最新版斐波那奇数列之通项及应用

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1、斐波那奇数列之通项及应用 摘 要 一个兔子生兔子的问题引发了斐波那奇数列,自问世以来,在股票价格预测、生物学、生活等领域都有直接的作用.这个数列不仅显示出在数学理论和应用上的重要作用,并且形象的展现了数学的美.人们通过认真的摸索斐波那奇数列,将许多看上去好像没有联系的数学概念相联系了起来.因此,探究斐波那奇数列成为一项在各个学科有重要性的研究.本文主要研究如何用不同方法求解斐波那奇数列通项的问题,并且探究斐波那奇数列主要有哪些应用以及黄金分割法的几何解释,从而能够对斐波那奇数列有深入的了解. 关键词 斐波那奇数列；通项；应用；黄金分割1引言1.1研究背景及现状列昂纳多斐波那奇（Leonardo

2、 Fibonacci,在1170年出生,于1240年离开世上）是意大利的数学家,也是第一个研究印度和阿拉伯数学的欧洲人.在公元1202年,他撰写了珠算原理一书.书中由兔子问题提到一种形如1、1、2、3、5、8的数列，该数列是一种从第三项开始,每一项即是前两项之和的数列,很多数学家对这种数列产生了浓厚的兴趣并且持续的关注着这种数列的研究,其后该数列被称为斐波那奇数列.当前也有许多研究是与斐波那契数列有关系的,从研究发现该数列在股票价格预测、生物学、日常生活等领域都有很大的贡献.从1960年代起,美国数学会发布了了斐波那奇数列季刊,用来记载斐波那奇数列在各领域新应用的相关文章,由此可见,斐波那奇数

3、列从发现至今的影响力还是相当大的.1.2斐波那奇数列的提出-兔子问题 问题引入：假想需要一个月的时间一对初生兔子就能到达成熟期,且一对成熟的兔子经过一个月的时间都能生出一对小兔子.倘若所有兔子都不会中途死掉,从一对初生的兔子开始计算,则十二个月后能有多少对的兔子被繁殖出来？ 问题分析：以一对初生兔子为例子可以分析如下：第一个月：初生兔子没有达到成熟期不能繁殖,因此兔子数为1对；第二个月：初生兔子繁殖出1对小兔子,因此兔子数为2对；第三个月：小兔子没有生育能力而初生兔子又繁殖出一对兔子,因此兔子数为3对； 以此类推,可以得到表1中的结果. 表1 每月繁殖后的兔子数月份0123456789繁殖后兔

4、子数11235813213455 由表1可见,从最初的一个月开始兔子的总对数分别是： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55由此所构成的数列就是后来我们所说的斐波那奇数列.这一个数列从它的第三个值开始,每一个值都是前两个值的和,因此可以定义为: 若数列满足 （1.1）则此数列被称为斐波那奇数列.显而易见,这个数列满足线性递推的关系.1.3本文主要工作及内容本文主要研究如何使用不同方法求解斐波那奇数列通项的问题,并且探究斐波那奇数列主要有哪些应用以及黄金分割法的几何解释,从而能够对斐波那奇数列有深入的了解.2斐波那奇数列的通项求解方法2.1用矩阵法求解斐波那奇数列的通用项表达式2.1.1

5、矩阵的定义 有m x n个数排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵,简称m x n矩阵1.记做： (2.1) 这m x n个数称为矩阵A的元素,简称为元,数位于矩阵的第i行第j列,称为矩阵A的（i,j）元1.2.1.2计算矩阵A的N次幂结合律能够用运用于二阶矩阵的乘法,若有随意的二阶矩阵A,B,C,则A(BC)=(AB)C.所以当计算矩阵A的N次幂时,可以将N次幂转化成比较小的次幂的矩阵相乘.即： (2.2)当我们在计算是则可以转化为计算,计算时可以转化为计算,这样就可以减少计算次数更快得到A的N次幂的结果.2.1.3用矩阵法求解斐波那奇数列的通用项表达式的方法因为斐波那奇数列从第三个值往后来

6、看,每一个值都是前两个值的和,所以有公式(1.1),则可以将斐波那奇数列写成以下的一个2x1矩阵. 因此求解斐波那奇数列的通项F(n)等价于求解二阶矩阵的n-1次方中第一行第一列的元素，这里我们利用相似对角化的方法求解F(n)。 可以令 (2.3)则有 (2.4) 求解方程得到 (2.5)因此可以得到的基础解系为 (2.6)的基础解系为 (2.7) 当假设 (2.8)可以求得 (2.9)其中 (2.10) 因此有 (2.11)对A两边取n次方,可以得到 (2.12) 进行矩阵运算便可以求解得到斐波那契数列的通用项表达式为 (2.13)2.2用差分方程法求解斐波那奇数列的通用项表达式2.2.1差

