高考数学数列考点归纳总结

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1、高中数学精讲精练 第五章 数列【知识图解】 函 数数 列一般数列通项前项 和特殊数列等差数列等比数列通项公式中项性质前项和公式公式通项公式中项性质前项和公式公式【方法点拨】1学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证2强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧3在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差（比）数列的比较简单的数列进行化归与转化4一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习如错位相减法、迭加法、迭乘法等5增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解第1课数列的概念【考点导读

2、】1 了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；2 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系；3 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前项和的问题。【基础练习】1.已知数列满足，则=。分析:由a1=0,得 由此可知: 数列是周期变化的,且三个一循环,所以可得: 2在数列中，若，则该数列的通项 2n-1 。3设数列的前n项和为， ，且，则_2_.4已知数列的前项和，则其通项 【范例导析】例1设数列的通项公式是，则（1）70是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？（2）写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象；（3）这个数

3、列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？分析：70是否是数列的项，只要通过解方程就可以知道；而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。解：（1）由得：或所以70是这个数列中的项，是第13项。（2）这个数列的前5项是；（图象略）（3）由函数的单调性：是减区间，是增区间，所以当时，最小，即最小。点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属，要注重函数与数列之间的联系，用函数的观点解决数列的问题有时非常方便。例2设数列的前n项和为，点均在函数y3x2的图像上,求数列的通项公式。 分析：根据题目的条件利用

4、与的关系： ，（要特别注意讨论n=1的情况）求出数列的通项。解：依题意得，即。当n2时，;当n=1时， 所以。例3已知数列a满足,（）求数列的通项公式；（）若数列满足,证明：是等差数列;分析：本题第1问采用构造等比数列来求通项问题，第2问依然是构造问题。解：（I）是以为首项，2为公比的等比数列。即（II）；，得即，得即是等差数列。点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。【反馈演练】1若数列前8项的值各异，且对任意nN*都成立，则下列数列中可取遍 前8项值的数列为 （2） 。（1） （2） （3） （4）2设Sn是数列的前n项和，且Sn=n2，则是

5、等差数列，但不是等比数列 。3设f（n）=（nN），那么f（n+1）f（n）等于 。4根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足Sn=（21nn25）（n=1，2，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 7月、8月 。5在数列中，则 505 。 6数列中，已知，（1）写出，； （2）是否是数列中的项？若是，是第几项？解：（1），； （2）令，解方程得， 即为该数列的第15项。第2课等差、等比数列【考点导读】1 掌握等差、等比数列的通项公式、前项和公式，能运用公式解决一些简单的问题；2 理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列

6、与函数之间的关系；3 注意函数与方程思想方法的运用。【基础练习】1在等差数列an中，已知a510，a1231，首项a1= -2 ，公差d= 3 。2一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项是，第2项是 8 。3设是公差为正数的等差数列，若，则。4公差不为0的等差数列an中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于 3 。【范例导析】例1（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 13 项。（2）设数列an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 2 。解：（1）答案：13法1：设这个数列有n项n13

7、法2：设这个数列有n项 又 n13（2）答案：2 因为前三项和为12，a1a2a312，a24又a1a2a348， a24，a1a312，a1a38，把a1，a3作为方程的两根且a1a3，x28x120，x16，x22，a12，a36，选B.点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式的运用和学生分析问题、解决问题的能力。例2（1）已知数列为等差数列，且（）求数列的通项公式；（）证明分析：（1）借助通过等差数列的定义求出数列的公差，再求出数列的通项公式，（2）求和还是要先求出数列的通项公式，再利用通项公式进行求和。解：（1）设等差数列的公差为d，由 即d=1。所以即（II）证明：因为，所以

8、 点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注意观察规律。例3已知数列的首项（是常数，且），（），数列的首项，（）。 （1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值。分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出。解：（1） (n2)由得， ，即从第2项起是以2为公比的等比数列。（2）当n2时，是等比数列, (n2)是常数， 3a+4=0，即 。点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。【反馈演练】1已知等差数列中，则前10项的和 210 。2在等差数列中，已

9、知则 42 。3已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 3 。4如果成等比数列，则 3 ， -9 。5设等差数列an的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S13a2a3a12a13,因此，在S1，S2，S12中Sk为最大值的条件为：ak0且ak+10,即a3=12, ， d0, 2k3d3,4,得5.5k7.因为k是正整数，所以k=6,即在S1，S2，S12中，S6最大.解法二：由d0得a1a2a12a13，因此若在1k12中有自然数k,使得ak0,且ak+10,则Sk是S1，S2，S12中的最大值。又2a7=a1+a13=S130, a70, a7+a

