高等数学第三版教案第七章全

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1、高等数学（第三版）教案第七章全7.1.1 级数的概念教学目标：（1）学习无穷级数收敛、发散以及收敛级数的和等概念；（2）掌握级数的基本性质，熟记几何级数的敛散性；（3）会用级数的概念及基本性质判断一些级数的敛散性；教学重点：（1）无穷级数的概念及基本性质； （2）判断一些级数的敛散性。教学难点：无穷级数的概念及基本性质的正确应用。授课时数：1课时教学过程过程备注引言 介绍本章学习的主要内容。教师讲授3知识回顾在等比数列中，当公比时，前n项和为.叫做一般项或通项.引导学生回答6新知识无穷数列的各项和（即所有项的和），叫做无穷级数，简称级数记作.即其中第n项叫做级数的一般项或通项.例如，级数,的一

2、般项是.如果是常数，那么级数叫做常数项级数，如果是变量(或其他变量)的函数，那么级数叫做函数项级数例如，级数，级数都是常数项级数；而级数，级数都是函数项级数.首先研究常数项级数级数的前项之和叫做级数的部分和如果当时，有极限，即，那么，称级数收敛，并把极限值叫做这个级数的和.即如果当时，的极限不存在，那么称这个级数发散.教师讲授15知识巩固例1 判别级数是否收敛若收敛求其和.解 这个级数是公比为的等比数列的各项和，叫做等比级数其部分和为，所以 . 因此，级数收敛，其和为说明：等比级数，当时， .故级数收敛，且其和为；当时，级数发散.例2 判别级数的敛散性.解 级数的部分和为，因为 ，所以级数发散

3、.在教师引领下共同完成22新知识利用极限的性质可以得到级数下列面性质(证明略).性质 1 如果级数收敛，其和为S，那么级数也收敛，其和为（C为常数）.性质2 如果级数与级数都收敛，其和分别为和，那么级数也收敛，其和为.性质 3 如果一个级数收敛，那么去掉、加上或改变有限项得到的级数仍然收敛教师讲授26知识巩固例3 判别级数是否收敛，如果收敛，求出级数的和.解 级数是等比级数，且公比，该级数收敛，其和为，级数是等比级数，且公比，该级数收敛，其和为，因此级数收敛，并且和为.在教师引领下共同完成30链接软件利用在Matlab软件可以判断级数是否收敛，如果收敛可以求出和，方法详见实验7.计算例3的操作

4、为输入：clearsyms nf=(2+（1）(n-1)/3n;I=symsum(f,n,1,inf)显示： .说明 如果级数发散，则显示结果为inf(即).演示351. 判别下列级数是否收敛，若收敛写出级数的和(1)；(2)；2.利用级数收敛的性质，判断级数的敛散性，若收敛，则求其和.学生课上完成42小结 新知识：无穷级数的概念及基本性质，判断一些级数的敛散性。 作业 1. 通过复习级数的概念，总结7.1.1学习的内容；2. 完成高等数学习题集“”。457.1.2 幂级数教学目标：（1）记住幂级数的一般形式及相关概念；（2）学会求一些简单的幂级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上的和函数。教

5、学重点：（1）幂级数的一般形式及相关概念；（2）一些简单的幂级数的收敛半径，收敛区间的求法。教学难点：幂级数概念的理解。授课时数： 1课时.教学过程过程备注探究下面研究函数项级数观察等比级数.级数的部分和为 ，所以 因此，级数当时，收敛且其和为；当时发散.提问5新知识形如的函数项级数叫做的幂级数（其中，是常数）.当时，上述的幂级数成为可以看到，等比级数是幂级数.使函数项级数收敛的点叫做级数的收敛点.使函数项级数发散的点叫做级数的发散点.所有收敛点的集合叫做级数的收敛域，所有发散点的集合叫做级数的发散域.例如幂级数的收敛域为.函数项级数对于收敛域内的某一个点，都有一个确定的和数与之对应，这样在收

