（通用版）2020版高考数学复习 专题六 统计与概率 6.1 概率、统计基础题练习 理

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1、6.1概率、统计基础题命题角度1抽样方法高考真题体验对方向1.(2013全国3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是()A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样答案C解析因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样.2.(2017江苏3)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进

2、行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.答案18解析抽取比例为601000=350,故应从丙种型号的产品中抽取300350=18(件),答案为18.典题演练提能刷高分1.为了解某地区的“微信健步走”活动情况,拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查,事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异,而男女“微信健步走”活动情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是()A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按年龄段分层抽样D.系统抽样答案C解析该地区老、中、青三个年龄段人员的活动情况有较大差异,而男女差异不大,所以按年龄段分层抽样具有代表性,比较合理.2.已知某

3、单位有职工120人,男职工有90人,现采用分层抽样(按性别分层)抽取一个样本,若已知样本中有18名男职工,则样本容量为()A.20B.24C.30D.40答案B解析设样本容量为n,则n120=1890,n=24,选B.3.(2019福建漳州质检二)某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号,编号分别为001,002,599,600,从中抽取60个样本,如下提供随机数表的第4行到第6行:32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31

4、34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据,则得到的第6个样本编号()A.522B.324C.535D.578答案D解析第6行第6列的数开始的数为808,不合适,436合适,789不合适,535,577,348合适,994不合适,837不合适,522,535重复不合适,578合适,则满足条件的6个编号为436,535,577,34

5、8,522合适,578,则第6个编号为578,故选D.4.我国古代数学名著九章算术中有如下问题“今有北乡八千七百五十八,西乡七千二百三十六,南乡算八千三百五十六,凡三乡,发役三百七十八人,欲以算数多少出之,何各几何?”意思是:北乡有8 758人,西乡有7 236人,南乡有8 356人,现要按人数多少从三乡共征集378人,问从各乡征集多少人?在上述问题中,需从西乡征集的人数是()A.102B.112C.130D.136答案B解析由题意得,三乡总人数为8758+7236+8356=24350.共征集378人,需从西乡征集的人数是723624350378112,故选B.5.总体由编号为01,02,1

6、9,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从第1行的第5列和第6列数字开始由左往右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314021443199714019832049234493682003623486969387181A.01B.02C.14D.19答案A解析从随机数表第一行的第五列和第六列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的,编号重复的保留前者.可知对应的数值为08,02,14,19,01,则第五个个体的编号为01.故选A.6.分层抽样是将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,组成

7、一个样本的抽样方法;在九章算术第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱多少衰出之,问各几何?”其译文为:今有甲持560钱,乙持350钱,丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共100钱,要按照各人带钱多少的比例进行交税,问三人各应付多少税?则下列说法错误的是()A.甲应付5141109钱B.乙应付3224109钱C.丙应付1656109钱D.三者中甲付的钱最多,丙付的钱最少答案B解析依题意,由分层抽样知识可知,100(560+350+180)=10109,则甲应付10109560=5141109钱;乙应付1010935

8、0=3212109钱;丙应付10109180=1656109钱.故选B.7.(2019山东德州一模)某单位200名职工的年龄分布情况如图所示.现要从中抽取50名职工作样本,若采用分层抽样方法,则4050岁年龄段应抽取人.答案15解析从图中可知,三个年龄段的人数比例分别为532,4050岁年龄段的人数占310,则4050岁年龄段应抽取31050=15人.8.某公司对一批产品的质量进行检测,现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测,对这100件产品随机编号后分成5组,第一组120号,第二组2140号,第五组81100号,若在第二组中抽取的编号为24,则在第四组中抽取的编号为.答案64解

9、析设在第一组中抽取的号码为a1,则在各组中抽取的号码满足首项为a1,公差为20的等差数列,即an=a1+(n-1)20,又第二组抽取的号码为24,即a1+20=24,所以a1=4,所以第四组抽取的号码为4+(4-1)20=64.9.某校高三年级3个学部共有600名学生,编号为:001,002,600,从001到300在第一学部,从301到495在第二学部,从496到600在第三学部.采用系统抽样的方法从中抽取50名学生进行成绩调查,且随机抽取的号码为003,则第二学部被抽取的人数为.答案17解析由题意得,号码的间隔为60050=12,则第一组随机抽取的号码为003,则抽取的号码构成一个等差数列

