《隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率PPT学习教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率PPT学习教案（37页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、会计学1定义定义:.)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),(yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.第1页/共37页例例1 1*.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy ,0,0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy.1 第2页/共
2、37页所确定的求由方程例032 275xxyy.00 xdxdyxy处的导数在隐函数:解求导，由于方程把方程两边分别对 x两边的导数相等，所以.02112564xdxdydxdyy。由此得2521146yxdxdy，从原方程得因为当时0 x210,0 xdxdyy所以第3页/共37页34323,2xoy.323,21916 322处的切线方程在点求椭圆例yx所求切线由导数的几何意义知道解,:.2xyk的斜率为有对求导把椭圆方程的两边分别,0.928 dxdyyx.169 yxdxdy从而代入上式得当,323,2 yx43 2xdxdy于是所求切线方程为,243323 xy.03843 yx即第
3、4页/共37页所确定的隐函数的二阶求由方程例0sin21 4yyx.22dxyd导数:解得应用隐函数的求导方法,0.cos211 dxdyydxdy.cos22 ydxdy于是得求导上式两边再对,x.cos2sin4cos2sin2 3222yyydxdyydxyd0sin21yyxy是由方程上式右端分式中的.所确定的隐函数第5页/共37页例例5 5.,)23,23(,3*33线通过原点在该点的法并证明曲线的切线方程点上求过的方程为设曲线CCxyyxC解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy .1 所求切线方程为所求切线方程为)2
4、3(23 xy.03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.第6页/共37页例例6 6*解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1,0 yx;4110 yxy求导得求导得两边再对两边再对将方程将方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy,1,0 yx代代入入.16110 yxy第7页/共37页观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法
5、对数求导法适用范围适用范围:.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu第8页/共37页的导数求例4321 7xxxxy的函数，得是求导，注意到上式两边对xyx,41312111211 xxxxyy，得假定先在两边取对数：解4 x第9页/共37页;4321,1xxxxyx时当413121112 xxxxyy于是4321,32xxxxyx时当上面相同的结果用同样的方法可以得与第10页/共37页例例8 8*解解142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两
6、边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设第11页/共37页例例9 9解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 第12页/共37页一般地一般地)0)()()()(xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(l
7、nxuxvxf 第13页/共37页.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t第14页/共37页),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy ,0)(,)(),(ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )(
8、)(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx第15页/共37页,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()()(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即第16页/共37页例例10 已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为tbytaxsincoso2,20baMbaxy相应的点处的切线方程求椭圆在4t第17页/共37页解解:,4的坐标是椭圆上的相应点时当oMt,224cosaaxo.224sinbbyo的切线斜率为曲线在点oMabtatbtatbdxdyt
9、tt44sincoscossin4第18页/共37页.2222axabby02abaybx化简后得切线方程即得椭圆在点处的代入点斜式方程,第19页/共37页例例1111解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy.1.方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin(ttayttax第20页/共37页.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12(axay)22(axy即即第21页/共37页例例1212解解xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向
10、时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt第22页/共37页)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 第23页/共37页例例1313*解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求