6、敛域内，函数项级数的和是的函数，叫做函数项级数的和函数，记作.即=.例如幂级数的和函数为，即=，.教师讲 授12知识巩固例4 求幂级数的收敛域与和函数.解 该幂级数是公比为的等比级数，其部分和为.根据上面的讨论，当，即时，级数收敛并且.故级数的收敛域为，和函数为.即，.教师讲授17新知识幂级数的收敛性一般有以下三种情形：（1） 仅在点x0处收敛，（2） 在（，）内处处收敛，（3） 存在一个正数R，当|x|R时发散称正数R为级数的收敛半径，区间叫做收敛区间经常使用下面的方法进行判定：对于幂级数，设an0，如果，那么（1）当0时，收敛半径R；（2）当0时，收敛半径R；（3）当时，收敛半径R0教师讲

7、授25知识巩固例5 求幂级数的收敛半径及收敛区间解 由于an，an+1，因此1则收敛半径R1，收敛区间为（1，1）例6 求幂级数的收敛区间.解 令，于是原幂级数变为. .所以 .由，即得故幂级数的收敛区间.说明 求幂级数的收敛域的时候，一般需要首先求出收敛区间，然后判定级数在区间端点处是否收敛如本题中，级数在x1处收敛，在x1处发散，因此级数的收敛域是1，1）在本教材中，一般不做这方面的研究，如果需要可以利用软件来完成教师引领学生完 成33链接软件利用matlab软件可以将一个函数展开为幂级数，方法详见实验7.例如：将函数展开为幂级数，写出展开至5次幂项的操作为：clearsyms xf=si

8、n(x);taylor(f)显示：f = sin(x) ans = x-1/6*x3+1/120*x5即 演示37练习7.1.21. 求下列幂级数的收敛区间与和函数2. 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间（1）；（2）.学生课上完成43小结 新知识：幂级数的一般形式及相关概念，一些简单的幂级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上和函数的求法。作业 1.记忆幂级数的一般形式，梳理求幂级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上和函数的方法。2.完成高等数学习题集“”中的1，2，4。457.2.1周期为2的函数展开为傅里叶级数教学目标：（1）了解傅里叶级数的概念和将函数展开成傅里叶级数的条件；（2）学会将周

9、期为的函数展开为傅里叶级数。教学重点：将周期为的函数展开为傅里叶级数。教学难点：傅里叶级数的概念和将函数展开成傅里叶级数的条件。授课时数： 2课时.教学过程过程备注新知识设是一个以为周期的函数，且能展开成级数，即 叫做函数的傅立叶级数，其中 ， ， （7.1） . 系数叫做函数的傅立叶系数.设是以为周期的函数，如果函数在一个周期内连续或至多只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，可以证明函数的傅立叶级数收敛，并且(1)当是的连续点时，级数收敛于；(2)当是的间断点时，级数收敛于.实际问题中我们所遇到的周期函数，一般都能满足上述定理的条件，因而都能展开为傅立叶级数.教师讲授10知识巩固

10、例1 设是以为周期的函数，它在上的表示式为将展开为傅立叶级数.解 计算傅立叶系数：， .因此得到的傅立叶级数为在函数的间断点处，它的收敛于.所以展开为傅立叶级数（，）和函数的图像如图7-1所示.图71说明：为简单起见，本章后面讨论周期函数展开为傅立叶级数，不再讨论间断点处的收敛情况.例2 设是以为周期的函数，它在上的表示式为 ，将展开为傅立叶级数.解 因为， .所以的傅立叶级数为.教师讲授在教师引领下完成35新知识如果是周期为的奇函数,那么它的傅立叶系数中，.于是的展开为傅立叶级数 傅立叶展开式中只有正弦项,这样的级数叫做正弦级数.如果是的偶函数,那么它的傅立叶系数中，于是的展开为傅立叶级数傅