7、分方程的基本概念 一阶差分方程的定义是函数在n时刻能够满足： (2.14) 二阶差分方程的定义是函数在n时刻的一阶差分的差分,记为.定义为： (2.15)含有未知函数的差分,的方程称为差分方程,差分的最高阶数称为差分方程的阶2.2.2.2差分方程求解斐波那奇数列通用项表达式的过程 由斐波那奇数列的表达式 (2.16)可以得到 (2.17)即有 (2.18) 通过构造特征方程为 （2.19） 令它的两个根为p和q,则有 pq=-1,p+q=1 (2.20)为了推导的方便,可令,则仍然满足式(2.17).因为 (2.21) 所以有是以q为公比的等比数列.再由 (2.22)得到 (2.23)同理可得

8、 (2.24) 用式(2.23)-(2.24)可以得到 (2.25)联立求得 , (2.26) 所以得到斐波那奇数列为 (2.27) 验证得,也满足此通项公式.3. 黄金分割3.1黄金分割与黄金分割数的数学定义 黄金分割说的是事物每个部位之间存在着一定的数学关系的比例.将一个整体分成不同的两部分,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,比值约为0.618的比例被称为黄金分割3.从古至今,0.618都被称为神秘且迷人的数字.因为被大家普遍看作是最能产生美感的比例,所以被称为黄金分割4.黄金分割的数学定义是把一条线段分割为两部分,让比较大的那部分和整条线段长的比值等于比较小的部分与比

9、较大部分的比值.其比值是,近似为0.618,通常用希腊字母表示3.如下图所示的数学比例关系就是黄金分割：若一条线段AB的长度是a,C点在接近B点的黄金分割点上,且AC为b,则a和b的比值就是黄金数4. 图1 黄金分割比例图 如图1,因为 (3.1)所以有 (3.2)即可以推得 (3.3)则 , (3.4) 所以得到黄金分割比为 (3.5)3.2黄金分割法的几何解释3.2.1黄金分割对正五边形的解释通过连接正五边形的5条对角线获得正五角星,则这些对角线的交点就是所在线段上的黄金分割点.连接这些线段上的黄金分割点可以构成一个新的正五边形,无限循环这个过程可以得到多个正五边形.如图2所示,若要证明S

10、点是CA的黄金分割点,只要证明 (3.6)通过证明且BC=BA=SA就可证明式(3.6)的正确性.图2 正五边形中的五角星在有一个角为36的等腰三角形中也能够类似证明得到底脚的角平分线黄金分割该等腰三角形的一条腰.因此有一个角为36的等腰三角形被称为黄金三角形.在正五角星中可以随处见到这个三角形,如图3所示画出一段段相互衔接的120圆弧,连接得到的曲线近似于得到一条对数螺线.图3 黄金三角形3.2.2正三角形和正方形当中有关的黄金分割点解释在等边ABC中,以BC为边在顺时针的方向作正方形得到BQPC.然后以C点作为圆心,CQ为半径作圆弧与AB所在直线的正向延长线相交于点R.那么点B就是线段AR

11、的黄金分割点.如图4所示:图4 正三角形与正放心 连接CR,且作COAR与点O. 假设 AB=1 (3.7)则 (3.8) 设BR=x,在CRO中运用勾股定理得到 (3.9) 则由式子(3.9)可以得到.因此证明点B是线段AR的黄金分割点.3.2.3等边三角形当中的外接圆的有关黄金分割点解释 作等边ABC,点P、Q分别是边AC与BC的中点.PQ的正方向延长线与ABC作出的外接圆相交于点R.那么可以得到点Q是线段PR的黄金分割点.如图5所示:图5 等边三角形与外接圆 假设AB=2,则有DE=CE=BE=1 (3.10)若EF=x,RP的正向延长线交ABC所作的外接圆与点O,则QO=1+x.通过相