10、,通项公式为3+12(n-1)=12n-9,由30112n-9495,即31012n50412,即26n42,共有17人.10.某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项),现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本,若分别采用系统抽样法和分层抽样法,则都不用剔除个体;当样本容量为n+1时,若采用系统抽样法,则需要剔除1个个体,那么样本容量n为.答案6解析n为18+12+6=36的正约数,因为18126=321,所以n为6的倍数,因此n=6,12,18,24,30,36.因为当样本容量为n+1时,若采用系统抽样法,则需要剔除1个个体,所以n+1为35的正约

11、数,因此n=6.命题角度2求古典概型的概率高考真题体验对方向1.(2019全国6)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,右图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.516B.1132C.2132D.1116答案A解析由题可知,每一爻有2种情况,故一重卦的6个爻有26种情况.其中6个爻中恰有3个阳爻有C63种情况,所以该重卦恰有3个阳爻的概率为C6326=516,故选A.2.(2019江苏6)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.答案7

12、10解析由已知男女同学共5名.从5名学生中任选2名,共有C52=10种选法.若选出的2人中恰有一名女生,有C31C21=6种选法.若选出的2人都是女生,有1种选法.所以所求的概率为P=6+110=710.典题演练提能刷高分1.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”“0”“1”“8”,现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是()A.23B.12C.13D.14答案D解析从球“2”“0”“1”“8”中随机选取三个球有C43种取法,能成等差数列的取法只有一种,为“0”“1”“2”,即概率为1C43=14.故选D.2.(2019四川宜宾二模)一个袋子中有4个红球

13、,2个白球,若从中任取2个球,则这2个球中有白球的概率是()A.45B.35C.25D.13答案B解析一个袋子中有4个红球,2个白球,从中任取2个球,基本事件总数n=C62=15,这2个球中有白球包含的基本事件个数m=C41C21+C22=9,这2个球中有白球的概率是p=mn=915=35.故选B.3.(2019河北武邑中学调研二)某学校10位同学组成的志愿者,组织活动分别由李老师和张老师负责.每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学,且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为()A.25B.1225C

14、.1625D.45答案C解析设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”,设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”,由题意P(A)=410=25,P(B)=410=25,甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=25+25-2525=1625.故选C.4.现有6张牌面分别是2,3,4,5,6,7的扑克牌,从中取出1张,记下牌面上的数字后放回,再取一张记下牌面上的数字,则两次所记数字之和能整除18的概率是()A.13B.12C.23D.14答案D解析由题意,试验的情况总数有C61C61=66=36,又18=233,即两次所记数字之和能整除18的

15、有:2+4,2+7,3+6,4+5,两次交换顺序共8种,还有3+3,即所求事件个数共有9,所以所求概率为p=936=14.故选D.5.有4张卡片(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿,从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片,则取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为()A.13B.35C.12D.56答案C解析有4张卡片(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿.从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片,基本事件总数n=C42=6,取出的2张卡片中含有红色卡片包含的基本事件个数m=C11C31=3,取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为p=mn=36=12.故选C.6.从3名男生,2名女生中选3人

16、参加某活动,则男生甲和女生乙不同时参加该活动,且既有男生又有女生参加活动的概率为()A.310B.25C.12D.35答案D解析由题意得总的基本事件个数为C53=10,事件A分三类,第一类:从三名男生中选两名男生和另外一名女生组合,有C32C11=3种方法;第二类:选除了甲以外的两名男生和女生乙,有一种方法;第三类:选两名女生,从除了甲以外的两名男生中选一个,有C22C21=2种方法,共有6种方法,所以由古典概型的公式得P(A)=610=35,故选D.7.甲、乙等4人参加4100米接力赛,在甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率是()A.29B.49C.23D.79答案D解析由题意得甲不跑第