11、立叶展开式中只有余弦项,这样的级数叫做余弦级数.首先判断函数的奇偶性，有时候会给函数的傅立叶级数展开带来便利教师讲授45知识巩固例3 设是以为周期的函数，它在上的表示式为将展开为傅立叶级数.解 因为周期函数为偶函数，所以它的傅立叶级数是余弦级数， ，.所以的傅立叶级数为 在教师引领下完成55练习7.2.11.设是周期为的函数，它在上的表示式为其中为不等于零的常数，将展开为傅立叶级数.2.设是周期为的函数，它在上的表示式为将展开为傅立叶级数.学生课上完成85小结新知识：傅里叶级数的概念，将函数展开成傅里叶级数的条件，周期为的函数展开为傅里叶级数。 作业1.熟记傅里叶系数公式，总结周期为的函数展开

12、为傅里叶级数的步骤。2.完成高等数学习题集“”。907.2.2周期为2l的函数展开成傅里叶级数教学目标：学会将周期为的函数展开为傅里叶级数。教学重点：将周期为的函数展开为傅里叶级数。教学难点：周期为的函数变换为周期为的函数过程的理解。授课时数： 1课时.教学过程过程备注探究设函数的周期为，令,则当在区间上取值时，就在上取值.设，则是以为周期的函数.将展开为傅立叶级数，其中 ； .在以上各式中，把变量换回并注意到，可以得到以周期为的函数的傅立叶级数展开式.教师讲授5新知识周期为的函数的傅立叶级数展开式.，其中 ， ， （7.2） 类似地，如果是奇函数，则它的傅立叶级数是正弦级数，即，其中 .如果

13、是偶函数，则它的傅立叶级数是余弦级数，即，其中 ，.教师讲授10知识巩固例4 设是周期为4的函数，它在上的表示式为其中为不等于零的常数，将展开为傅立叶级数.解 计算傅立叶系数.， ，所以的傅立叶级数为.在教师引领下完成20练习7.2.21.设是周期为2的函数，它在上的表示式为将展开为傅立叶级数2.将周期为4的函数，展开为傅立叶级数.学生课上完成42小结 新知识：周期为的函数展开为傅里叶级数。作业完成高等数学习题集“”。457.3.1拉氏变换的概念教学目标：（1）理解拉氏变换的概念；（2）学会用拉氏变换表求函数的拉氏变换；（3）认识单位阶梯函数和狄拉克函数。教学重点：（1）拉氏变换的概念；（2）

14、用拉氏变换表求函数的拉氏变换；教学难点：拉氏变换的概念的理解。授课时数： 1课时.教学过程过程备注新知识设函数的定义域为，若广义积分在的某一范围内收敛，则此积分就确定了一个参数为的函数，记作，即.函数叫做的拉普拉斯(Laplace)变换，简称拉氏变换(或叫做的像函数)，用记号表示，即 (7.3)关于拉氏变换定义的几点说明：(1)定义中只要求在时有定义，假定在时，；(2)在自然科学和工程技术中经常遇到的函数，总能满足拉氏变换的存在条件，故本章略去拉氏变换的存在性的讨论.教师讲授8知识巩固例1 求指数函数()的拉氏变换.解 由公式(7.3)得 .当时，此积分收敛，故.在教师引领下共同完成13新知识

15、在实际应用中，直接用定义的方法求函数的拉氏变换比较繁琐.为了应用方便，我们将常用的函数的拉氏变换分别列表如下，供读者使用.表7-1 常用函数的拉氏变换表序号123456789101112131415教师讲授20知识巩固例2 求下列函数的拉氏变换：(1)；(2)；(3)解 (1)由拉氏变换表中 得.(2)由拉氏变换表中，得，即.(3)由，得.在教师引领下共同完成26新知识下面介绍两个自动控制系统中常用的函数.1.单位阶梯函数单位阶梯函数的表示形式为 (1)如图7-4(1)所示. （1） （2） 图74将平移个单位如图7-7(2)所示，则有 (2)2.狄拉克函数设当时，的极限叫做狄拉克(Dirac