10、6=a1+a12=S120, a6a70故在S1，S2，S12中S6最大.解法三：依题意得：最小时，Sn最大；d3, 6(5)6.5.从而，在正整数中，当n=6时，n (5)2最小，所以S6最大.点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.第(2)问难度较高，为求Sn中的最大值Sk（1k12）：思路之一是知道Sk为最大值的充要条件是ak0且ak+10；而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解；思路之三是可视Sn为n的二次函数，借助配方法可求解，它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力

11、考查的特点.第3课数列的求和【考点导读】对于一般数列求和是很困难的，在推导等差、等比数列的和时出现了一些方法可以迁移到一般数列的求和上，掌握数列求和的常见方法有： （1）公式法： 等差数列的求和公式， 等比数列的求和公式（2）分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含因式，周期数列等等）（3）倒序相加法：如果一个数列a，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2（4）错项相减法：如果一个数列的各项是由一

12、个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。（5）裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项之和变成首尾若干少数项之和。【基础练习】1已知公差不为0的正项等差数列an中,Sn为前n项之和,lga1、lga2、lga4成等差数列，若a5=10,则S5 = 30 。2已知数列an是等差数列,且a2=8,a8=26,从an中依次取出第3项,第9项,第27项,第3n项,按原来的顺序构成一个新的数列bn, 则bn=_3n+1+2_3若数列满足：，2，3.则. 【范例导析】例1.已知等比数列分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且（）求；

13、 （）设，求数列解：（I）依题意 （II） 点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。例2数列前项之和满足：（1） 求证：数列是等比数列；（2） 若数列的公比为,数列满足：，求数列的通项公式；（3） 定义数列为，求数列的前项之和。解：（1）由得：两式相减得：即, 数列是等比数列。 （2），则有 。 （3），点评：本题考查了与之间的转化问题，考查了基本等差数列的定义，还有裂项相消法求和问题。例3已知数列满足，（）求数列的通项公式； （）设，求数列的前项和；（）设，数列的前项和为求证：对任意的，分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列

14、中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。解：（），又，数列是首项为，公比为的等比数列 ， 即. （） （）， 当时，则， 对任意的， 点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通项，第二问分组求和法是非常常见的方法，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，放缩的目的是利于求和，所以通常会放成等差、等比数列求和，或者放缩之后可以裂项相消求和。【反馈演练】1已知数列的通项公式，其前项和为，则数列的前10项的和为 75 。 2已知数列的通项公式，其前项和为，则 377 。3已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为。4已知数列中，且有，则数列的通项公式为，前项和为。5数列an满足a

15、1=2，对于任意的nN*都有an0, 且(n+1)an2+anan+1nan+12=0，又知数列bn的通项为bn=2n1+1.(1)求数列an的通项an及它的前n项和Sn；(2)求数列bn的前n项和Tn；解：(1）可解得，从而an=2n，有Sn=n2+n，(2)Tn=2n+n1.6数列an中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1an,(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn=a1+a2+an,求Sn;(3)设bn=(nN*),Tn=b1+b2+bn(nN*),是否存在最大的整数m，使得对任意nN*均有Tn成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.解：(1）由an+2=2

16、an+1anan+2an+1=an+1an可知an成等差数列，d=2,an=102n.(2)由an=102n0可得n5，当n5时，Sn=n2+9n，当n5时，Sn=n29n+40，故Sn=(3)bn=；要使Tn总成立，需T1=成立，即m8且mZ，故适合条件的m的最大值为7.第4课数列的应用【考点导读】1能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。2注意基本数学思想方法的运用，构造思想：已知数列构造新数列，转化思想：将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。【基础练习】1若数列中，且对任意的正整数、都有，则 .2设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为

17、。3已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则 。【范例导析】例1已知正数组成的两个数列，若是关于的方程的两根（1）求证：为等差数列； （2）已知分别求数列的通项公式； （3）求数。（1）证明：由的两根得： 是等差数列（2）由（1）知 又也符合该式， （3） 得.点评：本题考查了等差、等比数列的性质，数列的构造，数列的转化思想，乘公比错项相减法求和等。例2设数列满足 ，且数列是等差数列，数列是等比数列。（I）求数列和的通项公式；（II）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，说明理由。解：由题意得： ；由已知得公比 （2），所以当时，是增函数。又， 所以当时，又， 所以不存在，使。【反馈演练】1制