17、一棒的总的基本事件有C31A33=18种,甲不跑第一棒,乙不跑第二棒的基本事件有C31A33-A21A22=14,由古典概型的概率公式得在甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率是p=1418=79.故选D.8.某办公楼前有7个连成一排的车位,现有三辆不同型号的车辆停放,恰有两辆车停放在相邻车位的概率是.答案47解析7个车位都排好车辆,共有A77种方法,满足题意的排法等价于7辆车排列,满足其中三辆中恰有两辆车停放在相邻车位,则首先排列余下的四辆车,有A44种方法,然后从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑,3辆车看作2个元素插入4辆车的5个空位中,共有A32A52种方法,由乘法原理结合古典概型

18、计算公式可得满足题意的概率为p=A44A32A52A77=47.9.某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包,被甲、乙、丙三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是.答案25解析由题意得共有(1,1,5),(1,5,1),(5,1,1),(1,2,4),(1,4,2),(2,1,4),(2,4,1),(4,1,2),(4,2,1),(1,3,3),(3,1,3),(3,3,1),(2,2,3),(2,3,2),(3,2,2)这15种,其中甲领取的钱数不少于其他任何人的事件有(5,1,1),(4,1,2),(4,2,1),(3,1,3),(3,3,1

19、),(3,2,2)6种,所以概率为615=25.10.从左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,则经过两次这样的调换后,甲在乙左边的概率是.答案23解析从左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,则经过两次这样的调换,基本事件总数为n=C32C32=9.从中随机抽取2个人进行位置调换,第一次调换后,对调后的位置关系有三种:甲丙乙、乙甲丙、丙乙甲,第二次调换后甲在乙左边对应的关系有:丙甲乙、甲乙丙;丙甲乙、甲乙丙;甲丙乙、丙甲乙,经过两次这样的调换后,甲在乙左边包含的基本事件个数m=6,故甲在乙左边的概率为p=mn=69=23.命题角度3用几何概型的

20、概率求解高考真题体验对方向1.(2018全国10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为.在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3答案A解析设AB=b,AC=a,BC=c,则a2+b2=c2.所以以BC为直径的圆面积为c22,以AB为直径的圆面积为b22,以AC为直径的圆面积为a22.所以S=12ab,S=12b24+12a24-12c24-12ab=

21、12(b2+a2-c2)4+12ab=12ab,S=12c24-12ab,所以S=S,由几何概型,知p1=p2.2.(2017全国2)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.8C.12D.4答案B解析不妨设正方形边长为2,则圆半径为1,正方形的面积为22=4,圆的面积为12=.由图形的对称性,可知图中黑色部分的面积为圆面积的一半,即12r2=12,所以此点取自黑色部分的概率为24=8.3.(2016全国4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在

22、7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34答案B解析这是几何概型问题,总的基本事件空间如图所示,共40分钟,等车时间不超过10分钟的时间段为:7:50至8:00和8:20至8:30,共20分钟,故他等车时间不超过10分钟的概率为P=2040=12,故选B.4.(2016全国10)从区间0,1随机抽取2n个数x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A.4nmB.2

23、nmC.4mnD.2mn答案C解析利用几何概型求解,由题意可知,14S圆S正方形=141212=mn,所以=4mn.5.(2016山东14)在-1,1上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为.答案34解析直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径,即d=|5k|1+k23,解得-34k34,而k-1,1,所以发生的概率为34-342=34.典题演练提能刷高分1.函数f(x)=2x(x0),其值域为D,在区间(-1,2)上随机取一个数x,则xD的概率是()A.12B.13C.14D.23答案B解析函数f(x)=2x(x

24、0)的值域为(0,1),即D=(0,1),则在区间(-1,2)上随机取一个数x,xD的概率p=1-02-(-1)=13.故选B.2.某景区在开放时间内,每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车,某人上午到达景区入口,准备乘坐观光车,则他等待时间不多于10分钟的概率为()A.110B.16C.15D.56答案B解析由题意,此人在50分到整点之间的10分钟内到达,等待时间不多于10分钟,所以概率p=1060=16.故选B.3.(2019湘赣十四校联考二)如图,在等腰三角形ABC中,已知BAC=120,阴影部分是以AB为直径的圆与以AC为直径的圆的公共部分,若在ABC内部任取一点,则此点取自阴影部分的