16、)函数，简称为函数.当，；当，即 如图7-5所示，图75教师讲授32练习7.3.1利用拉氏变换表求下列函数拉氏变换(1)； (2)； (3) ；(4) ，(5) ； (6)学生课上完成42小结 新知识：拉氏变换的概念，利用拉氏变换表求函数的拉氏变换。45作业 1. 熟悉拉氏变换表中所列函数的拉氏变换；2. 完成高等数学习题集“作业”。7.3.2拉氏变换的性质教学目标：（1）理解拉氏变换的性质；（2）学会用拉氏变换的性质求函数的拉氏变换。教学重点：用拉氏变换的性质求函数的拉氏变换。教学难点：拉氏变换的性质的理解。授课时数：2课时.教学过程过程备注新知识利用拉氏变换的性质，可以更方便求一些较为复杂

17、的函数的拉氏变换.性质1 (线性性质)设，是任意常数，且，则 . (7.4)这个性质可以推广到有限个函数的情形，即，其中为常数性质1表明，函数线性组合的拉氏变换等于各个函数拉氏变换的线性组合教师讲授8知识巩固例3 求函数的拉氏变换.解 .即 .教师讲授15新知识性质2 （平移性质）设，则 . (7.5)性质2说明：乘以的拉氏变换等于其像函数做位移个单位教师讲授20知识巩固例4 求.解 因为，根据平移性质，得，同理可得 在教师引领下共同完成23新知识性质3 （延滞性质）设，则 (7.6)此性质表明，函数的拉氏变换等于的拉氏变换乘以.教师讲授28知识巩固例5 求函数的拉氏变换.解 因为，由延滞性质

18、，得 .例6 计算.解 .注意：不能直接使用上述性质，因为时，当时，不恒为零.教师讲授在教师引领下共同完成40新知识性质4 （微分性质）设，在上连续，且连续，则 . (7.7)性质4表明，一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数，再减去函数的初始值.同理 .一般地 .教师讲授50知识巩固例7 利用微分性质求.解 设，那么，.利用线性性质得.由微分性质得 ，有 ，得 ，同理可得 .在教师引领下共同完成60链接软件利用matlab软件可以求函数的拉氏变换，方法详见实验7.例如，求的操作为输入syms tlaplace(sin(x)显示：ans = 1/(s2+1) 即 .演示65练习

19、7.3.2求下列各函数的拉氏变换.(1)；(2)；(3)；(4)； (5).学生课上完成85小结新知识：利用拉氏变换的性质求函数的拉氏变换。作业 1.在记忆拉氏变换的性质的同时总结其使用方法。2.完成高等数学习题集“”。907.3.3拉氏逆变换及其性质教学目标：（1）理解拉氏逆变换的概念及性质；（2）学会应用拉氏逆变换性质及反查拉氏变换表求函数的拉氏逆变换。教学重点：求拉氏逆变换的方法。教学难点：拉氏逆变换的概念及性质的理解。授课时数：1课时.教学过程过程备注新知识前面我们讨论了由已知函数去求它的像函数的问题.但在实际问题中会遇到许多与此相反的问题.如果是的拉氏变换，那么把叫做的拉氏逆变换(或

20、的原像函数)，记作 ，即.例如，由知，一些简单的像函数，常常要从拉氏变换表中查找得到它的原像函数.例如，查看表71第6行，这里，故.用拉氏变换表求逆变换时，经常需要结合使用拉氏变换的下面三个性质.性质1 (线性性质) (7.8)性质2 (平移性质) (7.9)性质3 (延滞性质) (7.10)教师讲授10知识巩固例8 求下列函数的拉氏逆变换：(1)； (2)； (3).解 (1)由性质1及拉氏变换表得：.(2)由性质2及拉氏变换表得：.(3) .在教师引领下共同完成23链接软件利用matlab软件可以求函数的拉氏变换，方法详见实验7.例如，求的操作为输入： syms silaplace(3*s+1)/(s2+2*s+2)显示： ans = exp(-t)*(3*cos(t)-2*sin(t) 即 演示28练习7.3.3求下列函数的拉氏逆变换1.；2. ；3. ；4.；5. .学生课上完成43小结新知识：拉氏逆变换的概念、性质，求拉氏逆变换的方法。作业 完成高等数学习题集“作业”。45