、式(3-62)可得sVxH - T - H )= 0s因而可以取H T V屮 + H(3-63)s屮为标量磁位，它可看作静磁场中标量磁位在涡流场情况下的推广。在非涡流区，由于J 0，J则为已知函数，因而不需要引入矢量电位，所以磁场强度按下 es式计算：(3-64)H H V屮s仍从式(3-1)和(3-2)出发，由式(3-63)、式(3-64)可导出T与屮满足的场方

28、程:VxpVx T -VpV-T-V屮)/ Ja ta tV屮T - V屮)-V屮Hs()在涡流区内(b)(3-65)在非涡流区内(3-66)与上文中矢量磁位A的散度规定相类似，式(3-65 (a)中的VpV-T项也是为了规定T的散度为零 而引入的。在数值分析中，上述两种表述三维涡流分析电磁位方程的方法各有其优点和缺点。A,- A法 具有较高的计算精度，便于处理涡流区与非涡流区交界处的交界面条件，对含有多连域导体区的情 况也可直接应用，源电流项的引入也直接、方便。但是A,A法在涡流区的每个离散节点上有4 个未知数，在非涡流区每个节点上有3个未知数，总的未知数个数较多。与此相对照，T,屮-屮法在

29、涡流区的每个离散节点上有4 个未知数，在非涡流区每个节点上仅有1 个未知数，显然具有未知数总数较少的突出优点。但在T，屮-屮法中源电流密度的作用是通过H引入的，在数值计算中需要s 按照比奥-沙伐定律预先算出 H ，即s1J x rH = idQ（3-67）s 4 冗 q s r 3上式需要根据电流密度的分布用数值积分方法计算56。此外，为保证导体表面处电流的连续性，需 要将导体表面矢量电位的切向分量预先置为零。这些都增加了程序的复杂性和计算时间。同时，在 导体区计算磁场强度时，式 （3-63） 的右端成为数量级相近的数的相减，这将使磁场强度的计算误差 增大，电流密度及相应的损耗计算误差也将增大

30、。另一个问题是对多连域问题的适应性。经典电磁 理论告诉我们，对无电流区的磁场使用标量位，由于其位差与路径有关，将产生位的多值性57。这 可以通过设置壁障面来解决，使研究区域内的任意路径不能穿过电流区，以保证区域中各点的标量 磁位成为单值。如果所研究的问题不便于找出壁障面，则不能使用标量位。在这种情况下应用T，屮-屮法时，只好采用一种权宜之计，即将造成多连域的导体区的“洞”纳入导体区，并设其中 的电导率等于不为零的很低的值。表3.1各种电磁位对与相应的涡流场控制方程（釆用库伦规范，V-A = 0）编号电磁位对场方程备注涡流区非涡流区1#Ag- AV XVV- oB = E =-V x A - V

31、vV/ U J-a -V 6 t丿7x A6A V.-V 6 t-A +of6A + V (6 t=0=0丿VxvVx A - VvV - A = J sB = Vx A1.将源电流归入非涡流区2优点：1）交界面条件为自然边界条件.2）源电流项容易处理 3）适用于多连域 导体.4）精度较高3缺点：未知数总数较多2#A,-屮（屮为磁标量位）VxvV- oB = E =-Vx A-VvV(6A V、 -,-VI 6 t丿7x A6A V-V6 tA +o K +vI61丿=0(*)=0V-CpV 屮 L 0H = -V 屮1. 将源电流归入涡流区，令其中o = 0 2. （*）式在除源区以外的涡流

32、区成立3. 优点:未知数总数少；其余同1#的2）和3）4缺点：1）离散化方程含耦合面积分项， 需要特殊处理；2） ICCG迭代时收敛较慢3#4 *A -屮VxvVxA* -VvV-A*= Jd tsB=VxA*E七V-CpV 屮 L 0H = -V 屮1优点:1） 同 2#. 2）与2#相比,ICCG迭 代时收敛较快.2缺点：1）不能直接用于多连域问题.2）离散化方程含耦合面积分项，需要特 殊处理.4#A ,0-Arr（Ar为 修正的矢 量磁位）(Q A)VxWxA -WV -A +o 1r + V6 二rr( Q t丿-VxWxA -o %ssQ t(Q A)Q AV- o r V = Vs