25、概率为()A.39-12B.39-1C.1-39D.12-39答案A解析如图所示,取BC的中点D,AC的中点O,连接AD,DO,设AB=2,在ACD中,AD=1,CD=3,SACD=32,SABC=3.在扇形OAD中,AOD=60,S扇形OAD=1231=6,SOAD=34,S阴影=26-34=3-32,P=S阴影SABC=3-323=39-12.4.(2019广东深圳高三适应性考试)勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线,它由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现,其作法是:以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形

26、.现在勒洛三角形中随机取一点,则此点取自正三角形内的概率为()A.2-332(-3)B.32(-3)C.32(+3)D.2-332(+3)答案B解析如图,设BC=2,以B为圆心的扇形面积是226=23,ABC的面积是122232=3,所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积,即233-23=2-23,所以在勒洛三角形中随机取一点,此点取自正三角形的概率是32-23=32(-3),故选B.5.九章算术是我国古代的数学名著,书中把三角形的田称为“圭田”,把直角梯形的田称为“邪田”,称底是“广”,称高是“正从”,“步”是丈量土地的单位.现有一邪田,广分别为十步和二十步,正从为十步,其内

27、有一块广为八步,正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树,求该株茶树恰好种在圭田内的概率为()A.215B.25C.415D.15答案A解析邪田的广分别为十步和二十步,正从为十步,圭田广为八步,正从为五步.利用三角形的面积公式,算出圭田的面积为1285=20,利用梯形的面积公式,算出邪田的面积为12(10+20)10=150,在邪田内随机种植一株茶树,根据几何概型概率公式可得,该株茶树恰好种在圭田内的概率为p=20150=215.故选A.6.小李从网上购买了一件商品,快递员计划在下午5:006:00之间送货上门,已知小李下班到家的时间为下午5:306:00.快递员到小李家时,如果小李未到家

28、,则快递员会电话联系小李.若小李能在10分钟之内到家,则快递员等小李回来;否则,就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为()A.19B.89C.512D.712答案D解析设快递员到小李家的时间为x,小李到家的时间为y,由题意可得所有基本事件构成的平面区域为(x,y)5x6,5.5y6,设“小李需要去快递柜收取商品”为事件A,则事件A包含的基本事件构成的平面区域为(x,y)5x6,5.5y6,y-x16,如图阴影部分所示的直角梯形.在y-x=16中,当y=5.5时,x=163;当y=6时,x=356.阴影部分的面积为S阴影=1213+5612=724,由几何概型概率公式可得P(

29、A)=S阴影S矩形=72412=712,即小李需要去快递柜收取商品的概率为712.选D.7.在圆C:(x-3)2+y2=3上任取一点P,则锐角COP59,5148,3629,6845,所以在北京这22天的空气质量中,按平均数来考察,最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量,即选项A正确;AQI不低于100的数据有3个:143,225,145,所以在北京这22天的空气质量中,有3天达到污染程度,即选项B正确;因为12月29日的AQI为225,为重度污染,该天的空气质量最差,即选项C错误;AQI在0,50)的数据有6个:36,47,49,48,29,45,即达到空气质量优的天数有6天,即选项D正

30、确.故选C.10.为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况,以及重要商品库存变化的动向,中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查,制定了中国仓储指数.由2016年1月至2017年7月的调查数据得出的中国仓储指数,绘制出如下的折线图.根据该折线图,下列结论正确的是()A.2016年各月的仓储指数最大值是在3月份B.2017年1月至7月的仓储指数的中位数为55C.2017年1月与4月的仓储指数的平均数为52D.2016年1月至4月的仓储指数相对于2017年1月至4月,波动性更大答案D解析2016年各月的仓储指数最大值是在11月份,所以A错误;由题图可知,2017年1月至7月的仓储指

31、数的中位数约为53,所以B错误;2017年4月的仓储指数的平均数为51+552=53,所以C错误;由题图可知,2016年1月至4月的仓储指数比2017年1月至4月的仓储指数波动更大,故选D.命题角度5条件概率、相互独立事件与二项分布、正态分布高考真题体验对方向1.(2015全国4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案A解析由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.故P=C320.62(1-0.6)+C330.63=0.

