【精选资料】数学模型第三版学习笔记

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1、数学模型(第三版)学习笔记写在开始 -小康社会欢迎您 小a v j 今天第一次归纳、复习，整顿思路重点，从最后两章（除了“其她模型”）开始，想也许印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握尚有很大差距，自己也是自学看书，非常但愿各位提出珍贵意见，内容、学习措施经验上的都是. 整本书读下来感觉思路、数学均有很大拓展，总结起来有一下几种特点：(一)“实际模型”的建模过程很核心，本书的模型诸多虽然所谓“简朴”、“假设多”，但简化分析中，还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了；0 H6 p9 U/ Q, Am- C% m(二)模型求解之后的解决，许多地方似乎求解完毕可以结束，但

2、却都未戛然而止，而是进一步“成果分析”、“解释”，目的不一，要看进程而定，有的增进了模型的改善，有的对数学成果做出了现实相应的解释（这一点建模过程中也常常做，就是做几步解释一下实际意义），也尚有纯数学分析的，这些都是很重要的，在我看来，这本书中的许多模型、论文似乎到了“成果分析”这一步才刚刚开始，前面的求解似乎是家常便饭了；: i9 F- S7 G0 i9 A$ T! m- s(三)用多种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程，这本书读下来愈发现得线性代数、高等数学基本的重要性，同步书中也设计到了某些（虽是浅浅波及）新的数学知识和技巧，许多我在读的过程中只是试图理解这个思想，而推导过程未能花诸

3、多时间揣摩，但即便如此，还是让我的数学知识有了很大的拓展（作为工科专业学生）。+ n8 u0 i0 v r; w% y; w( b7 e, f5 Z 从上周六继续自学数学模型开始一周，比预期的时间长了许多，但是过程中我觉得即便如此也很难领略完整这本书的内容。近来学习任务比较多，因此两天前快看完时到目前始终未能做个小结，从今天起每天做2章的小结，既是复习总结重点，也是请诸位同窗指教、提意见交流毕竟自己领略很有限。 也可以作为未读过、准备读这本书的同窗的参照 Tony Sun July , TJU7 K% C c1 J! r5 p, V9 Z/ U- mO/ r l% H& y% B+ p8 m)

4、 y（目前已更新：全12章）第1章 建立数学模型* W/ Z B0 K. m% t核心词：数学模型 意义 特点 第1章是引入的一章，对数学模型的意义来源，做了较好的解释。其实数学模型也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只但是它比较“理论”、“摸不着”而已。但一般，数学模型有严谨的特点，并且我们可以根据建模实际需要变化模型，成本也比较低；同步数学模型手段之一计算机模拟也有较好的效果。 椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子，用简朴的数学进行描述、建模分析，给数学模型一种最佳的诠释：用数学语言描述事物、现象往往增添了说服力。6 8 n2 O$ G& o

5、4 F- _9 U b, q0 F n4 O) - w* M第2章 初等模型核心词：初等数学 简化技巧 思想 这一章顾名思义，是某些用“初等”数学知识建立、求解的模型，虽然数学知识比较易懂，但是其中的巧妙思想的确十分重要的。! t a$ m: w T& L N5 e# d X 如何把问题做恰当的简化，到简朴的数学工具可以表达、求解的限度，本章做出了较好的例子，同步分析也很精彩。 2.1节公平席位分派，通过定义不公平限度等衡量原则，确立目的，提出Q值法。故意思的是，在考虑与否存在一种理论上公平的分派措施时，根据所提出的4个（毋庸置疑的）公理，得出的结论却是：不存在满足上述公理的分派措施。这种类似

