3 稳态导热要点

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1、第3章 稳态导热导热是由微观分子的热运动引起的热量从高温区向低温区或者温度不 同的物体间的传递的过程。该过程在固体、液体、气体中都能发生，但在 流体中，在发生导热的同时，由于有温差的存在必然伴随有自然对流传热 现象，故只有在密实的固体中才能发生单纯的导热。研究导热问题的目的 就是要确定不同情况下物体内的温度分布及热通量和热流量的分布。3.1 平壁一维稳态导热研究导热问题，首先是通过导热微分方程确定导热物体内部的温度分 布，然后根据傅立叶定律确定导热速率，即热通量和热流量。工程实践中 存在大量稳态导热问题，如工程热设备的正常工作过程均可认为是稳态导 热问题，而且有些问题在一定条件下可以简化为一维

2、问题。无限大平板 （壁）、无限大圆筒壁、球体等是典型的一维问题，即长度和高度远大于 其厚度（一般是10倍以上），此时温度仅沿厚度方向变化，沿长度和高度 的变化可以忽略不计，如加热炉、冷藏设备等的外壁面。311第I类边界条件：表面温度为常数 单层平壁设有一厚度为s的无限大平壁，如图3.1所示。已知平壁两个表面分别维 持均匀稳定的温度T ,T，假定导热系数为常数，且无内热源。确定平壁内 w1 w2 的温度分布和通过平壁的导热热通量。图3.1单层平壁在第I类边界条件下的稳态导热该问题为一维、无内热源的稳态导热问题，其定解问题可以写成2 X TT对微分方程式连续积分两次，得其通解为：T = C x +

3、 C12式中：C和C为积分常数，由边界条件确定。12T = Cw12T - TC = w2W11sw2=Cs + C12w1平壁内温度分布为：T = T 一 w1w2 xw1s(3-2)上式即为平壁一维稳态导热问题的温度场的表达式，温度呈线性分布，说明平壁内的温度是一条直线，斜率为常量，即：dx s代入傅里叶定律，得乙-T )九q 二 ww 二 ATss(3-3)若平壁的侧表面积为F则热流量为:Q = qFSF= ATsF(3-4)式(3-3)和(3-4)就是平壁导热的计算公式，它揭示了 q,九,s和AT四个物理量间的内在关系。同时从公式可以看出，沿导热方向的任意截面上，热流 量Q和热通量q处

4、处为一常数，与传热方向x无关，这是平壁一维稳态导热的一个很重要的结论。例3.1 一窑炉的耐火硅砖炉墙，厚度为250mm。已知内壁面温度T =1500C，外壁面温度T =400C，九二1.60W /(mC)，试求每平方米炉墙的热 12损失。解：q 丄(T - T )二 160x (1500 - 400)二 7040(W /m2)s 120.25 多层平壁工程中许多平壁并不是由单一的材料组成的，而是由多种材料组成的 复合平壁，如工业炉中的炉墙就是由耐火砖、绝热砖、金属护板等不同的 材料组成的多层平壁。在由两种以上材料组成的复合导热系统中，热量传 递的复杂程度与多种材料界面的接触情况密切相关。图3.

5、2所示由三层材料组成的无限大平壁，为了研究方便，假定各个层面接触良好，即界面上两边温度相等，传递的热量也相等，各层的温度、厚度及导热系数如图所示 并且已知n层平壁两个外侧面的温度分别为t和T 。确定通过多层平壁的ww1n + 1热通量以及各层界面温度。图3.2 多层平壁稳态导热示意图由单层平壁热通量公式可知每层平壁传递的热通量：T - Tq = X t怜11s1(3-5)T -Tq = X w咛22s2T -Tq = X -w3咛33s3由于稳态导热，各层传递的热通量相等，即q二q二q二q。将(3-5)写成123下列形式：-Tsqi = TXw11q 电=T - TXw 2w32q 3 = T

6、 一 T九w3w43相加可得：T - Twwi匕九i =1 iT 一 Tq =wiw4s s s辛+产+ f123(3-6)式中分母部分为整个平壁单位面积的总热阻。可知多层平壁的一维稳 态导热的热通量取决于总温差和总热阻的相对大小，而总热阻为各层热阻 之和，这与串联电路中总电阻等于各部分电阻之和的规律完全相同。其模拟电路图（热路图）为：图3.3 3层平壁稳态导热模拟电路图由第1章可知，利用热阻的概念可以分析复杂平板的导热问题。根据以 上分析，借用比较熟悉的串联、并联电路电阻的计算公式来计算导热过程 的总热阻。将串联电阻叠加得到总电阻的原则应用到串联导热热阻的计算 上，从而可以方便的导出多层平壁