32、648.2.(2015湖南7)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A.2 386B.2 718C.3 413D.4 772附:若XN(,2),则P(-X+)=0.682 6,P(-2X+2)=0.954 4.答案C解析由于曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线,所以P(-1X1)=0.6826,由正态分布密度曲线的对称性知P(0X1)=0.3413,即图中阴影部分的面积为0.3413.由几何概型知点落入阴影部分的概率P=0.34131=0.3413.因此,落入阴影部分的点的个数的估计值为100000.34

33、13=3413.故选C.3.(2019全国15)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以41获胜的概率是.答案0.18解析前五场中有一场客场输时,甲队以41获胜的概率是0.630.50.52=0.108;前五场中有一场主场输时,甲队以41获胜的概率是0.40.620.520.6=0.072.综上所述,甲队以41获胜的概率是0.108+0.072=0.18.典题演练提能刷高分1.某单位对某村的贫困户进行“精准

34、扶贫”,若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为25和35,两户是否获得扶持资金相互独立,则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为()A.215B.25C.1925D.815答案C解析两户中至少有一户获得扶持资金的概率p=2525+3535+2535=1925.2.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.7,0.6,只有通过前一关才能进入下一关,且通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手只闯过前两关的概率为()A.0.56B.0.336C.0.32D.0.224答案D解析该选手只闯过前两关的概率为0.80.7(1-0.6)=0.224,选D.3.在某项测量中,测量结果服从

35、正态分布N(0,2),若在(-,-1)内取值的概率为0.1,则在(0,1)内取值的概率为()A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1答案B解析服从正态分布N(0,2),曲线的对称轴是直线x=0,P(1)=0.1,在区间(0,1)内取值的概率为0.5-0.1=0.4,故选B.4.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数,事件A=“第一次取到的是奇数”,B=“第二次取到的是奇数”,则P(B|A)=()A.12B.25C.310D.15答案A解析由题意得P(A)=C51C81A92=59,P(AB)=C51C41A92=518,P(B|A)=P(AB)P(A)=C51C81A92=

36、51859=12.选A.5.为弘扬我国优秀的传统文化,市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试,经过大数据分析,发现本次听写测试成绩服从正态分布N(78,16).试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为()A.0.13%B.1.3%C.3%D.3.3%答案A解析由题意,=78,=4,在区间(66,90)的概率为0.9974,成绩不小于90的学生所占的百分比为12(1-0.9974)=0.13%,故选A.6.先后掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)两次,落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A为“x+y为偶数”,

37、事件B为“x,y中有偶数,且xy”,则概率P(B|A)=()A.13B.14C.15D.16答案A解析设事件A为“x+y为偶数”中包含的基本事件为(1,3),(1,5),(1,1),(3,3),(5,5),(3,1),(5,1),(5,3)(3,5),(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)共18个,事件A中含有的B事件为(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(6,2),(6,4),共有6个,所以P(B|A)=618=13,故选A.7.已知随机变量N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形OABC中随机投掷

38、10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为()注:P(-+)=68.26%,P(-2+2)=95.44%.A.6 038B.6 587C.7 028D.7 539答案B解析随机变量N(1,1),P(01)=12P(-+)=34.13%,S阴影=12-0.3413=0.6587,落入阴影部分的点的个数的估计值为100000.6587=6587(个).选B.8.已知某公司生产的一种产品的质量X(单位:克)服从正态分布N(100,4).现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品,其中质量在98,104内的产品估计有()(附:若X服从N(,2),则P(-X+)=0.682 6,P(-2X