6、状况在本书中背面的例子也浮现过。这给我们什么启示呢？有些问题和工作，例如公平席位的分派，平常中是一定要做的，就算不能达到绝对公平也要分派，但一旦证明不存在理论上公平的分派措施时，我们尚有分派的意义吗？答案不一；在这个例子中，固然是故意义的，我们自然转而谋求一种相对公平的分派措施，抑或，就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”，看能否通过删改公理来获得更公平方案。 录像机计数器、双层玻璃功能、刹车距离等模型，均是用平常现象、基本的物理知识和巧妙简化进行的建模分析，这里每个例子中的分析，求解后的解释很重要它们是整个模型的核心，论述现象。 2.7 实物互换是背面经济学模型的雏形，无差别曲线的图

7、形措施，拟定这种曲线实际中要收集大量的数据；核军备竞赛一节，也是一种动态的变化过程，基本全是用曲线进行分析的这里给我们一种思想，得出体现式后，许多时候我们只关注曲线的形状、趋势，因此作图分析是较好的措施，图中可以给我们诸多信息（交点，截距，极限值），而这些信息都一一相应着它们的实际意义；有些虽然没有明显的含义，但也很也许为接下来的铺垫、预测作下铺垫。 2.10 量纲分析与无量纲化是另一种重要的求解措施，大体来说思想就是：仅懂得变量之间的制约关系（正/负有关），系数、阶数均未知，即只能得出体现式的“形式”，要我们通过“量纲齐次性”（等式两端必须保持量纲的一致）来拟定具体的体现式。这是与按理论推导

8、建模并列的另一种措施，这一节用单摆、抛射等物理问题较好地诠释了这种措施的强大。核心：恰本地选择特性尺度，不仅可以减少独立参数的个数，还协助我们决定舍弃哪些次要因素。物理知识和经验是核心。/ w, % H: e; U! 9 c9 a. & x7 , d4 _# j9 k第2章小结：* Z4 * r5 U! G2 C2 P9 N 本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想”，10节波及了不同类型的问题、数学措施，诸多都是本书背面章节模型的雏形、基本。* J% l1 I: P+ l; D/ c/ f- F6 v# O* R7 j/ v/ Y+ O1 r9 i9 h* PC+ z7 ! n; O

9、% G第3章 简朴的优化模型8 zc1 w$ ?8 8 / 核心词：简朴优化 微分法 建模思想 本章与第4章持续两章都是优化、规划的问题，可以当作一类问题内容上也是由简朴到复杂。在第3章中，重要是几种简朴的优化模型，可以归结到函数极值问题来求解，直接用微分法。虽然模型、数学计算难不倒，但是还是那句建模，求解之后成果分析、成果解释的思想，是我们要学习和引入脑中的。3.1 存贮模型 分不容许、容许缺货两种讨论，中间推出一种最小费用的成果经济订货批量公式EOQ。 对存贮量函数q(t)作图，观测规律，对成果解释。3.2 生猪发售时机/ E( t6 x: h x! f+ M3 Q 核心点在于敏感性分析和

10、强健性分析这对于优化模型与否实用、有效是很重要的。3.3 森林救火 a8 wx4 : 亮点是对火势蔓延限度dB/dt的形式作出的数条假设，以及假设相应的实际解释。只要合理、自圆其说，就是一种好的对实际问题的简化。3.4 最优价格7 % X; g7 R* m: S 重要是引出边际收入、编辑支出，以及经济学一条出名定律最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。3.5 血管分支7 d3 q% |% J | 是很有趣的一节，用数学模型研究生理问题，我们还是只关注建模、数学的层面，而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多，用合理有力的假设代之。: m; T W9 O) G1 z3.6 消费者的选择 一种

11、消费者买两种产品时，钱应当如何分派。分派比例使她得到最大的满意度的最优比例乘务消费者均衡，而建立消费者均衡模型的核心在于拟定效用函数U(q1,q1)。3.7 冰山运送8 Q) E, 6 k& o7 d: E9 j 也是很有趣的问题，考虑多种因素，基于某些假设，这节研究如何运送冰山使费用最小。其中用实际数据建立了经验公式，二是假设冰山为球形，简化了融化规律等的计算。d7 f( w$ r4 ( p5 U0 X9 G第4章 数学规划模型! E1 K, h3 U7 W. d F核心词：数学规划措施 lingo/lindo软件 成果进一步分析 变量个数 约束条件、可行域、目的函数，构成了常说的“数学规划

