二轮复习函数与方程思想

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1、二轮函数与方程思想【知识要点】1.应用函数与方程思想解决数列,不等式,圆锥曲线等方面的问题.2.应用函数与方程思想解决有关的实际问题.【典型例题精析】例1.已知集合,.如果,求实数的取值范畴.解：由,得 , 方程在区间上至少有一种实根.由,得.当时,由及知,方程只有负根,不符合规定.当时,由及知,方程只有正根,且必有一根在区间内,从而方程至少有一种实根在区间内.综上所述,的取值范畴是.例2.设等差数列的前项的和为,已知, .(1)求公差的取值范畴；(2)指出中哪一种值最大,并阐明理由.【分析】第(1)问运用公式与建立不等式,容易求解d的范畴；第(2)问运用是的二次函数,将中哪一种值最大,变成求

2、二次函数中为什么值时取最大值的函数最值问题.解：(1)由,得到,因此,解得:.(2),由于,故最小时,最大.由得6,故正整数时最小,因此最大.【点评】 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数,因此可运用函数思想来分析或用函数措施来解决数列问题.也可以运用方程的思想,设出未知的量,建立等式关系即方程,将问题进行算式化,从而简洁明快.由次可见,运用函数与方程的思想来解决问题,规定灵活地运用、巧妙的结合,发展了学生思维品质的深刻性、独创性.例3.设,如果当时故意义,求实数的取值范畴.【分析】当时, 故意义的函数问题,转化为在上恒成立的不等式问题.解:由题设可知,不等式在上恒成立,

3、即：在上恒成立.设, 则, 又设,其对称轴为,在上无实根, 即,得.因此的取值范畴是.【点评】对于不等式恒成立问题,引入新的参数化简了不等式后,构造二次函数运用函数的图像和单调性解决问题,其中也联系到了方程无解,体现了方程思想和函数思想.一般地,我们在解题中要抓住二次函数及其图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系,将问题进行互相转化.例4.求过定点且与抛物线只有一种公共点的直线方程.解：当直线斜率不存在时,直线方程为,直线与抛物线相切,符合条件.当直线斜率存在时,设直线方程为,由方程组消去得 直线与抛物线只有一种公共点,方程只有一种实根.若,则方程为, 解得, ,此时直线方程为,直线与抛

4、物线只有一种公共点,符合条件.若,由直线与抛物线只有一种公共点,得,所求直线方程为.综上所述,所求直线方程为或或.例5. 如图,是圆的直径,垂直于圆所在平面,是圆周上任一点,设,求异面直线和的距离.【分析】 异面直线PB和AC的距离可当作求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值,从而设定变量,建立目的函数而求函数最小值. P MA H B D C解：在上任取一点,作于D,于,设,则平面,. 即当时,取最小值为两异面直线的距离.【点评】 本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”,并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”.一般地,对于求最大值、最小值的实

5、际问题,先将文字阐明转化成数学语言后,再建立数学模型和函数关系式,然后运用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答.例如再现性题组第8题就是典型的例子.例6.设计一幅宣传画,规定画面积为,画面的宽与高的比为,画面的上,下各留空白,左,右各留空白,如何拟定画面的高与宽的尺寸,使宣传画所用纸张面积最小？解:设画面的高为,则画面的宽为,所用纸张的面积为,由题设,得,当且仅当,即时取等号,此时.当画面高为,宽为时,所用纸张面积最小.【当堂反馈】1.已知函数有反函数,则方程 （B） A.有且仅有一种实根 B.至多有一种实根C.至少有一种实根 D.没有实根2.方程至少有一种负根的充要条件是 （C） A. B

6、. C. D.3.对于满足的一切实数,不等式恒成立,则的取值范 （B）. A. B.C. D.4.已知是方程的根,是方程的根,那么所在的区间为 （C） A. B. C. D.5.设,若相应于的曲线段位于轴的上方,则满足 （D） A. B.C. D.6.若直线与曲线有两个不同的交点,则实数的取值范畴是 （C） A. B. C. D. 7.已知,且满足,则的值为 （C） A. B. C. D.8.如果函数对于任意实数,均有,那么 (A)A. B. C. D.9.已知函数,当时,函数的最小值是_.10.若正数满足,则的取值范畴是_.11.设函数,给出下列命题：时,只一种实根；时,是奇函数；的图象有关