18、造某种产品，计划经过两年要使成本降低，则平均每年应降低成本 。2等比数列的前项和为，则 54 。3设为等差数列，为数列的前项和，已知，为数列的前项和，则4.已知数列 （1）求数列的通项公式； （2）求证数列是等比数列；（3）求使得的集合. 解：（1）设数列，由题意得：解得：（2）由题意知：，为首项为2，公比为4的等比数列（3）由5.已知数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，满足关系. 证明：是等比数列；证明： ，得 故:数列an是等比数列 2013高中数学精讲精练 第六章 不等式【知识图解】不等式一元二次不等式基本不等式二元一次不等式组应用解法应用几何意义应用证明 【方法点拨】不等式是高中

19、数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用.解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念和性质涉及到求最大（小）值，比较大小，求参数的取值范围等，不等式的解法包括解不等式和求参数，不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点.1. 掌握用基本不等式求解最值问题，能用基本不等式证明简单的不等式，利用基本不等式求最值时一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。2. 一元二次

20、不等式是一类重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系和相互转化。3. 线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关，对于这部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组，能解决简单的线性规划问题。同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用。第1课基本不等式【考点导读】1. 能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。2. 能用基本不等式解决综合形较强的问题。【基础练习】1.“ab0”是“ab0，y0，a0 由0得y-b0 x+y当且仅当，即时，等号成立（2）法一：由，可得， 注意到可得，当且仅当，即时等号

21、成立，代入中得，故的最大值为18法二：，代入中得：解此不等式得下面解法见解法一，下略点拨：求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决. 【反馈练习】1.设a1,且,则的大小关系为mpn 2.已知下列四个结论：若则； 若,则；若则； 若则。其中正确的是3.已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为64.（1）已知：，且：，求证：，并且求等号成立的条件（2）设实数x，y满足y+x2=0，0a1，求证：。解： （1）分析：由已知条件，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有，无法利用，故猜想先将所求证的式子进行变形，

22、看能否出现型，再行论证证明：等号成立当且仅当时由以上得即当时等号成立说明：本题是基本题型的变形题在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式要注意灵活运用均值不等式（2） ，0a0的解集是4.若不等式的解集是，则b=_-2_ c=_-3_.【范例导析】例.解关于的不等式分析：本题可以转化为含参的一元二次不等式，要注意分类讨论.解:原不等式等价于等价于： （*）a时，（*）式等价于0xa时，（*）式等价于0由知：当0a，x；当a0时，x；当a0时，当，x综上所述可知：当a0时，原不等式的解集为（，2）；当a0时，原不

23、等式的解集为；当0a时，原不等式的解集为（，）（2，）。思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论,要做到不重不漏.【反馈练习】1.若关于x的不等式的解集为R，则的取值范围是 2.不等式解集为，则ab值分别为-12，-23.若函数f(x) = 的定义域为R，则的取值范围为4.已知M是关于x的不等式2x2+(3a7)x+3a2a20解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.解：原不等式即(2xa1)(x2a3)0，由适合不等式故得，所以，或.若，则，此时不等式的解集是；若，由，此时不等式的解集是。第3课线性规划【考点导读】1. 会在直角坐标系

24、中表示二元一次不等式、二元一次不等式组对应的区域，能由给定的平面区域确定所对应的二元一次不等式、二元一次不等式组.2. 能利用图解法解决简单的线性规划问题，并从中体会线性规划所体现的用几何图形研究代数问题的思想.【基础练习】1.原点（0,0）和点P（1,1）在直线的两侧，则a的取值范围是0a0，xy+20，2x+y5-4,所以a的取值范围是（2）方程在内有解， 则在内有解。 当时，所以时，在内有解点拨：本题用的是参数分离的思想.例2.甲、乙两地相距，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度的平方成正比，且比例系数为；固

25、定部分为元（1）把全程运输成本元表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：需由实际问题构造函数模型，转化为函数问题求解解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为故所求函数为，定义域为（2）由于都为正数，故有，即当且仅当，即时上式中等号成立若时，则时，全程运输成本最小；当，易证，函数单调递减，即时，综上可知，为使全程运输成本最小，在时，行驶速度应为；在时，行驶速度应为点拨：本题主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题【反馈练习】1.设，函数，则使的的取值范围是2.如果函数的单调递增区间是(-，a，那么实数a的取值范围是_ a-1_3.若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为4已知二次函数f (x)=,设方程f (x)=x的两个实根为x1和x2如果x12x20，即