12、”模型。本章揭示了数学规划的本质，和它与老式优化数学问题的区别：常理优化模型属于函数极值问题的范畴，但实际中更多的是决策变量数、约束个数较大，且最优解往往在边界上获得的问题，因此不能用老式的“微分法”求解因此要引入“数学规划”措施。 这一章内容不少，但都是一类问题，重要点有几种：1. lingo、lindo求解的使用运营成果中尚有某些平时未留意的信息，可以作为成果分析来用，前两节论述较多；2. 某些细节之处：把一句话用数学公式体现，它往往作为约束条件，如p102的式（19）； w( C# x 0 i, H3. 多目的规划的解决，p109的“选课方略”基本思想是通过加权组合形成一种新的目的，从而

13、化为单目的规划；4. 同前面章节同样地，对一种问题解出成果后，问题虽然解决了，但分析并没有结束我们要学习这种further discussion的精神，发现这个成果“恰与相似”之类的，不妨多问自己一句：“这是偶尔的吗？”然后继续分析，得出一般的结论，这样往往能看到更多的风景，得出的结论更有含金量/启发性，而不是仅仅是解决了该个问题而已。如p109选课方略。5. 减少变量个数，简化模型、式子（简化起见，同步lingo对变量个数有限制），p115销售的例子。6. 求最优解时，为了减少搜索范畴，加迅速度，可以先去一种特殊状况求出一种可行解，然后让最优解至少优于它。0 oH M* 4 c4 ?* ?1

14、 N, w N% x; M; r7 F6 |2 H* VQ4 F% C8 K3 e4 X ?第5章 微分方程模型& % _ ) _3 $ 核心词：动态模型 合理假设 分析预测 控制2 y5 w9 K9 Y o+ e 这一章是非常典型的一章，对微分方程模型作了较好的诠释、简介，每一种模型均有丰富的价值。对于随时间持续变化的对象或状态，当我们要 1）分析变化规律；2）预测；3）研究如何控制它的时候，就要建立相应的微分方程模型。7 k V8 z4 J( n7 y5 M 自然地，这样的模型功能非常强大，也具有一般性，也自然地需要在简化假设上动脑筋如何用数学语言能表述的东西来刻画一种实际动态过程。一种方

15、程，有时就表达着一件事，这件事有也许还持续几十年多么有趣而强大。$ - m& m/ % b+ p5 n& t% z5.1 传染病模型$ I& Q) s) y7 - p b ?9 L- A5 L$ g 本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例，模型分三部分层层递进：SI（只分为易感染着、已感染者），SIS（已感染者可以被治愈，重新变为易感染者），SIR（治愈后具免疫力，即增长了“移出者”）。可以说从基本模型到一步步递进，是对实际传染病状况的逐渐进一步、全面的考虑，而其中的分析十分重要，也是本章分析得最细的章节。其中引入了“相轨线”分析法，是很有力的工具，背面多次用到，这一节有很具体的简介。

16、+ R, I4 j, N8 U2 模型改善、建模目的性、措施三者配合，是本节亮点。6 z2 G% IN& r- a8 % N5.2 经济增长模型9 F8 F) Y/ Z# H9 H# V U 通过建立产值与1）资金；2）劳动力之间的关系，来研究1）资金与劳动力的最佳分派，使效益最大；2）如何调节资金、劳动力增长率，使劳动生产率有效增长。 本模型虽然不长，但推导出计量经济学一重要模型Douglas生产函数。本节给出的模型推导稍繁，但成果简要，有合理解释。5.3 正规战与游击战 这一节简介了历史上用过的、典型的预测战争结局的数学模型，有老式正规战争、稍复杂的游击战，以及混合战。重点在于建模过程：如