7、的导热公式。对于n层平壁的导热，热通 量计算公式为：T - Tww1n+1Y si九i=1i(3-7)解得热通量后，层与层界面处温度可利用下式计算：i+1w1q Zj=1(3-8)通过以上计算式可知，多层平壁稳态导热时，各层导热系数为常数时， 每一层内温度分布均呈直线，但由于各层材料不同，其导热系数不同，温 度变化率也不相同，所以整个多层平壁内部温度分布是多折直线。各层内 直线斜率不一样，由于稳态导热时各热通量都相等，因此各段直线的斜率 仅取决于各层材料的导热系数。九值大的段内温度线斜率就小、线就平坦； 反之，九值小斜率大，温度线陡。另一方面，从热阻的概念出发，多层平壁 稳态导热时，热阻大的环

8、节对应的温度降也大；热阻小的环节对应温度降 就小。这一结论对分析传热问题，以及为强化传热所采取的改进措施的分 析很有用。例3.2某加热炉炉墙由厚460mm的GZ-94硅砖、厚230mm的QN-1.0轻质粘土砖和厚5mm的钢板组成，炉墙内表面的温度为1600C，外表面的 温度为80C。三层材料的导热系数分别为1.85W/(mC)、0.45 W/(mC)和 40 W/(mC)o已知QN-1.0轻质粘土砖最高使用温度为1300C，求炉墙散 热的热流通量，并确定QN-1.0轻质粘土砖是否在安全使用温度范围内。解：(1)热流量由式(3-6)可得：1600 - 80q =wWs s st+产+犷1230.

9、460 0.230 0.005+ +1.850.4540= 2000(W / m2)2) 界面温度由式(3-8)计算界面温度为：s0 .460T 二 T - q-i 二 1600 - 2000 x二 1600 - 497.3 二 1102.7 4%）说明假定 正确，否则以算出的温度作为第 2 次计算的假定值，重复计算至符合要求 为止。例 3.3 某加热炉炉墙由两层组成，内层为粘土砖，外层为硅藻土砖，它们厚度分别为s1 =460mm,s2=230mm,导热系数分别为九二0.7 + 0.64x 10-3T、1 2 1九二0.14 + 0.12 x 10 -3 T，炉墙两侧表面温度分别为T二1500

10、 C, T二100 C,求2w1w3稳态时通过炉墙的导热通量和两层砖界面处温度。解：按试算法，首先假定中间界面温度为T二900 C,计算每层砖的导w2热系数：X = 0.7 + 0.64x 10-3（1400 + 900 = 1.436W；!（m- C）1I 2 丿(900 +100Q ，故从减小热损失的观点来看方案1好。L 2 L13.3 球壁一维稳态导热在工程应用上常常遇到球形容器，如球形储气罐，储液罐等。本节只 讨论在第一类边界条件下的球壁沿半径方向进行的一维稳态导热。331第I类边界条件图3.8给出了内外半径分别为r和r的空心单层球壁。球壁的导热系数九12为常数，无内热源，球壁的内、外

11、侧分别维持均匀稳定的温度T和T，且 w1 w2T T。采用球坐标系，该导热问题可看作是一个在第I类边界条件下的 w1 w2无内热源的球壁沿径向的一维稳态导热问题。定解问题可以写成以下形式(dT)0dr( dr 丿 r 二 r T 二 T1w1r 二 r T 二 T2w2(3-32)对上式进行积分可得：T 二-C + Cr2通过边界条件可以求得：T _ T 1予产r_ 1 rr 12T _TC1 - 12 _ f1rr12球壁内的温度分布为T _TT T 丄 ww冷+T十rr12(3-33)可见，球壁的温度分布为双曲线。根据傅里叶定律，求得通过球壁的热通量为dT T _ T 1q = 一人=w吩