12、交弦定理得 (3.11)即有 (3.12) 通过式(3.12)计算得到.因此证明点Q满足成为线段PR的黄金分割点的条件.3.3斐波那奇数列当中和黄金分割相关的关系相邻两个斐波那奇数列的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割的,即 5 (3.13) 因为斐波那奇数列都是整数,且两个整数相除之商是有理数,因此比值是逐渐逼近黄金分割比这个无理数.然而当斐波那奇数列的数值更大是,就会发现数列中相邻两数之比是非常接近黄金分割比的5.3.4黄金分割的应用3.4.1黄金分割点与人体结构 意大利研究数列的数学家斐波那奇在测量了许多人体相关的许多数据后发现,人体当中肚脐以下的长度与人体整体身高的比值接近0.618

13、,也有极少部分人因为比值是0.618而获得“标准美人”的称号.许多艺术家在做人体创作时也会以黄金比为标准,例如古希腊雕像维纳斯女神,它的比值正好就是0.618. 近几年,许多学者陆续发现人体中有关黄金分割的数据.也有部分专家认为,人体中黄金分割的数据可以充分表明世界上最美的物体就是人体,也提供了相关的科学依据以至于可以在临床中进行人们身体比例的美和容貌的美的改造.在几何学方面是天才的欧几里得发现,大自然美丽的奥妙是因为大多数数学比例都将近1比0.618.医学方面的专家也发现,一个人身心最舒服和快乐的时刻是当脑电波频率的上下限比率接近0.618的时候.人体物质中含量最多的物质是通过水来组成的,而

14、且水分占成年人体的体重的0.618.3.4.2黄金分割显示的艺术在绘画当中会产生一种很棒的混色原理是由比例而获得舒适的美,不一样的两个颜色通过混合会产生一种间色,例如将红色和黄色相互调配可以获得到橙色,但是用红色的量和黄色的量如果不相同那么就会会影响橙色的颜色.倘若要混合制作出不同的间色那么需要使用的两种原色的量肯定是不相同的,人们往往采用的调配量是：这种相互匹配的颜色量不但能够与斐波那奇数列相关联,也能够应用于黄金分割相关的定理,所以能够调配出舒适、贴近生活的颜色并且让人拥有一种美的感受.因此不管多少种不同颜色的相互混合,只要达到能够构成黄金分割的比例,那么所产生的复色能够给人一种舒适的感觉

15、.许多研究艺术的专家和科学方面的权威人物都认为建筑艺术需要遵照黄金分割定理,雕塑家和建筑大师们灵活的运用黄金分割定理创作出了令人倾倒的艺术作品和让人叹为观止的建筑杰作.加拿大多伦多电视塔被誉为当今世界最高建筑之一,他的塔全部高为553.3米,在340米的高度处中建了七层高度的工作厅,它们的比值约为0.615,十分接近黄金比.类似于这样的建筑还有在公元前3000年构建的胡夫大金字塔,它的高度与底部相关边长的比值约为0.625,也是十分接近黄金比.因此可以看出,不管是在绘画领域还是建筑领域,很多艺术中都蕴含着斐波那奇数列与黄金分割的关系.3.4.3黄金分割在优选法的应用 优选法的一个理论依据是通过

16、黄金分割定理获得的.求最优化问题的方法被称为优选法,即计算如何能够使质量生产的最好、耗损减少到相对少、生产数量增加到最大的量.在数学上把解决最优化问题的要领大概为两类：直接最优化方法和间接最优化方法.把需要我们研究的对象应用能够用数学相关的方程式来表示,然后用数学方法来求得最优解的方法称为间接最优化方法.倘若处理的对象自身无法采用明确的式子来表示,无法使用间接最优化方法,人们则通过大量的实验来找寻最优解.直接最优化方法就是如何安排实验,又快又省的求得最优解.通过实验的统计,可以发现解决一个因素问题,用0.618法做16次实验的效果相当于用对分法做2500次实验. 目前黄金分割定理广泛应用于生活

17、中,比如在股票的买和卖的操作中就有着至关重要的作用.首先我们需要记着0.382、0.618、1.382、1.618这几个数字,这4个数所产生的相关黄金分割线最容易当作股票价格中的支撑价格和压力价格.接着我们需要寻找到一个点,这个点可以局部范围内是股票的走势上升结束准备转为反向向下的最高点,也可以是股票走势下降结束开始反向向上的最低点.只要确定了这个点,我们就能够绘制出黄金分割线.倘若是股票走势上升准备反向向下时,此时我们最在乎的问题是在什么时候可以得到下降的支撑.假设股票走势上升的最高点是15元,则当价格到达15*0.382=5.73元和15*0.618=9.27元最有可能成为支撑.同理,在股