17、何描述战争双方的特性，如何作假设。然后用来分析硫磺岛战役。这节较好地体现了微分方程的强大。5.4 药物在体内的分布与排除E; Z. n( x+ ?X# q( ( d8 l 本节建立了房室模型，研究血药浓度的变化过程，为制定给药方案、剂量大小提供数量根据。重点在于1）模型的假设：尽管是简化，但由临床实验证明是对的的，可以接受；2）对参数的估计。先由机理分析拟定方程形式，再由测试数据估计参数。1 d- K* M3 X& A, 2 C5.5 香烟过滤嘴的作用& i. T$ d7 B& F 看起来不易下手的一种问题，用恰当的假设，引入两个基本函数q,w,及物理学常用的守恒定律，建立出微分方程模型，从而

18、构造动态模型。本例是典型的建模案例。5.6 人口的预测和控制 本节模型与之前的区别在于：考虑年龄的分布，即除了时间外，年龄是另一种自变量。过程中重要的是数学公式中，系数、因子的实际含义要解释。( V) t! z W% 8 w, H* X! o5.7 烟雾的扩散与消失 这个模型巧妙地引入了“仪器敏捷度”指标，不仅协助建模，并且该指标自身是客观存在的，并非虚构，这样更加有说服力。8 C1 : F4 L- c$ Y* 5.8 万有引力定律的发现* 0 L6 G: % m! c# l& ?. N7 e3 D 十分故意义的一节。我们初中就熟悉的牛顿万有引力定律，是由开普勒第三定律和牛顿第二定律一同推导出

19、的，这一节再现了这个推导过程。这个模型告诉我们：对的假设+用数学演绎建模=对自然科学研究的巨大作用。我们要学习科学家前辈们如何发明性地运用数学措施，来提高我们解决实际问题的能力。. B1 h8 R_* A% ( E6 , Y% h& G5 Q: m8 Y$ _. E+ z6 r3 C/ P# 1 l第6章 稳定性模型核心词：稳定性理论 建而不解 平衡状态 趋势 相轨线$ Bx( b) g* k; o+ k; 本章是建立在上一章的基本上，在微分方程基本上引入的一种重要思想/概念，那就是对于某些问题，我们也许不关注动态过程的每个瞬时状态，而是研究稳定状态的特性，特别是时间充足长后来的状态/趋势，从

20、而判断与否“稳定”。这时我们往往不需要“求解”微分方程（组），即“建而不解”；而是运用“微分方程稳定性理论”直接研究平衡状态稳定性即可。*6.6 微分方程稳定性理论简介 _ b, N6 n- E) H3 X5 XJ2 l 这一节应为优先阅读的一节，简介了如何判断一阶、二阶方程的平衡点和稳定性。数学推导稍复杂（对于未接触过的同窗），重要在于理解某些概念、结论，在模型实例中来进一步理解。0 r. % % i* DD% O6 G: X1 Y( l1 - j& A# f% |6.1 捕鱼业的持续收获+ t# M% o! L t7 K) h, l; l 研究捕鱼业产量、效益和捕捞过度问题，如何捕捞能获得

21、最大收益。这个问题虽然看似只需要给出一种“捕捞量”的答案就可以了，但是模型整个过程分析中还是得出了许多结论，如经济学捕捞过度、生态学捕捞过度等概念。在稳定的前提下步步进一步。+ t$ H0 r9 1 ?0 M) a! i6.2 军备竞赛 这个问题在第二章初等模型中就浮现过，这里用微分方程稳定性的知识来分析。正如本节引言所说，军备竞赛因素诸多，无法圆满描述，只是想告诉我们：一种复杂实际过程可以被合理简化到什么限度，得到的成果又如何解释实际现象。6.3 种群的互相竞争 6.4 种群的互相依存 6.5 食饵-捕食者模型 这三节作为一种系列，用种群竞争、依存、捕食此类生物学案例来诠释稳定性模型的应用。