33、(Q t丿Q tB 二 VxA +Vx AsrQ A Q AE = -s -r -V Q t Q tA =垃 J J dQs 4 兀 q rVxvVxA -VvV -ArrQ Ar+o r =Q t.Q A-VxvVxA -ossQ tB = V x A + V x AsrA =气 J J dQs 4 兀 q r1.s为源区2优点:1）同1#的1）、2）和3） 2）在用有限元法进行剖分时， 网格线不受源区轮廓线的限 制.3缺点：1）未知数总数较多.2）需要预先用数值积分法计算 源电流相应项.5#T,屮-屮VxpVx T-VpV-T +Q TQwQ H卩 a -y =-P a sQ tQ tQ

34、tV - Ct - yV屮)=-VyHs J = VxT H = H s + T-V屮H =丄 J J7r dQs 4 兀 Q r 3V - yV屮=V - y H、H = H - V屮s1H =丄 J Jsxr dQ s4 兀 q r 31.优点：未知数总数少2缺点：1）导体表面上Tt = 0为强加条件.2）对多连域导体需要特殊处理.3）同4#的第2）条.6#T,屮-A-屮1同 5#.2.在导体所包围的洞中：VxvVx A-VW-A = 0B = V x A同5#1.优点：1）未知数总数少.2）适用于多连域导体问题.2缺点：计算机程序的复杂程度增加3.2 边界条件1.2 节介绍了不同情况下场

35、矢量和电磁位满足的微分方程。求解一个具体的电磁场问题，在构 造相应定解问题的数学模型时，除了确定求解区域、选择未知函数、列出场的控制方程以外，为了 求得问题的唯一解答， 还需要给出求解区域外边界上的适当的边界条件；此外，若场域内包含着多 种媒质，在媒质分界面上电磁参数发生突然变化，这将引起场矢量的突变，仅用微分方程来描述场 的分布将产生困难，因而需要将不同媒质的分界面条件引入数学模型。对于时变问题，还要给出t= 0 时未知函数所满足的初始条件。本节将说明边界条件的确定方法。3.2.1 不同媒质的分界面条件当求解区域中含有多种媒质时，实际上场的控制方程是对应于每种媒质分区列写的。不同媒质 中的场

36、方程加上媒质的分界面条件和外边界的边界条件，才能构成联立求解的数学模型。在许多介 绍电磁场基础理论的教科书中，均说明了如何导出场矢量E、D、B、H和/在不同媒质分界面上满 足的条件，下面省略导出过程，直接写出用各场矢量及其分量表示的分界面条件。1. 电场强度两种媒质中的电场强度E和E在分界面上满足以下分界面条件：12“皿-气 L 0（3-68）E = E（3-69）t 2t1其中n为分界面法向矢量，E和E分别表示媒质1和媒质2中电场强度在分界面处的切向分量。 t1t 2式（3-68）和式（3-69）说明电场强度在不同媒质的分界面处的切向分量是连续的。2. 电位移12图3-1自由面电荷存在时D的

37、分界面边界条件两种媒质中的电位移D和D在分界面上满足以下分界面条件：n-（D -D ）=p（3-70）21s或D D = p（3-71）n 2n1s其中 p 为分界面上存在的自由电荷面密度， D 和 Dsn1n 2分别为媒质1和媒质2中电位移在分界面处的法向分量，式（3-70）中电位移矢量D 和D正方向的规定见图 12D = Dn 2n1(3-72)3-1。通常在两种电介质的交界面上不存在自由电荷面密 度，此时电位移的法向分量连续，即3. 磁感应强度两种媒质中的磁感应强度B和B在分界面上满足以下分界面条件：12(3-73)n - B ）= 021或B B =0(3-74)n 2n1式（3-73

38、）和式（3-74）说明，在磁感应强度在不同媒质的分界面处的法向分量连续。4. 磁场强度两种媒质中的磁场强度H和H在分界面上满足以下分界面条件：12n x（H H ） = K（3-75）21或H H = K（3-76）T 2T1t其中K为电流线密度，单位为A/m； H和H 分别表示媒质1和媒质2中电场强度在分界面处的 1T2切向分量。各物理量正方向的规定可描述为：H 与K的正方向构成右手系，见图3-2。实际上电2t流是以体密度的形式存在的。如果电流层的厚度比较薄，或者感兴趣的场域中不存在电流区，有时 可将体电流简化成沿导体与非导体交界处的无限薄的电流片，用电流的线密度来描述。当交界面上 不存在电