7、点对称；方程至多有2个实根.上述命题中的所有对的命题的序号是_.12.将长度为1的铁丝提成两段,分别围成一种正方形和一种圆形,要使正方形和圆形的面积之和最小,正方形的周长应为_.13.求函数的值域.解: 函数的定义域为R,由得. ,方程有实数根,因此,（1）当时,方程有实数根；（2）当时,方程有实数根等价与其鉴别式,即, 解得.综合（1）,（2）得原函数的值域是.点评：将函数值域问题转化为二次方程有解问题,最后转化为解的鉴别式问题,这是典型的用方程知识谋求函数结论的解题措施.14.设,试求方程有实数解的的范畴.解：将原方程化为：, 等价于 , .设,则 .当时,故；当时,故.综上所述,的取值范

8、畴是：或. y C C -ak -a a 【点评】 求参数的范畴,分离参数后变成函数值域的问题,观测所求函数式,引入新的变量,转化为三角函数的值域问题,在进行三角换元时,要注意新的变量的范畴.一般地,此种思路可以解决有关不等式、方程、最大值和最小值、参数范畴之类的问题.本题还用到了分离参数法、三角换元法、等价转化思想等数学思想措施.15. 已知三内角、的大小成等差数列,且,又知顶点的对边上的高等于,求的三边、及三内角.解: 由、成等差数列,可得；由中,得.设是方程的两根,解得, 设,则, ,由此容易得到. 16.已知是中心在原点,长轴在轴上的椭圆的一种顶点,离心率为. (1)求椭圆的方程； （

9、2）直线与椭圆交于两点,椭圆的左,右焦点分别为,求以和为对角线的四边形面积的最大值.解:（1）设椭圆方程为,由已知, , 解得,故所求椭圆方程为.(2)由方程组消去,得,解得,令,当时,的最大值为.【课外练习】1.若定义在区间内的函数满足,则的取值范畴是（A） A. B. C. D. 2.设,如果恒成立,那么 （D） A. B. C. D. 3.若有关的方程有实数解,则的取值范畴是 （B） A. B. C. D. 4.已知函数是偶函数,则函数的对称轴一定是 （C） A. B. C. D.5.已知,则的值是 (A)A. B. C. D.6.方程的解所在的区间为 (C)A. B. C. D.7.已

10、知函数,且,则 (A)A. B. C. D.8.方程在区间内解的个数是 (C)A. B. C. D. 9.曲线上的点到直线的距离的最小值为 （D） A. B. C. D.10.（江苏卷12）设函数,区间,集合,则使成立的实数对有 （A） A.0个 B.1个 C.2个 D.无数多种11.若方程的两个根都大.2）于,则实数_. 12.若实数,则的取值范畴是_.13. 对于满足的所有实数,使不等式成立的的取值范畴是_.14.已知点在曲线上,则点到点的距离的最大值为_.415.某中学的一种研究性学习小组共有名同窗,其中男生名,目前从中选出人参与一项调查活动,若至少有一名女生去参与的概率为,则_.16.

11、 建造一种容积为,深为的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为元和元,则水池的最低造价为_.17.对于任意的均有,求有关的方程的根的范畴.解:对任意的均成立,且, 即, 解得.原方程化为. 令,当时, .当时, .综上所述,原方程的根的取值范畴是.18.已知函数. (1)若在上有解,求实数的取值范畴； （2）若在上恒成立,求实数的取值范畴.解：（1）在上有解,只要即可.而在上有最大值, .(2) 在上恒成立,必须.而在上有最小值, .注意：第（1）,（2）小题的区别,一般地,在闭区间上有如下结论（为常数）：有解；有解；恒成立；恒成立.19. 已知函数. (1)若对任意的均有,求实数

12、的取值范畴； （2）若对任意的均有,求实数的取值范畴.解：（1）令,在上恒成立.当时, 在上递增, 符合题意.当,即时,且当时,；当时,. 当时, .综上所述,实数的取值范畴为.20.一动直线和圆相切,此直线和轴,轴的交点分别为,且. (1)问之间满足什么等量关系式？ （2）求面积的最小值.解：圆的方程为,圆心为,半径为.由题设,直线的方程为,即,直线和圆相切, , 化简得,即.(2) , , 即,由此得, , ,., 面积的最小值为.21.(全国卷I)设在抛物线上,是的垂直平分线. (1)当且仅当取何值时,直线通过抛物线的焦点？证明你的结论. (2)当直线的斜率为2时,求在轴上截距的取值范畴.解:抛物线方程为, 即,依题意有,., 上式等价与,当且仅当时,直线通过抛物线的焦点.(2)设直线的方程为,直线的方程为的坐标由方程组解得,将代入,得, , 上述一元二次方程的鉴别式, .设中点的坐标为,则, , .直线在轴上截距的取值范畴为.