22、其中，相轨线分析法再次成为主角，它的意义在于：从图中曲线上直观地看出发展趋势，且特殊点相应的意义作出解释。第7章 差分方程模型. n/ u, N0 n* q0 Y9 W: t9 核心词：差分方程稳定性 离散时段 差分阻滞增长 混沌5 P1 H0 U( N) s+ Z# w 将时间离散化后，就可以建立与微分方程相相应的差分方程模型。这章与第8章讨论的是拟定性离散模型。事实上有些问题既可以用持续，又可以用离散，要看目的而定。离散的一种优势在于，便于计算机求解。2 N5 n. - A( v# 7.5 差分方程简介：简介差分方程稳定性的知识，鉴别稳定的条件。本章要用到的知识。7.1 市场经济中的蛛网模

23、型2 S: L) V/ I6 |+ , f8 先用图形法建立市场经济的“蛛网模型”，给出趋于稳定的条件，再用差分方程建模，解释成果。本节开头的“问题前瞻、简介”部分很典型，可作为建模论文写作的参照。 本节最后对成果的解释也非常值得学习：启示我们，某些数学成果如参数前后的变大/变小，也许意味着什么，我们不要容易放过，而是要时刻不忘解释相相应的因素。! J* G5 P2 H0 J0 b9 X7 r4 hA7.2 减肥筹划节食与运动 这是一种很生活的问题，重要讨论如何把一种“超重”的人减到目的的正常范畴内（均以WTO颁布的体重指数BMI衡量）。: ?! Z) Sv5 d% q% z* T 我觉得这个

24、模型的两点仍然在建模自身：及如何将减肥筹划中“减肥”这一件事量化，用数学的语言可以体现，写出差分方程。其中p208的“基本方程”式（1）是整个模型的基石，有了此式背面的工作就可以往上搭建了。注意到，式（1）其实是一种“建而不解”的方程。6 r R$ j0 Z1 1 c 但正如节末评注中所述，实际参数的设立会更复杂，代谢消耗系数beta也因人而异、因环境而异，因此要有更多核对。但我们先要学习的还是建模这一步。9 T( M, h8 D8 v- c3 S0 K q7.3 差分形式的阻滞增长模型 此节是与之前用微分方程Logistic规律描述的“阻滞增长”规律最佳的对比。有时，用离散化的时间研究比较以

25、便，本节是较好的参照。（按：本人曾经做过用差分方程加修正，描述人数传播问题，个人觉得诸多状况用差分方程更好，也更“诚实”些，由于我们也只是想要每个时段的数量）; M, h5 C6 d+ K0 l6 R5 S9 f5 A$ Z 要注意的是：若用离散描述，需要阐明各“时段”指代意义。推出p211的式（6）后，这个一阶分线性差分方程，也是“建而不解”，但注意：此处“不解”是指不需求通项公式，但各项的值仍要计算用计算机递推可以便得到。我们最关怀的往往是k趋向无穷时，y/x收敛状况，即平衡点稳定性的问题。这里微分、差分方程鉴别上有区别。 P212中，通过进一步讨论和213页的数据表发现，不同的参数b下收

26、敛状况不一，然后发现了“倍周期收敛”的规律，即存在多种收敛的子序列。然后发现当n区域无穷时，不在存在任何倍周期收敛，浮现混沌现象（Chaos）。 混沌的特点为对初值极度敏感，这一点在物理课中教师也提到过，许多非线性方程均是如此，即“差之毫厘，失之千里”，蝴蝶效应。! V; V7 _9 c8 z7.4 按年龄分组的种群增长$ S# 0 J+ u9 iw 这个模型的重要区别在于：将种群提成n个年龄组，分析各年龄组对种群总量增减的影响。这一节的数学推导稍繁。. bc1 3 c& a1 m# t第8章 离散模型核心词：层次分析 排名次 冲量过程 “分赃” 群体决策1 u2 V6 C7 k4 N$ N7