11、由方程 taytaxdtdxdtdydxdy)sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 第24页/共37页,)()(都是可导函数及设tyytxx相关变化率问题相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?,之间存在某种关系与而变量yx,之间也存在一定关系与从而它们的变化率dtdydtdx.化率称为相关变化率这样两个相互依赖的变第25页/共37页例例1414解解?,500./140,500率是多少率是多少观察员视
12、线的仰角增加观察员视线的仰角增加米时米时当气球高度为当气球高度为秒秒米米其速率为其速率为上升上升米处离地面铅直米处离地面铅直一汽球从离开观察员一汽球从离开观察员则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线其高度为其高度为秒后秒后设气球上升设气球上升,ht500tanh 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米时米时当当h)/(14.0分分弧度弧度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米500第26页/共37页例例1515解解?,20,120,4000,/803水面每小时上升几米水面每小时上升几米米时米时问水深问水深
13、的水槽的水槽顶角为顶角为米米形状是长为形状是长为水库水库秒的体流量流入水库中秒的体流量流入水库中米米河水以河水以则则水库内水量为水库内水量为水深为水深为设时刻设时刻),(),(tVtht234000)(htV 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhhdtdV 38000,/288003小时小时米米 dtdV小时小时米米/104.0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米时米时当当 h第27页/共37页隐函数求导法则隐函数求导法则:直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法:对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐函数的求导法则求导导法则求导;
14、参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的变化率变化率;解法解法:通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系,用链用链式求导法求解式求导法求解.第28页/共37页思考思考题题设设 )()(tytx ，由由)()(ttyx )0)(t 可可知知)()(ttyx ，对对吗吗？第29页/共37页思考题解答思考题解答不对不对 xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt 第30页/共37页一、一、填空题：填空题：1 1、设设01552223 yxyyxx确定了确定
15、了y是是x的函的函数，则数，则)1,1(dxdy=_=_，22dxyd_._.2 2、曲线曲线733 xyyx在点在点（1 1，2 2）处的切线方程）处的切线方程是是_._.3 3、曲线曲线 ttyttxsincos在在2 t处的法线方程处的法线方程_._.4 4、已知已知 teytexttsincos,则则dxdy=_=_；3 tdxdy=_.=_.5 5、设设yxexy ,则则dxdy=_.=_.练练 习习 题题第31页/共37页二、二、求下列方程所确定的隐函数求下列方程所确定的隐函数 y y 的二阶导数的二阶导数22dxyd：1 1、yxey 1；2 2、)tan(yxy ；3 3、yx
16、xy )00(yx，.三、三、用对数求导法则求下列函数的导数：用对数求导法则求下列函数的导数：1 1、2xxy ；2 2、54)1()3(2 xxxy；3 3、xexxy 1sin.第32页/共37页四、四、求下列参数方程所确定的函数的二阶导数求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxyd：1 1、tbytaxsincos ；2 2、)()()(tftf tytfx 设设)(tf 存在且不为零存在且不为零.五、五、求由参数方程求由参数方程 ttytxarctan)1ln(2所确定的函数的所确定的函数的 三阶导数三阶导数33dxyd.六、设六、设)(xf满足满足xxfxf3)1(2)(，求，求
17、)(xf .第33页/共37页七、七、在中午十二点正甲船的在中午十二点正甲船的 6 6 公里公里/小时的速率向小时的速率向东行驶，乙船在甲船之北东行驶，乙船在甲船之北 1616 公里，以公里，以 8 8 公里公里/小小时的速率向南行驶，问下午一点正两船相距的速时的速率向南行驶，问下午一点正两船相距的速率为多少？率为多少？八、八、水注入深水注入深8 8 米，上顶直径米，上顶直径8 8 米的正圆锥形容器中，米的正圆锥形容器中，其速率为每分钟其速率为每分钟 4 4 立方米，当水深为立方米，当水深为 5 5 米时，其米时，其表面上升的速率为多少？表面上升的速率为多少？第34页/共37页一、一、1 1、
18、34,5210)(102084622 xxyyxyyyxxyx；2 2、02311 yx 3 3、022 yx；4 4、32,sincoscossin tttt；5 5、yxyxexye .二、二、1 1、32)2()3(yyey ；2 2、-)(tan)(csc232yxcyx ；3 3、322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy.练习题答练习题答案案第35页/共37页三、三、1 1、)1ln2(12 xxx；2 2、1534)2(21)1()3(254 xxxxxx；3 3、)1(2cot11sin21xxxeexxexx .四、四、1 1、tab32sin；2 2、)(1tf .五、五、3481tt .六、六、212x.七、七、-2.8(-2.8(公里公里/小时小时).).八、八、204.02516 (米米/分分).).第36页/共37页
隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率PPT学习教案