39、流线密度时，磁场强度的切向分量连续。5. 电流密度图 3-2 电流线密度存在时的分界面条件两种媒质中的电流密度丿1和叮2在分界面上满足以下分界面条件:“J2-J 1 )= 0(3-77)J = 0n 2 n1(3-78)即在不同媒质的分界面处电流密度的法向分量连续。6. 电磁位在解决实际问题时，常常需要根据场矢量在不同媒质分界面上满足的分界面条件写出电位或 (和)磁位的相应分界面条件。例如，对于涡流场问题，与表示电流连续性的式(3-77)相对应，当采用A,- A法时，矢量磁 位和标量电位应满足的分界面条件为n &丝 + bV b 亘 bVl(1 dt1 12 dt 2 2 丿(3-79)将上式

40、展开，并注意到通常在交界面处取磁位和电位的值连续，即A = 4 = A，1，则12可得到包、IJ 2包、 卫n *(3-80)(3-81)如果两种媒质中有一种电导率为零，例如b 1 = 0，则式(3-80)、(3-81)成为对于T ,屮-屮法，矢量电位满足如下的分界面条件:2n(VxT ) =(VxT )1n(3-82)迪、 8 J 2 _(3-83)(3-84)(3-85)(3-86)(3-87)(VXT ) = 02n与式 (3-74)、(3-76) 相对应，矢量磁位满足的分界面边界条件为(VXA ) =(vxA )2 n 1 n+ (VX O 计(VX A! 1对于电场问题，与式 (3-

41、70)、(3-71) 相对应，标量电位满足的分界面边界条件为21上式亦即3.2.2 场域边界条件在许多实际工程问题中，场矢量在场域边界上有时很难给出适当的边界条件。在确定场域边界 条件时，需要小心处理，合理简化。1. 无穷远边界对于开域问题，亦即电磁场能量并非局限于有限区域的问题，当求解区域取得足够大时，可以 认为在边界上电磁场已近似地衰减到零，这样的边界可看作无穷远边界。不过，求解区域越大，数 值分析中对区域进行离散化的工作量也越大，总的计算规模就越大；求解区域越小，则由于电磁场 分布空间的截断所引起的误差将越大。如何恰当处理开域问题将在 3.2.3 节中进一步讨论。在无穷远边界处，有B =

42、 0 , E = 0(3-88)对于时变场中的涡流问题，若采用A, A法求解，则有A = 0, 0= 0(3-89)对于静磁场，有矢量磁位或标量磁位为零，即A= 0(3-90)或0 = 0(3-91)m对于电场问题，则有标量电位等于零，即0 = 0(3-92)如果求解区域具有铁磁外壳，那么由于在工频电磁场中铁磁物质的透入深度只有13 mm,在 外边界处实际上场量已经衰减到很小的值，因而可以按无穷远边界处理。式(3-89)式(3-92)均给出了磁位或电位在边界上的值，这类边界条件为第一类齐次边界 条件。注 1.2关于第一类和第二类边界条件的定义，原本是针对标量微分方程边值问题作出的，本节中将这种

43、定义沿用于矢量微分方程中未知场矢量的分量。例如，式（3-90）实际上表示A = 0 , A = 0 , A = 0 ；故对A的分量而言，x y z 为第一类齐次边界条件。2. 电场问题：给定电位的边界和电场线边界电场问题分析中常见的情况是电极（或导体）表面的标量电位可以给定，取这样的表面作为场 域边界，则在边界上有0=0i = 1,2, N（3-93）i上式中0为给定的电位值，N为电极的个数。当所选的边界与电场线相重合时，电位0满足如下边i界条件：色二 0（3-94）d n式（3-93）为第一类非齐次边界条件；式（3-94）为第二类齐次边界条件。3. 磁场与涡流问题：在边界上满足卩a = 0条

44、件的情况对于含有涡流的磁场分析，在卩=8, o = 0的边界上，由于0，故不存在涡流；当求解区域内的总电流之和为零，即满足Y i = 0的条件时，由于边界外面卩，所以磁场应垂直地进入边界面，即磁场强度的切向分量为零，可表示成(3-95)(3-96)n x H = 0用矢量磁位表示时，有d A d Ad A d An t = 0t n = 0d td n d n Qt其中n为边界面法向，t和t为切向，如图3-3所示。当铁磁材料在计算场域外面，且不计其中的涡 流时，就可按这类边界处理。图 3-3 边界面法向与切向由于唯一性的要求，在这类边界上可以给定8以下条件：n - A = 0（3-97）即在边