27、 Y( I* z $ o（本章是拟定性离散模型的应用、措施）: M6 s* Y0 c, ) m! X8.1 层次分析模型y# A$ g% u2 w; q8 _ 社会经济系统分析工具。排名、评分评价，排级别都可以用层次分析模型解决，数学知识虽然不深，但是思想十分巧妙且合理，可扩展性也较好。核心在于1）“成对比较矩阵”的拟定及修正，2）特性根法求权向量的原理（重要），3）1-9比较尺度（Satty等人提出），4）一致性检查。: R9 _9 a0 i! n- _- v / L8.2 循环比赛的名次 这节也是对某些排名评价“难题”给出一种典型解法：邻接矩阵+得分向量。转化为计算各级得分向量s、A最大特

28、性根&相应特性向量s。按常理一般只会想到基于原邻接矩阵的1级得分向量，若比不出则停滞了；但若将i级乘回邻接矩阵，可以“发展”到i+1级得分向量这个思想是本模型的核心，并且简朴易用易理解。 对于所谓的“下一级”得分向量定义的原理根据，或实际意义，是此思想的核心，我觉得可以接受，看上去很有道理，但未想出具体的解释，这里欢迎指教、讨论。（p246）8.3 社会经济系统的冲量过程 区别于机理分析、记录分析，冲量过程与层次分析属于“系统分析”，是近来发展起来的解决复杂系统的有力工具。 H- M. w- O% D/ S 这节模型研究能源系统中，各个因素的趋势、预测问题。重要工具有：带符号加权的有向图，冲量

29、过程（类比物理“冲量“概念）。其目的无非是研究系统的“稳定性”，以及如何“调节”到稳定。这是实际问题关注的。6 F4 T( z2 K& d6 I8 t8.4 效益的合理分派5 o: n3 T6 F: y- A; ?3 0 几方（不小于3方）合伙，已知不同子组合可获得不同收益，那么一起合伙后，谁的功绩最大？也就是说，干完活后，如何“分赃”这里是理性的、用数学推理的公平的“分赃”。. r2 QK0 x4 e2 i2 o本节简介了3类措施：Shapley值，协商解等，Raiffa解。最后用一种3方分派例子对比了这3种措施。3种措施特点在p262。是客观求各因素权重的有力途径。8.5 存在公正的选举规

30、则吗% n$ y% o; b, il8 t& X 这一节类似第2章的“公平席位”。重要讨论的是“群体决策”这一类问题。 一方面是简朴的选举规则。) _, 8 v9 ) X5 4 g 接着简介Arrow K的工作：提出一组公理，却证明不存在满足这组公理的选举规则，但很具有启发性。# q& 9 _P# c% x 然后是联合尺度选举规则，它是一种简朴易行的规则（但是对投票状况限制了，才也许满足Arrow公理）。 最后是一种与Arrow公理无关的规则最小距离，这是一种类比思想，很巧妙地把公平转化为距离之和最小的最优化问题。第9章 概率模型3 # p* U% W3 |- % q, M B核心词：随机模型

31、 基本概率 生灭过程 数值解分析 相对“拟定性”模型来说，当随机因素的影响不可忽视时，就要建立随机模型。概率模型就是比较简朴的随机模型，这一章用我们熟悉的概率分布、盼望、方差等知识简介概率模型如何解决随机因素的。 核心点有：/ i J+ e) J2 P& Y7 B/ z1. 如何定义随机因素有关的量。针对一种实际问题，做好定义是开始工作的主线。: c2 p D4 w: Y2. 随机概率模型一般从离散角度（一种个时段）下手，但求解中为了需要也许会转化为持续（如p274的求和转化为积分）。3. 要灵活根据实际问题，决定哪些参数应设为定值，哪些参数会变（如9.4轧钢问题，重量服从正态分布中，均方差应

