第二章矩阵习题课

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1、第二章矩阵习题课第二章矩阵习题课第1页，共68页。定义定义 1 1(,;,)ijmnaim jn1 21 2个个数数mn排排成成的的一一个个 行行 列列矩矩形形数数表表：111212122212nnmmmnaaaaaaaaamnm n称称为为 行行 列列矩矩阵阵或或矩矩阵阵，简简称称矩矩阵阵。基本概念基本概念第2页，共68页。矩阵的代数运算矩阵的代数运算 1.1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,列数相等时列数相等时,称为称为同型矩阵同型矩阵.ijijAaB b 两两个个矩矩阵阵与与为为同同型型矩矩阵阵，且且对对应应元元素素相相等等 ,2,1;,2,1njmibaijij .ABAB 则则

2、称称 与与 相相等等，记记为为第3页，共68页。几种特殊矩阵几种特殊矩阵(1)行数与列数都等于行数与列数都等于n的矩阵的矩阵 A ，称为，称为n阶阶方阵方阵.也可记作也可记作An.（7）对角阵对角阵12n主主对对角角线线元元素素为为，0其其余余元元素素为为 的的方方阵阵称称为为对对角角阵阵.1212,nndiag (8)方阵方阵100010001nEE称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）.第4页，共68页。、定义、定义111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab(),(),ijijm nAABB设设有有两两个个矩矩阵

3、阵，那那么么矩矩阵阵ABAB矩矩阵阵 与与 的的和和记记为为作作，规规定定为为第5页，共68页。2、矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律;ABBA1.ABCABC2 mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113 .,04BABAAA ,ija .负矩阵负矩阵的的称为矩阵称为矩阵A第6页，共68页。111212122211.nnmmmnaaaaaaAAaaa1 1、定义、定义,AAA数数 与与矩矩阵阵 的的乘乘积积记记作作或或规规定定为为第7页，共68页。2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律ABmn（设设、为为矩矩阵阵，、为为数数）;1AA ;2AAA .3BABA 矩阵相加

4、与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线统称为矩阵的线性运算性运算.第8页，共68页。、定义、定义 skkjiksjisjijiijbabababac12211 ,2,1;,2,1njmi 并把此乘积记作并把此乘积记作.mnssCAB三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘设设 是一个是一个 矩阵，矩阵，是一个是一个 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB第9页，共68页。、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB

5、 BABAAB 3（其中其中 为数为数）;4AEAAE 若若A是是 阶矩阵，则阶矩阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 5nkAk 个个kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 为为正正整整数数k,m注意注意矩阵不满足交换律，即：矩阵不满足交换律，即：,BAAB .BAABkkk 第10页，共68页。四、四、矩阵转置矩阵转置定义定义()112111222212ijmmnnmnamnaaaaaaaaaA设设是是矩矩阵阵，矩矩阵阵.TAA转转置置为为矩矩阵阵 的的，记记为为第11页，共68页。转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4

6、TTTABAB 第12页，共68页。1 2,(,),TijjiAnAAaainA设设 为为 阶阶方方阵阵，如如果果满满足足即即那那么么 称称为为对对称称阵阵说明说明:对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等等.TAAA 如如果果则则矩矩阵阵为为反反对对称称称称的的第13页，共68页。五、方阵的行列式五、方阵的行列式运算性质运算性质 ;1AAT ;2AAn ;3BAAB 4().ABBA|det().AnAAA方方阵阵 的的行行列列式式由由 阶阶方方阵阵 的的元元素素构构成成的的行行列列式式叫叫做做，记记作作或或定义定义第14页，共68页。定义定义行列式行列式

7、 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111性质性质.EAAAAA 称为矩阵称为矩阵 的伴随矩阵的伴随矩阵.A第15页，共68页。六、共轭矩阵六、共轭矩阵定义定义()ijijijijAaaaAaAA当当（）为为复复矩矩阵阵时时，用用表表示示的的共共轭轭复复数数，记记共共，称称为为 的的轭轭矩矩阵阵.;2AA .3BAAB 运算性质运算性质 ;1BABA (,A B设设为为复复矩矩阵阵，为为复复数数，且且运运算算都都是是可可行行的的）：第16页，共68页。定义定义 对于对于n阶矩阵阶矩阵A,如果

8、有一个如果有一个n阶矩阵阶矩阵B 使得使得AB=BA=E，则说矩阵则说矩阵A 可逆的可逆的，并把矩阵并把矩阵B 称为称为A的的逆矩阵逆矩阵，.1 AA的逆矩阵记作的逆矩阵记作定理定理1 1 若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.定理定理2 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A推论：推论：A,Bn设设是是 阶阶方方阵阵，,E 且且1BA 则则第17页，共68页。逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质 1111,.AAAA 若若 可可逆逆 且且亦亦可可逆逆 且且 2,0,AA 若若 可可逆逆 数数则则可可逆逆 且且.AA111 3,