45、界面上A处处为零，从而A沿边界面的切向变化率也处处为零：nn(3-98)综合式 (3-96) 和 (3-98) 可得(3-99)(3-100)(3-101)d A d A 门 d nd n所以在这类边界上A的边界条件可以表示为n - A = 0式(3-100)即 A 的法向分量为零，是第一类齐次边界条件；式(3-101)即 A 的两个切向分量的法 向导数为零，为第二类齐次边界条件。4. 磁场与涡流问题：在边界上满足o=g条件的情况满足0=8条件的边界相当于超导边界。当有任何法向时变磁场进入此面时，边界面内即会感 应涡流，把进入的法向磁场排挤出去，结果使边界面上只存在磁场的切向分量，不存在法向分

46、量， 即n - B = 0(3-102)根据f B -也=f A -dl( S是定义在该边界上任意位置的表面，其面积可以取得任意小，C为包围该 sc表面的封闭曲线)，由曲面S的任意性，可以推出在边界面上矢量磁位A的切向分量处处为零，再考 虑到采用库仑规范，即V-A = 0，因此矢量磁位在这类边界上满足n x A = 0(3-103)d A 小j = 0(3-104)o n式(3-103)表示A的两个切向分量为零，为第一类齐次边界条件，式(3-104)表示A的法向分量 的法向导数为零，为第二类齐次边界条件。5. 磁场与涡流问题：对称面边界 在有些三维涡流问题中，存在着几何对称面。若在对称面上有

47、H 的切向分量为零，则可按照 (3-95)给出边界条件。若对称面上B的法向分量为零，贝I可按(3-102)处理。例3-1：确定三维涡流问题场域边界条件的一个实例55.7图3-4 一个三维涡流问题的计算模型图 3-4 表示一个由载流线圈、导电体 （包括外壳、线圈芯柱）和空气组成的三 维涡流问题的计算模型，线圈中的电流可 随时间任意变化。由于对称性，实际计算 时可以取模型的1/ 8 作为计算场域。其边 界由六个平面构成，其中 x = b、y = b、z = h三个平面是外壳表 面；x = 0、y = 0、z = 0三个平面是对称 面。由于外壳是普通钢板，既导电又导磁， 故可认为外壳表面上的磁场与电

48、场无泄 露，且已衰减到零，即x = b、y = b、z = h 三个表面可按无穷远边界处理。对三个对 称面，根据场域内源电流和媒质的分布情 况和几何形状，可先写出场矢量B，H和 J 的分界面条件 ；再根据电、磁位的定义、 基本算式和对称性，进一步确定其它边界条件。该问题可用A, 0- A法或T，屮-屮法来计算。表3-2分别列出了各边界面上场矢量和电磁位的边界条件。从本例可以看出，要恰当给出边界条件，首先需要分析所研究场域的几何、物理参数的分布， 并根据电磁场的基本理论，给出场矢量的边界条件，然后再由具体位函数与场矢量的关系确定电位 和磁位满足的边界条件。表 3-2 模型题各边界面上的边界条件边

49、界面B,H,JA,0 - A 法T,屮-屮法A0T屮B = 0nA = A = 0,込=0y zdxdTT =0,： xd x0平面x = 00 二二 0J = 0, J =0込=0, 屮=0Ttd xd nc刃A = A = 0, T = 0T =0， 一* 0B = 0nxzd yy y平面 y = 0J = 0, J =00 二二 0TtT込=0, ：v= 0d yd nA =0，T T=0T Tu，平面 z = 0H = 0, H=0zxyTtJ = 0n亘=0,叫=0 d zS zd 6S -0S nST0z 0 S z屮0平面x = bB = 0, J = 0A = 06 = 0T

50、 = 0屮0平面y = bB = 0, J = 0A = 06 = 0T = 0屮0平面z = hB = 0, J = 0A = 06 = 0T = 0 屮0导体与非 导体分界 面J = 0n(s A)n -V6 - 0S t丿(VX T ) 0，n即 T 0, T 0Tt本章参考文献54 J.A. Stratton, Electromagnetic Theory M. McGraw-Hill, 194155 谢德馨，姚缨英，白保东，李锦彪.三维涡流场的有限元分析M.机械工业出版社，200156 樊明武，颜威利.电磁场积分方程法M北京：机械工业出版社，198857 汤蕴璆.电机内的电磁场（第二版）M.北京：科学出版社，1998（本章涉及的其它参考文献见“工程电磁场理论与应用讲义-0”）