32、觉得是已知的定值，而均值是可以调节的）。6 V1 N! % I6 U& 4. 一般的“生灭过程”参照9.5的随机人口模型相比之前的人口模型，这个更加一般，考虑的因素更多，更接近实际。5. 有些模型无法解析求解，然而数值计算的成果已满足我们对问题进行分析的需要（9.6预订票方略）。# D3 d) o. , I2 ( n4 r第10章 记录回归模型核心词：数据拟合MATLAB记录 残差分析 自有关 逐渐回归. p3 T. o6 b( B5 c 对于有些内部规律复杂、无法分析内在机理的问题，我们建模、拟合的一般做法就是收集大量的数据，用记录措施建立模型记录回归模型。 核心点有：1. 做散点图，大体判

33、断函数趋势（例如有明显的线性增长），拟定方程形式，待定系数。+ p* 4 PA9 d I, X2. 用MATLAB记录工具箱regress拟合，得出成果；重点：如何由MATLAB输出成果下结论（如置信区间不要涉及零点，R2、F）。3. （考虑实际问题制约）合适引入变量简化问题，如10.1中引入价格差（p297最后一段阐明）。4. 运用好回归变量的预测（置信）区间。5. 改善回归模型：逐渐考虑回归变量之间的交互作用在方程中引入二次项、交叉项。若MATLAB拟合输出信息表白有改善，则阐明模型更符合实际。还可加上作图对比前后模型（p300）。9 e. v) _$ y8 n# z3 J% d6. 残差

34、分析（p305，但这页我未看懂具体做法，待交流），及分析得出的结论，我们应当如何改善模型。7. p307评注内容：0-1变量法、残差分析法、异常值应剔除。. h9 |& J0 O2 & Q! E7 n |8. 线性化（p309），及非线性MATLAB求解（p310）；p315最后两段。% D$ Q0 r1 e( ; P9. 自有关的考虑（10.4节）：若存在自有关性（具有滞后性，即前期对后期有影响的时间序列），一般回归模型将失去意义。我们必须先检测与否存在自有关（D-W检查、广义差分法），同步注意若高阶自有关，则必须改善直至不存在自有关为止。10. 逐渐回归：因素较多时，排除次要因素，用来选择

35、影响因素明显的变量。|: l i7 3 |6 n3 , jS( T) 9 2 b% q: o5 g/ L. r第11章 马氏链模型$ g6 n( F% w& B8 v核心词：离散随机过程 无后效性 转移概率 状态选用基本概念 这一章简介理解决离散随机过程的重要工具马氏链模型，及若干个应用。总体从浅到深，论述了马氏链的重要思想。. I0 / R& n- 1. 无后效性/Markov性： 系统在每个时期所处的状态时随机的，这个时期到下个时期状态按照一定概率进行转移，且下个时期状态只取决于 1）这个时期状态 2）转移概率，与此前各时期状态无关。4 9 H. V$ : F! S2. 马氏链（Marko

36、v Chain）模型一般描述： 已知目前，将来与历史无关，具有无后效性的，时间状态均离散的随后转移过程。3. 某些拟定性系统的状态转移问题也能用马氏链解决。: n4 u! O) G- G1 S6 F9 Q一、健康与疾病 重要简介马氏链基本概念、要素： 系统的状态，状态概率，转移概率，马氏链基本方程，状态概率向量，转移概率矩阵。本章讨论时齐的（转移概率与时段n无关）马氏链。9 n9 y Z4 H; O3 同步简介2种重要类型 1）正则链：从任意状态出发，通过有限次转移都能达到此外的任意状态（如何判断是正则链、相应定理）；5 R# w- B1 x: / nF: & y0 ) w 2）吸取链：一方面