9、A BAB若若为为同同阶阶方方阵阵且且均均可可逆逆 则则亦亦可可逆逆 且且111()A BBA 4,.TAAAA 若若 可可逆逆 则则亦亦可可逆逆 且且TT1 1 1122.AA 推推广广1AmA1 mA1 1A第18页，共68页。,1AB设设矩矩阵阵 与与 的的行行数数相相同同 列列数数相相同同 采采用用相相同同的的分分块块法法 有有,ijijAB其其中中与与的的行行数数相相同同 列列数数相相同同 那那末末.11111111 srsrssrrBABABABABA二、分块矩阵的运算规则二、分块矩阵的运算规则 srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111,第19页，共68页。3,AmlB

10、ln 设设 为为矩矩阵阵为为矩矩阵阵 分分块块成成,11111111 trtrststBBBBBAAAAA1212,iiitjjijAAABBB其其中中的的列列数数分分别别等等于于的的行行数数 那那末末 srsrCCCCAB1111 11,;1,.tijikkjkCA Bis jr 其其中中第20页，共68页。5,.AnA设设 为为 阶阶矩矩阵阵 若若 的的分分块块矩矩阵阵只只有有在在主主对对角角线线上上有有非非零零子子块块 其其余余子子块块都都为为零零矩矩阵阵 且且非非零零子子块块都都是是方方阵阵 即即,21 sAAAAOO ,411 srAAA设设rA11sA.11 TsrTTAAA则则T

11、sA1TrA1第21页，共68页。,21 sAAAAOO1,2,.iAisA其其中中都都是是方方阵阵 那那末末称称为为分分块块对对角角矩矩阵阵.21sAAAA 分块对角矩阵的行列式具有下述性质分块对角矩阵的行列式具有下述性质:第22页，共68页。01,2,0,iAisA 若若则则并并有有.21 sAAAAoo 126,sAAAA 设设oo1 1 1 1 第23页，共68页。ssBBBAAA00000000000072121.0000002211 ssBABABA第24页，共68页。0(2)iikikrk ck以以数数乘乘某某一一行行（列列）中中的的所所有有元元素素（第第行行（列列）乘乘,记记作

12、作()）定义定义1 1下面三种变换称为矩阵的初等行下面三种变换称为矩阵的初等行(列列)变换变换:()ijijrkr ckc矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称为统称为初等变换初等变换(3)把某一行（列）所有元素的把某一行（列）所有元素的k倍加到另一行对应的元素上倍加到另一行对应的元素上去（第去（第j行（列）的行（列）的k 倍加到第倍加到第i行上，记作行上，记作(1),iji jrr对对调调两两行行(列列)（对对调调两两行行（列列）记记作作）；()ijcc第25页，共68页。特点：特点：（1 1）可划出一条阶）可划出一条阶梯线，线的下方全梯线，线的下方全为零；为零；（2

13、2）每个台阶）每个台阶 只有只有一行，一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元元12132011040012500000第26页，共68页。4123512351001110000220102101000500125001000000000000ccccccccBF 行最简形行最简形标准型标准型第27页，共68页。.的的标标准准形形称称为为矩矩阵阵矩矩阵阵BF对对行最简形矩阵行最简形矩阵再施以再施以列初等变换列初等变换，可得，可得标准形矩阵标准形矩阵41235123

14、51001110000220102101000500125001000000000000ccccccccBF 第28页，共68页。求逆矩阵的新方法求逆矩阵的新方法:若把矩阵若把矩阵(A,E)1.XA 的行最简形记作的行最简形记作(E,X),则则第29页，共68页。(,)E i j1.1.对调两行或对调两列对调两行或对调两列 02乘乘某某行行或或某某列列、以以数数 k()E i k30()()k 、以以数数乘乘某某行行 列列 加加到到另另一一行行 列列 上上去去(),)E j k i第30页，共68页。12,lP PP12.lAPPP性质性质2 方阵方阵可逆的充分必要条件是存在有限个初等可逆的充

15、分必要条件是存在有限个初等，使得，使得A方阵方阵ArAE推论推论:方阵方阵可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 第31页，共68页。定理定理3 设设Amn为为矩阵，则矩阵，则（1）ABrPABmP的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在阶可逆矩阵阶可逆矩阵，使使；（2）AQBABcnQ的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在阶可逆矩阵阶可逆矩阵，使，使；（3）ABmPnQPAQB的充分必要条件是存在的充分必要条件是存在阶可逆矩阵阶可逆矩阵和和阶可逆矩阵阶可逆矩阵，使，使第32页，共68页。1 .A B 利利用用初初等等行行变变换换求求逆逆阵阵的的方方法法，还还可可用用于于求求矩矩阵阵E11