18、票走势下降结束准备反向向上时,我们最在乎的是股票走势上升到什么时候会遇到压力.假设下降的最低价格为15元,则当价钱到达15*1.382=20.73元和15*1.618=24.27元将会成为压力位.因此,在股票的起伏当中,合理的运用0.618法可以预测出股票的未来走势,有助于我们合理的购买股票.4.斐波那奇数列的应用4.1生物学中的斐波那奇数列在有些植物的花瓣、萼片、果实的数量以及分布中可以经常找寻到斐波那奇数列的身影.仔细研究和观察不相同的植物所拥有的花瓣数量,可以发现,一般情况的时候不同植物的花瓣的数量都是3,5,8,13,21,34,.这些数刚刚好能够组成一组斐波那奇数列.例如:百合花的花

19、瓣数为3；长春花有5片花瓣；格桑花有8片花瓣；万寿菊的花瓣数为13.还有一种典型的斐波那奇数学模型,那就是向日葵种子的排列方式.仔细观察向日葵的种子花盘,那么就会找到会有两簇方向相反的螺线,一组是顺时针的方向进行盘旋,另一组则是通过逆时针的方向进行盘旋的,并且螺线的数量是斐波那奇数列中紧依靠的两个值.正常情况下在逆时针的方向上生长出来的的螺线数为21条,顺时针的方向生长出来的螺线数为34条；或者有些向日葵生长出来的螺线数量能够达到89和144,这些数都是斐波那奇数列中相邻的两项6.图6 向日葵种子的排列另外生物学上著名的“鲁德维格定律”,也充分彰显了斐波那奇数列在生物学上的应用.在一部分树木的

20、生长阶段,新生的枝条基本上需要补充消耗的能量而暂停生长一段时间,在消耗补充完整之后再继续萌发新的枝条.所以,一颗小树苗在一阵子的时间间隔,好比一年的时间,之后才会生长出新的枝条；第二年长出来新的枝条暂停生长,老的枝条依然萌发；在这之后,老的枝条与暂停生长一阵子并且过了一年的枝条同时萌发,当年新生的枝条则第二年暂停生长.以此类推,一颗数目每一年生长的枝条数就构成了斐波那奇数列.图7 鲁德维格定律图4.2生活中的斐波那奇数列问题：让学生和老师坐成一排,假设让老师不能彼此相邻的坐在一起,并且有不同数目的椅子,则计算有多少种可能的做法.解决方法：如果只有一张椅子,那么可以是老师坐或者学生坐,则共有种坐

21、法；如果只有两张椅子,那么可以老师和学生坐、学生和老师坐以及学生和学生坐,那么共有种坐法；如果有n张椅子,则可以通过考虑n-1张椅子的情况下再加入一张椅子,若最后一个是学生坐则没有问题,共有种坐法；但是最后一个如果是老师坐,那么最后两张椅子必须是学生和老说坐才符合条件,所以最后两张椅子的位置其实是已经固定好了的,共有种坐法.于是相当于n张椅子一共有,则出现了一组斐波那奇数列.实际生活中也是会经常遇到类似于座位问题这样的问题的,我们可以通过斐波那奇数列对类似于这样的问题做最优化的处理.由此可以看出,斐波那奇数列在我们的现实生活中担当着不可或缺的地位. 参考文献：1同济大学数学系,线性代数M,高等

22、教育出版社,2007年:41-41.2石瑞青等主编,常微分方程第三版M,中国时代经济出版社,2007年:67-67.3司志本,黄金分割-神圣的分割J,湖南第一师范学报,2003(1):60-60.4欧几里得,几何原本M,陕西科学技术出版社,2003年:12-12.5陈思尧,黄金分割与斐波那奇数列的证明与研究J,2014,4:9-11.6 曾兰玲,数目花卉形态建模研究D,浙江大学博士学位论文,2009年:33-33.The Fibonacci Sequence of general term applicationZehua MaAbstract: A bunny rabbit born pro

23、blems caused by The Fibonacci sequence since its inception, has a direct role in the field of stock price prediction, biology, life shows that the series is not only important in the mathematical theory and applications. role, and perfectly reflects the beauty of mathematics. it adopted the explorat

24、ion of Fibonacci odd columns of the many mathematical concepts seem unrelated linked up. Therefore, exploring Fibonacci Sequence become an odd-numbered column in various research disciplines importance. This paper studies how to solve problems in different ways Fibonacci Sequence with an odd number, and explore Fibonacci odd columns which are mainly geometric interpretation and application of the Golden Section, thus able to The Fibonacci sequence have a better understanding. Keywords: Fibonacci sequence; general term; Applications; golden section13