37、引入吸取状态，顾名思义吧，就是某个状态的转移概率=1，即进了这个状态就出不来了，被“吸取”掉。吸取链是（至少）存在一种吸取状态，使马氏链从每个费吸取状态出发，能有限次到某个吸取状态。% , A, |+ GM& T; n, 二、钢琴销售的存贮方略, H( A?0 i3 a: y, $ D3 动态随机存贮。一种简化的存贮模型，核心是从中理解状态变量、需求量、转移矩阵的设立和求解。 判断转移矩阵P为正则链后，用公式求出稳态概率分布w，就是达到稳态后的状况，然后用全概率公式算出失去销售机会的也许性。 这个模型虽然简朴，但却是动态存储马氏链的浅显易懂的好例子，其中结合实际问题具体分析是最值得学习的。1

38、i7 S8 m4 : l$ 9 f- P三、基因遗传: _+ i0 h: c; F2 Y 用马氏链模型研究遗传过程，核心是建模的过程即选用系统的状态，这在“随机交配”和“近亲繁殖”中需用不同的设法。随机交配过程推导的成果是 (p2, 2pq, q2) 分布将保持下去，即遗传学中的Hardy-Weinberg平稳定律；然而，近亲繁殖中，得到的转移矩阵发现是一种“吸取链”即如果近亲结婚的话，若干代繁殖终将变成全是优种/全是劣种，并保持下去。这两个结论（虽然在抱负化假设下）与我们之前的结识是很一致的，从中加深了马氏链的理解。四、级别构造& Y1 |! C- B3 6 V6 u, C 这个模型是用马氏

39、链研究一种群体中各个个体级别分布变化状况，目的是研究级别分布变化规律，假设总人数不变。然后用某种途径让群体级别分布达到想要的稳定状态。3 Y& Y4 r) K+ 5 I! V! h 重点在于变量的设立，以及还是状态设立、模型建立过程。建模过后，先用“调入比例”这一现实中可控的量进行稳定控制，其中有“稳定域”的构造、分析。 然后是具体如何用调入比例，进行动态调节，实则转化为了一步步优化问题，动态调节的过程是一步接一步的，有反复循环的操作规律。这里也较好地体现了马氏链的“离散”特性，以及给编程发明了机会。五、资金流通, H z) I( # c( & 基本与级别构造同样，一系列推导最后总结出环节，先

40、判断稳定能否达到，若能达到，则由公式算出每年应如何投放资金。与级别模型不同在于：各地区资金进出可正可负；所有地区资金总和可以变化。第11章小结： 虽然只有短短5节，但是几种模型由浅入深，循序渐进，学习中有逐渐清晰的感觉。过程的推导复杂度适中，具体问题具体分析的思想很典型。这章算是马氏链模型的基本，虽是基本但案例、思想也足够典型，是此后解决离散随机过程很有力的工具。( r, b8 : G O( T y ?7 c! 5 Z) 4 e第12章 动态优化模型核心词：泛函极值 变分法 动态规划 最短路& |/ y. 3 X3 t: q基本概念4 I. P4 I% P9 Hi& m n 本章简介动态优化，

41、优化目的，虽然优化目的仍然是数值，但最优方略是一种函数。持续过程归结于求泛函的极值问题（几种模型中始终体现），措施有古典变分法、最优控制论。几种例子都是能用古典变分法解决的，而离散过程则用动态规划求解。* _! S% k/ + PA& d 第一节先用“速降线”和“短程线”两个17世纪末的物理模型引出变分法基本概念，和背面要用的成果；同步简介泛函、泛函极值概念。 这一章的数学知识、推导比较繁杂（特别是对于没接触过泛函等概念的学生），2、3、4、5节（生产筹划制定、国民收入增长、渔船出海、赛跑速度）均是持续动态优化的典型问题，许多都是归结于泛函极值的问题。特别是“渔船出海”，实属一种经济学的典例，这个经济方略分析中再次较好地体现了数学技巧、实际问题结合的巧妙。 第6节多阶段最优生产筹划属于离散动态优化，用动态规划求解，转化为最短路问题，当中对最短路问题的算法做出了具体解释。 分别对拟定需求、随机需求的生产筹划制定措施给出了推导思路。