16、 ()()AA BE A B ()A BBA1 即即初等行变换初等行变换利用初等变换求解矩阵方程的方法利用初等变换求解矩阵方程的方法:第33页，共68页。一、一、矩阵秩的概念矩阵秩的概念211 ,.mnAkkkmknkAkAk 定定义义在在矩矩阵阵中中任任取取行行列列（），位位于于这这些些行行列列交交叉叉处处的的个个元元素素 不不改改变变它它们们在在中中所所处处的的位位置置次次序序而而得得的的 阶阶行行列列式式，称称为为矩矩阵阵的的阶阶子子式式第34页，共68页。().mnAR AA 矩矩阵阵的的秩秩是是中中不不等等于于零零的的子子式式的的最最高高阶阶数数.kkmnmnAkCC矩矩阵阵的的阶阶

17、子子式式共共有有个个.)(0102等于零等于零并规定零矩阵的秩并规定零矩阵的秩的秩的秩，记作，记作称为称为矩阵矩阵的最高阶非零子式，数的最高阶非零子式，数称为矩阵称为矩阵，那么，那么于于）全等）全等阶子式（如果存在的话阶子式（如果存在的话，且所有，且所有式式阶子阶子的的中有一个不等于中有一个不等于设在矩阵设在矩阵定义定义ARArADrDrA 第35页，共68页。矩阵秩的矩阵秩的简单性质简单性质（1 1）一个矩阵的秩是惟一的；一个矩阵的秩是惟一的；Amn 0()min,R Am n （2）设设为为矩阵，则矩阵，则；Ar()R Ar r()R Ar（3 3）若在矩阵若在矩阵中有一个中有一个阶子式不

18、为零，则阶子式不为零，则；若矩阵中所有；若矩阵中所有阶子式全为零，则阶子式全为零，则；（4）()().TR AR A 4,.ABR AR B 定定理理若若则则第36页，共68页。矩阵秩的矩阵秩的常用性质常用性质：max(),()(,)()()R A R BR A BR AR B（5）()()()R ABR AR B （6）()min(),()R ABR A R B（7）m nn lABO（8）若若，则，则()()R AR Bn 第37页，共68页。一、矩阵的运算一、矩阵的运算二、逆矩阵的运算及证明二、逆矩阵的运算及证明三、矩阵的分块运算三、矩阵的分块运算典型例题典型例题第38页，共68页。四、

19、初等变换、矩阵的秩四、初等变换、矩阵的秩五、解矩阵方程五、解矩阵方程典型例题典型例题第39页，共68页。习题二习题二1，2，3，4，5，6，8注意矩阵相乘的条件！注意矩阵相乘的条件！m nn lm lABC一、矩阵的运算一、矩阵的运算第40页，共68页。第41页，共68页。二、逆矩阵的运算及证明二、逆矩阵的运算及证明求逆矩阵的方法求逆矩阵的方法.,1AAAA 则则可可逆逆若若矩矩阵阵（1 1）（2 2）用初等变换法用初等变换法1,(),.AA EAEEA 要要求求可可逆逆矩矩阵阵 的的逆逆矩矩阵阵 只只需需对对分分块块矩矩阵阵施施行行初初等等行行变变换换 当当把把 变变成成 时时 原原来来的的

20、 就就变变成成了了习题二习题二 7，23，24第42页，共68页。的逆矩阵求矩阵5221A511A212A221A122A可逆AA,1)det(5|1A2211225第43页，共68页。1123 221,.343AA 设设求求 解解例例2（第四次课件）（第四次课件）12310 00252 1 00263 0 1 123 1002210 1034300 1A E 122rr 133rr 21rr 23rr 第44页，共68页。逆矩阵的有关证明逆矩阵的有关证明习题二习题二 9，10，15,16,19，20；（1）构造一个矩阵，使之与已知矩阵相乘为单位矩构造一个矩阵，使之与已知矩阵相乘为单位矩阵阵.

21、（2）利用有关可逆矩阵的性质等利用有关可逆矩阵的性质等.推论：推论：A,Bn设设是是 阶阶方方阵阵，,E 且且1BA 则则第45页，共68页。121()()9kkAO kEAEAAA 设设为为正正整整数数，证证明明:,.kkAOEAE 证证明明：因因为为所所以以21()()kkEAEA EAAA 又又因因为为，21()()=kEA EAAAE 所所以以，-1212()=()kEEAEAAA 由由定定理理 推推论论知知-A-A可可逆逆，所所以以第46页，共68页。证明证明:(1）(2)两边同取行列式可得，第47页，共68页。15.若若A、B 都是都是 阶方阵，下列命题是否成立？若成立，阶方阵，下

