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1、专题：数列与解析几何综合一一点列问1 如图，直线h : y kx 1 k（k 0,k-）与J : y -x -相交于点P直线ii与x轴交于2 2 2点Pi,过点P1作x轴的垂线交直线|2于点Qi,过点Qi作y轴的垂线交直线|1于点P2,过点P2作x轴的 垂线交直线12于点Q2,，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2,，点Pn（n=1,2,）的横坐标构成数列Xn(I)证明xnA11 一（Xn 1）, n N * ; 2k的通项公式；（n）求数列（川）比较2| PPn |2与4k2 | PR |2 5的大小.Xn【解析】I）证明：设点Pn的坐标是（Xn, yn）,由已知条件得点 Q
2、n、Pn+1的坐标分别是:1 1(xn xn 2), (x1 1由Pn+1在直线11上，得xnkXn 11k.2 21所以 一(Xn1)k(Xn 11),即Xn 111(Xn1), n N*.22k1（n）解：由题设知x1 1,x1k11 k0,又由（I）知 Xn 1所以数列xn 1是首项为X1 1,公比为1的等比数列.2k从而Xn 1(),即Xn1 2(-1 n),n N * .k 2k2k11 丟(xn1)，102(0 1) 51(i)当 | k |，即k2y kx 1k,（川）解：由11yx -22得点p的坐标为（1, 1）.J所以 2 I PPn I222(Xn 1)21 2n1 2n
3、 22(kXn 1 k 1)8 ( )2()2k2k2 2 2 1 24k | PR |5 4k (1 一 1)k4k29.11或 k 时，4k2 | PP1 |25 1+9=10.221而此时 0 I 丄丨 1,所以 2 | PPn |2 8 1 2 10故2|PPn |2 4k2 |PP1 |2 5. 2k1 1199(ii)当 0 |k| ,即k ( ,0)U(0,)时，4k2 | PR |250),过C上的点A1 (1, 1)作曲线C的切线l1交x轴于点B1，再过点B1作y 轴的平行线交曲线 C于点A2，再过点A2作曲线C的切线12交x轴于点B2，再过点B2作y轴的平行线交 曲线C于交
4、A3,，依次作下去，记点An的横坐标为an(n N*).(1) 求数列an的通项公式；(2) 设数列an的前n项和为Sn,求证：anSn 1;n(3)求证：i 1【解析】14n 1-aiSi3(1)T曲线C在点An(an,a：)处的切线In的斜率是2an,二切线In的方程是y-a： 2an(x a“).1由于点Bn的横坐标等于点An+1的横坐标a：+1，所以，令y=0 ,得a：+1 =an。2二数列an是首项为12n 111，公比为一的等比数列. an=21(2)V Sn= 11=2(1-尹, anSn=4 R-尹).令t二，则24 , anSn=4t(1-t)=-4(t- - )2+1.2
5、21 1.当 t=_，即 n=1 时，-4%)2+1 有最大值 1，即 anSn1.2 1 1(3 ) Skk,k N，akSka ,即42 .ak Skak1数列飞是首项为1，公比为4的等比数列.ak1 n4aiSi i 111 4n -a 1 4(3)记1 bn=1求 bn数列的前项和2Sn,并证明Sn+=1anan23Tn 1【解析】(I)由已知2an 1an2anan 11(an 1)2Q a12an11，两边取对数得8、( 06山东卷)已知 a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x 2+2x的图象上，其中=1 , 2, 3, (1)证明数列 lg(1+an)是等比数列；设Tn
6、=(1+a1) (1+a2)(1+a，求Tn及数列 an的通项；lg(1an 1)2lg(1an)，即 g(1 an 1)lg(1an)lg(1 an)是公比为2的等比数列.n 1(n)由(i)知 lg(1 an)2 lg(1ai)2n12n 11 lg3 lg32an321( *)Tn(1ai)(1a2)(1+a n)232323232”1312 22+2n-1=32-1由(* )式得ann 132(川)Qan1a0 2anan (an2)ananan 1an 1an2)bn又an2(寸anSnbib2+bn2Ga2a2as1+ anan丄)an 1Q an2n321,a12,an2n32S
7、n又Tn2n 132 1Sn3Tn 11.(本题满分16分)由原点3O向曲线f (x) x3ax2(a0)引切线，切于不同于O的点P1 ( X1, Pn(Xn,y1),再由点P1引此曲线的切线，切于不同于yn).P1的点P2(X2,y2),如此继续下去，得到点列(I)求X1 ；(n)求证：数列xn a为等比数列;(川)令bn n|Xn a|, Tn为数列 bn的前n项的和，若Tn2对n N恒成立，求a的取值范围 【解析】 2(I ) f (x) 3x 6ax 1过切点P1 (X1,y1)的切线方程为2y y1 (3x16ax1 1)(x x1)由于切线过原点3因此0 (X12 23aX1 X1
8、) (3x1 6aX1 1)(0 X1)3解得x1(n)过切点Pn+1(Xn+1 , yn+1 )2的切线方程为yyn1(3Xn16aXn11)(xXn1)2由于切线过点Pn （ Xn， yn），因此yn yn 1 （3xn6aXn 11)(Xn XnJ- -6化简得Xn2Xn 1 3a , Xn a 2(Xn 1 a)即4 aXn a数列Xna是以X1 a I为首项，公比为的等比数列。bn（川）由（n ）得Xna = -( -)n12 2n2n11Sn21222323222323L 亠，由错位相减可求得2口2* 113-=2a(1n 22* 1 )2，由单调性得2n112 42* 112* 1要使Tn2对n N恒成立，故a a的取值范围是（,4）（4,）。16
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