12、dr 1 一 1 r 2rr12(3-34)上式表明通过球壁的导热通量是变化的，与半径r的平方成反比。而通 过球壁内任一球面的热流量为：Q = qF = 4曲一 T)T_ Trr124兀九r r 丿12(3-35)多层球壁情况，通过球壁的热流量为：T _ TQ =W1 14兀九(ii=1W + 1(1 1 )ri+1 丿(3-36)各层壁面温度：T = T _ Q i wi +1w1L4兀九j =1j/1 _ 1、r rI jj+1 丿(3-37)3.3.2 第II类边界条件球壁的内外层半径分别为r和r，无内热源，导热系数为常数，球壁内12侧的流体温度为T，外侧流体温度T，与壁面间的对流换热系

13、数分别为和f1f21 。确定球壁内的温度分布、热通量和热流量。2d f dT r 2 dr J定解问题可以写成：dr丿dT一九 =a (T -T) dr 1 f1r=r2一九dT =a (T-T )dr 2f2(3-38)积分可得：T = -Ci + Cr2代入边界条件可得：CC-T 1 =a (T + -C ) r 21 f 1r 211CC-T-1 =a (-1 + C 一T ) r 22 r 2 f222解方程组可得：T 一 TC1 =九(12I九+ ( 一 ) +a r 2r r a r 211 1 2 22=T + ( + f1a r 211r1a r 211J (1 -丄)+丄r

14、r a r 21 2 2 2球圆筒壁内的温度分布为：九 1+ r1T T1T = 一 p1t + T丄+ (丄一丄)+丄rfia r2 r r a r21 1 1 2 2 2t 11T 一=T + (+ 一一)p1tf1a r r r t 11 t1 1 1 + ( 一 ) +rr12+ ( a r211a r211a r222a r211a r 222(3-39)热通量和热流量：(3-40)a r 2 九11a r 222Q = qF = q * 4 兀 r 2 =T -Tf f1 (i i) + ( )+4兀a r24兀入r r4兀a r21 1 1 2 2 2(3-41)4兀九 r r1

15、2式中一1一和1一分别为圆筒内侧和外侧的对流换热热阻，亠（丄-丄） 4兀a r 24兀a r 2” “1 1 2 2为圆筒壁导热热阻。模拟电路如图3.8 所示。球壁内外侧温度：T = T -wif4 兀 a r 211T = T -(w2wi 4兀九 r1(3-42)图 3.8 球壁处于第 III 类边界条件下的电路模拟图如果球壁是由n层不同材料组成，即:T - TQ =f1 v 1 1 2 1 14兀a r24兀入 r r4兀a r21 1i =1i ii +12 n+1(3-43)i1T =T - qwi+1w14兀九 r rj=1j jj+i球壁各层温度：T = T - QWf4 兀 a

16、 r 211(3-44)一维稳态情况下几种导热问题的温度、热通量和热流量结果汇总于表3-1 中。表 3-1 一维稳态导热汇总表W2wlwi+1wij=1111层类f f + T1s 1丿+ + - a九a1 2-T ) Xw= ATssq =s九i=1iT - Tq = -rrr1 s 1 + 亍 + 一 a 入 a1 21J+a 九 a1i=1 i 2第I类边界条件单层T - TrT = T 一 v In wi1 rrlnir1T T 1q 九吩i rrln r1TQ -2多层，-1rT 二 T Q 乞Inw+1w1l2兀九rjTjjT T/wwQur 1 4n+1L2 1 r厶ln-i+t

17、2兀九ri1ii第III类边界条件单层T T九rT T +f2f_、 (+ ln )f入 + g r2+ 入 arr、dTT 一T1q 一九 f1一f21*dr1 十 1+ 1 in rrQ -兀at丄丄丄2 T1 11a rr a r1 1 1 2 2a r a r 九 r1 1 2 2 1多层T T -w1f1 兀a d1 1t1dT T Q 2ln-j+1气+1w1L2兀尢dj-1jjT TZ) ffQ 乂1兀a d1 1匕12 1* d11 /In . 1 IHI i+11兀a d2兀九d兀a d1 1i1ii2 n+1圆筒壁第I单层T -T = T +-r-W1厂1- TTr2:71

18、r丿q =九dTdrT T/ _ ww1r 2Q = qF =八1 21112r r1 2类边界多T 二 T - Q 1r 11Q层w. ,wLi + 11j=14兀九jrJ jrj+1 丿条件第单尢 1 1T-T.dTT T1Q =T = T + (+ _-_) f a r r rfff尢+(12f 1-丄)+q /vdr1+ 1 f)+1 r 2III层1 1 1( -十c(丿才a r 2rrar 2a r 2尢r ra r 24兀(1 1122 21 11 22 2类边多QT TX界乙f4兀 a r 2111i1u 1层T = T - Q(1-)14兀a r条wi+1w1.,j=14兀九