22、列命题是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举反例说明给出证明；若不成立，举反例说明第48页，共68页。证明证明,022 EAA由由 EEAA2 得得,0 AEEAA 2.可可逆逆故故A1 A12 EAA .211EAA ,:,.2202AAAEA AE设设方方阵阵 满满足足方方程程证证明明都都可可逆逆 并并求求它它们们的的逆逆矩矩阵阵16.(1)第49页，共68页。022 EAA又又由由 0432 EEAEA EEAEA 3412.EA可可逆逆故故2 EAEA34121 且且.43AE 12 EA ,13412 EAEA第50页，共68页。证明证明第51页，共68页。证明证明11C)BCE只

23、需找到使得，(A11C)BCE只需找到使得，(ABA1同时左乘A,1111)BBBAA A(AA（）111)BBBA(AA（）1+BA分别右乘（A）,，可得11-1)BAEBBA(A（）第52页，共68页。已知矩阵已知矩阵A A可逆，证明其伴随矩阵可逆，证明其伴随矩阵*A也可逆，也可逆，且且*11*()().AA 例例3 3*1*1,=|,|AAAAAAA 证证明明：由由得得所所以以当当 可可逆逆时时*11|0nnAAAA*A从从而而也也可可逆逆.*1*11|,()|.AA AAAA 因因为为所所以以1*1*11()|(),|AAAAA 又又所所以以*1111*1*()|()().AAAAAA

24、A 第53页，共68页。三、矩阵的分块运算三、矩阵的分块运算运算与矩阵的运算类似运算与矩阵的运算类似.常用分块对角矩阵的运算性质常用分块对角矩阵的运算性质.习题二习题二 ,21,21，22第54页，共68页。;)(,1rARrA 则则阶子式都为零阶子式都为零中所有中所有如果如果);()(ARART 定理定理);()(,BRARBA 则则若若行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数,();ArR Ar 如如果果 中中有有一一个个非非零零的的 阶阶子子式式 则则四、初等变换、矩阵的秩四、初等变换、矩阵的秩第55页，共68页。.)4(;)3(;)()2(;)1(EAEAnAR

25、AA的的标标准准形形为为单单位位矩矩阵阵的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为,An若若 为为 阶阶可可逆逆矩矩阵阵 则则第56页，共68页。求矩阵的秩有下列基本方法求矩阵的秩有下列基本方法（1）计算矩阵的各阶子式，找到不等于零的计算矩阵的各阶子式，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩数就是矩阵的秩（2）用初等变换即用矩阵的初等行变换，把所给用初等变换即用矩阵的初等行变换，把所给矩阵化为行阶梯形矩阵，所化得的阶梯形矩阵中非矩阵化为行阶梯形矩阵，所化得的阶梯形矩阵中非零行的行数就是原矩阵的秩零行的行数就是原矩阵的秩第一种方法当

26、矩阵的行数与列数较高时，计第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法则较为简单实用算量很大，第二种方法则较为简单实用第57页，共68页。习题二习题二 27，28，29，30，31，32，33第58页，共68页。练习：练习：132202132015AA 已已知知，求求该该矩矩阵阵的的秩秩，求求 的的一一个个最最高高阶阶非非零零子子式式。解解 2.R A 例例2 2 A对对矩矩阵阵做做初初等等变变换换，132213220213 0213,20150000 显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，.2 ARA2所以矩阵 的 最高阶子式为13002 第59页，共68页。五、解矩阵方

27、程五、解矩阵方程习题二习题二 13，17，18，25，261.解出矩阵方程中未知矩阵的表达式，求出解；解出矩阵方程中未知矩阵的表达式，求出解；2.初等变换法解矩阵方程初等变换法解矩阵方程.（注意灵活运用）（注意灵活运用）第60页，共68页。(1)AXB)(BA)(1BAE 初初等等行行变变换换BAX1 BXA )2()(BATT)(1BAETT 初初等等行行变变换换ABX1 BAXTTT)(1 初等变换法初等变换法第61页，共68页。例例。求且满足方程、设三阶方阵B,)71,41,31diag(A,BAA6BABA1-A-1BA-BA6AA-1(-E)BA6AA-111B(-E)6AAA1(3

28、,4,7)()6diagEE1(2,3,6)()6diag(1/2,1/3,1(/66)diag(3,2,1)diag第62页，共68页。2012年年6月月第63页，共68页。2013年年6月月第64页，共68页。2014年年1月月2,2AAABABE()()AEABE2ABABAABAB 2AABABE第65页，共68页。21014020,.101AABEABB例例 设设且且求求22,ABEABA E B AE 解解由由得得(-)=()()()AE BAEAE即即001|0100,()100AEAE因因为为所所以以可可逆逆201030102BAE从从而而，第66页，共68页。11114105,.1102PAPPA 例例 设设求求11,P APAP P 解解：由由得得11111APP 从从而而*114141|=3,31111PPP 因因为为111110021111127312732.683684APP 所所以以，第67页，共68页。Thank You!第68页，共68页。