北京导数专题汇编

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1、海淀期中文科18. (本小题满分14分)已知函数.()当时,求函数的单调区间;()当时,求函数在区间上的最小值.答案18.(本小题满分14分)解:()当时,因此,-2分由得. -1分随的变化如下:2+0极大值-2分因此的单调递增区间为,单调递减区间为.-1分()由得,.-1分令,由于,解得.-1分当时,即时,对恒成立,因此在上单调递增,-1分因此;-1分当时,即时,在上的状况如下:010+极小值-2分因此, -1分综上,当时,;当时,.-1分海淀期中理科19. (本小题满分14分)已知函数.()求的单调区间; ()求证:当时,函数存在最小值.海淀期末理科已知函数.()若曲线存在斜率为的切线,求

2、实数的取值范畴; ()求的单调区间;()设函数,求证:当时,在上存在极小值.答案19. (本小题满分14分)解:()由得 .由已知曲线存在斜率为的切线,因此存在不小于零的实数根, 即存在不小于零的实数根, 由于在时单调递增,因此实数的取值范畴. ()由,可得当时,因此函数的增区间为;当时,若,若, 因此此时函数的增区间为,减区间为. ()由及题设得, 由可得,由()可知函数在上递增, 因此, 取,显然, 因此存在满足,即存在满足, 因此在区间上的状况如下:0极小 因此当时,在上存在极小值.(本题所取的特殊值不唯一,注意到),因此只需要即可)海淀一模18.(本小题满分13分)已知函数,其中实数.

3、()判断与否为函数的极值点,并阐明理由;()若在区间上恒成立,求的取值范畴.答案18.(本小题满分13分)解:法1:()由可得函数定义域为,, 由得.由于,因此.当时,因此的变化如下表:0极小值当时,的变化如下表:00极大值极小值综上,是函数的极值点,且为极小值点.()易知,由()可知,当时,函数在区间上单调递减,因此有恒成立;当时,函数在区间上单调递增,因此,因此不等式不能恒成立;因此时有在区间上恒成立. 法2:()由可得函数定义域为,令,经验证,由于,因此的鉴别式,阐明:写明也可以由二次函数性质可得,1是的异号零点,因此1是的异号零点,因此是函数的极值点.()易知,由于,又由于,因此,因此

4、当时,在区间上,因此函数单调递减,因此有恒成立;当时,在区间上,因此函数单调递增,因此,因此不等式不能恒成立;因此时有在区间上恒成立. 海淀二模19.(本小题满分13分)已知函数.()若曲线在处的切线与直线垂直,求的值;()当时,求证:存在实数使.答案19.(本小题满分13分)解:(),由于曲线在处的切线与直线垂直,因此切线的斜率为2,因此,因此.()法1:当时,显然有,即存在实数使;当时,由可得,因此在时,因此函数在上递减;时,因此函数在上递增因此是的极小值.由函数可得,由可得,因此,综上,若,存在实数使.()法2:当时,显然有,即存在实数使;当时,由可得,因此在时,因此函数在上递减;时,因此函数在上递增.因此是的极小值.设,则,令,得+0-极大值因此当时,因此,综上,若,存在实数使.

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