19、jrjrj+1 1件球壁3.4 具有内热源的一维稳态导热在前面讨论的导热问题中，体系中的温度分布只由边界条件控制。现 在我们来考虑体系内部发生的变化对温度分布的影响，即具有内热源的导 热问题，如导电体通电发热、混凝土凝固、核电站核燃料元件的释热等。 3.4.1 平壁对于厚度为2s的无限大平壁，具有均匀稳定的内热源，记为q。平壁v的导热系数九为常数，平壁两侧为均匀温度T。由前述分析可知，这是具有w内热源的一维稳态导热问题，考虑到两侧对称，只取其中的一半进行处理 则相应的定解问题为：x=0冬=0 dxx=sT = Twd 2T + qvdx 2九二 0(3-45)对上式积分可得T = 一红x2 +

20、 C x + C2 1 2代入边界条件可得：C = 0 C = T + -s 2 12 w 2 九平壁内温度分布为：qT = T + 寻(s2 一 x2)(3-46)利用傅里叶定律可确定平壁中任一点处的导热通量为：q 二一九 dT 二-X (_ 役 2x)二 q x dx2 九v(3-47)上式说明平壁内导热的热通量不是常量，而随x线性变化。对于第III类边界条件，平壁两侧同时与温度为T的流体进行对流换热, f换热系数为a，则平壁以中心平面为对称面进行传热，在对称面上通过的热 通量为零，即温度梯度等于零。定解问题可以写成：d 2Tdx2空=0dx 一九dT =爲一 T dx(3-48)x 2

21、+ C x + C12代入边界条件可得：C1=0C = S2 + T + 红 s22Xf a平壁内温度分布：T =- (s2 - x2)+ T + 红 s2Xf a(3-49)按照傅里叶定律，平壁内任意位置处的热通量为-X (一 2 x)=qxvdT q = X dx(3-50)可见，有内热源存在时，平壁内热通量随x的增大而增加。3.4.2 长圆柱体半径为R的实心长圆柱体，具有均匀稳定的内热源，导热系数九为常 量，一维稳态导热情况下，圆柱体中的温度分布。定解问题：1d(dT)r dr Ir二- dr丿空二0 drT 二 Tw(3-51)上式积分：dTrdr二-qv r 2 + C2idrC1

22、= 0dTdr再次积分：T -厲 v r2 + C4九2r R T T C T + 红 R2W2 w4 九r2(3-52)对于第 III 类边界条件：- Tf)dT = o dr.dT ( 一入 =a V dr(3-53)C1=0qRv2aqRv2aq4!r2dT ) dr Jr=0r=Rdr(3-54)dT qq = 一九=rdr 2(3-55)3.4.3 球体半径为 R 的实心球体，具有均匀稳定的内热源，导热系数! 为常量一维稳态导热情况下，球体中的温度分布。该导热问题的微分方程为：1 d (r 2 r 2 dr I(3-56)上式积分兰 f r 2 dT dr I dr 丿r2r2dT

23、q idr 3dT 二 o drCi =0dTdr再次积分：r = RT = TC = T + qv R 2w2w6九6r2+C 2r2(3-57)对于第 III 类边界条件r = 0dT = 0 drr = R-九dT =a( T ) drfC = 01qq RC = R2 + T + v 26九f3a(3-58)dT qq 二一九 二一v rdr 3(3-59)三种情况汇总如表 3-2 所示。可以看出，三种坐标情况下，温度分布都是抛物线分布，热通量与长度(半径)均成正比关系。表 3-2 有内热源稳态导热汇总表平第I类边界条件T 二 T + J w 22-X 2)dTq = 一九=q x dxv壁第III类边界条件T = T + 红s + Z(s2 -x2) f a2九球第I类边界条件T = T + 红w 4九R 2r 2)dT q q =九=l r dr2体第III类边界条件T = Tf +筈+即R 2 r 2)球第I类边界条件T = T + 盯w 6九R 2r 2)a dT q q =九=r dr 3体第III类边界条件T = T +空+f3a6 九R 2 r 2)