39、+2)=0.954 4)A.3 413件B.4 772件C.6 826件D.8 185件答案D解析由题意可得,该正态分布的对称轴为x=100,且=2,则质量在96,104内的产品的概率为P(-2X+2)=0.9544,而质量在98,102内的产品的概率为P(-X+)=0.6826,结合对称性可知,质量在98,104内的产品估计有0.6826+0.9544-0.68262=0.8185,据此估计产品的数量为100000.8185=8185件.故选D.9.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X,且XN(800,502).记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0,则p0的值为(参考数

40、据:若XN(,2),有P(-X+)=0.682 6,P(-2X+2)=0.954 4,P(-3X+3)=0.997 4)()A.0.977 2B.0.682 6C.0.997 4D.0.954 4答案A解析随机变量X服从正态分布N(800,502),=800,=50,P(700X900)=0.9544,根据正态分布的对称性可得p0=P(X900)=P(X800)+P(800X900)=12+12P(700X900)=12+120.9544=0.9772,故选A.命题角度6期望与方差的求解高考真题体验对方向1.(2019浙江7)设0a1.随机变量X的分布列是X0a1P131313则当a在(0,1

41、)内增大时,()A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大答案D解析由分布列得E(X)=1+a3,则D(X)=1+a3-0213+1+a3-a213+1+a3-1213=29a-122+16,所以当a在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大.2.(2017全国13)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数,则D(X)=.答案1.96解析由题意可知抽到二等品的件数X服从二项分布,即XB(100,0.02),其中p=0.02,n=100,则D(X)=np(1-p)=1000.020.98=1.96

42、.3.(2016四川12)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.答案32解析同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果有(正正),(正反),(反正),(反反),所以试验一次成功的概率为1-122=34.所以在2次试验中成功次数X的取值为0,1,2,其中P(X=0)=142=116,P(X=1)=C213414=38,P(X=2)=3434=916,所以在2次试验中成功次数X的均值是E(X)=0116+138+2916=32.典题演练提能刷高分1.已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则n,p分

43、别等于()A.n=45,p=23B.n=45,p=13C.n=90,p=13D.n=90,p=23答案C解析随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,根据二项分布的期望公式以及二项分布的方差公式可得np=30,np(1-p)=20,解得p=13,n=90,故选C.2.一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(nN*)个黑球.现从中有放回地摸取4次,每次都是随机摸取一球,设摸得白球个数为X,若D(X)=1,则E(X)=()A.1B.2C.3D.4答案B解析由题意,XB(4,p),D(X)=4p(1-p)=1,p=12,E(X)=4p=412=2,故选B.3.一位摊主在

44、一个旅游景点设摊,在不透明口袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球.游客向摊主付2元进行1次游戏.游戏规则为:游客从口袋中随机摸出2个小球,若摸出的小球同色,则游客获得3元奖励;若异色则游客获得1元奖励.则摊主从每次游戏中获得的利润(单位:元)的期望值是()A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5答案A解析游客摸出的2个小球同色的概率为C22+C32C52=25,所以摊主从每次游戏中获得的利润分布列为X-11P2535因此E(X)=-125+135=0.2.4.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球,现从中逐个不放回地摸出小球,直到取出所有红球为止,则摸取次数X的数学期望是

45、()A.185B.92C.367D.163答案D解析当X=k时,第k次取出必然是红球,而前k-1次中,有且只有1次取出的是红球,其余次数取出的皆为黑球,故P(X=k)=Ck-11C72=k-121,于是得到X的分布列为X234567P121221321421521621故E(X)=2121+3221+4321+5421+6521+7621=163,故选D.5.已知5台机器中有2台存在故障,现需要通过逐台检测直至区分出这2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1 000元,则所需检测费的均值为()A.3 200B.3 400C.3 500D.3 600答案C解析设检测的机器的台数为X,则X的所有可能取值为2,3,4.P(X=2)=A22A52=110,P(X=3)=A21C31A22+A33A53=310,P(X=4)=1-110-310=35,所以E(X)=2110+3310+435=3.5,所以所需的检测费用的均值为10003.5=3500.故选C.6.已知随机