北京导数专题汇编

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1、海淀期中文科 18. （本小题满分14分） 已知函数. （Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）当时，求函数在区间上的最小值. 答案 18.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）当时，， 因此，---------------------------------------------------------------------2分 由得. -------------------------------------------------

2、------------------1分 随的变化如下： 2 + 0 ↗ 极大值 ↘ --------------------------------------------------------------------------------2分 因此的单调递增区间为，单调递减区间为.------------------1分 （Ⅱ）由得 ,.-------------------------------------------------------------------1分 令，由于，解得.------------------------

3、-----------------------1分 ①当时，即时，对恒成立， 因此在上单调递增，------------------------------------------------------------1分 因此;---------------------------------------------------------------------1分 ②当时，即时，在上的状况如下： 0 1 0 + ↘ 极小值 ↗ ------------------------------------------------

4、----------------------------------------2分 因此， ---------------------------------------------------1分 综上，当时，；当时，.-------------1分 海淀期中理科 19. （本小题满分14分） 已知函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）求证：当时，函数存在最小值. 海淀期末理科 已知函数. （Ⅰ）若曲线存在斜率

5、为的切线，求实数的取值范畴； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）设函数，求证：当时，在上存在极小值. 答案 19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由得 . 由已知曲线存在斜率为的切线， 因此存在不小于零的实数根， 即存在不小于零的实数根， 由于在时单调递增， 因此实数的取值范畴. （Ⅱ）由，，可得 当时，，因此函数的增区间为； 当时，若，，若，， 因此此时函数的增区间为，减区间为. （Ⅲ）由及题设得，

6、 由可得，由(Ⅱ)可知函数在上递增， 因此， 取，显然， ， 因此存在满足，即 存在满足， 因此在区间上的状况如下： 0 ↘ 极小 ↗ 因此当时，在上存在极小值. （本题所取的特殊值不唯一，注意到），因此只需要即可） 海淀一模 18.（本小题满分13分） 已知函数，其中实数. （Ⅰ）判断与否为函数的极值点，并阐明理由； （Ⅱ）若在区间上恒成立，求的取值范畴.

7、 答案 18.（本小题满分13分） 解：法1： （Ⅰ）由可得 函数定义域为， , 由得. 由于，因此. 当时，，因此的变化如下表： 0 ↘ 极小值 ↗ 当时，， 的变化如下表： 0 0 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 综上，是函数的极值点，且为极小值点. （Ⅱ）易知， 由（Ⅰ）可知， 当时，函数在区间上单调递减， 因此有恒成立； 当时，函数在区间上单调递增， 因此，因此不等式不能恒成

8、立； 因此时有在区间上恒成立. 法2： （Ⅰ）由可得 函数定义域为， 令，经验证， 由于，因此的鉴别式， {阐明：写明也可以} 由二次函数性质可得，1是的异号零点， 因此1是的异号零点， 因此是函数的极值点. （Ⅱ）易知， 由于， 又由于，因此， 因此当时，在区间上，因此函数单调递减， 因此有恒成立； 当时，在区间上，因此函数单调递增， 因此，因此不等式不能恒成立； 因此时有在区间上恒成立. 海淀二模 19.（本小题满分13分） 已知函数. （Ⅰ）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； （Ⅱ）当时，求证：存在实数使.

9、 答案 19.（本小题满分13分） 解： （Ⅰ）， 由于曲线在处的切线与直线垂直， 因此切线的斜率为2， 因此， 因此. （Ⅱ）法1：当时，显然有，即存在实数使； 当时，由可得， 因此在时，，因此函数在上递减； 时，，因此函数在上递增 因此是的极小值. 由函数可得， 由可得， 因此， 综上，若，存在实数使. （Ⅱ）法2：当时，显然有，即存在实数使； 当时，由可得， 因此在时，，因此函数在上递减； 时，，因此函数在上递增. 因此是的极小值. 设，则,令，得 + 0 - ↗ 极大值 ↘ 因此当时， 因此， 综上，若，存在实数使.