2020版高考数学一轮复习 第二章 第九节 函数模型及其应用精练 文

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1、第九节函数模型及其应用A组基础题组1.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.041 87.51218.01A.y=2x-2B.y=12(x2-1)C.y=log2xD.y=log12x答案B由题中表可知函数在(0,+)上是增函数,且y的变化随x的增大而增大得越来越快,分析选项可知B符合,故选B.2.某工厂6年来生产某种产品的情况:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系的图象正确的是(

2、)答案A前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有A、C图象符合要求,而后3年年产量保持不变,故选A.3.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对于进价),则该家具的进价是()A.118元B.105元C.106元D.108元答案D设进价为a元,由题意知132(1-10%)-a=10%a,解得a=108.故选D.4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10 m3的,按m元/m3收费;用水超过10 m3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为()A.13 m3B.14 m3C.18 m3D.

3、26 m3答案A设该职工用水x m3时,缴纳的水费为y元,由题意得y=mx(010),则10m+(x-10)2m=16m,解得x=13.5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两邻边长x,y应为()A.x=15,y=12B.x=12,y=15C.x=14,y=10D.x=10,y=14答案A如图,由三角形相似得24-y24-8=x20,得x=54(24-y),所以S=xy=-54(y-12)2+180,所以当y=12时,S有最大值,此时x=15.检验符合题意.6.某化工厂生产一种溶液

4、,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少13,至少应过滤次才能达到市场要求.(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1)答案8解析设过滤n次,则2%1-13n0.1%,即23n120,所以nlg 23-1-lg 2,所以n7.39,所以n=8.7.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2018年5月1日1235 0002018年5月15日4835 600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为升.答案8解析因为每次都把

5、油箱加满,第二次加了48升油,说明这段时间总耗油量为48升,而行驶的路程为35 600-35 000=600(千米),故每100千米平均耗油量为486=8(升).8.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速率v的平方成正比,且比例系数为k,除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/小时时,每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里,当这艘轮船的速度为海里/小时时,总费用最小.答案40解析设每小时的总费用为y元,则y=kv2+96,又当v=10时,k102=6,解得k=0.06,所以每小时的总费用y=0.06v2+96,匀速行驶10海里所用的时间为10v小时,故总费用为W=10vy=1

6、0v(0.06v2+96)=0.6v+960v20.6v960v=48,当且仅当0.6v=960v,即v=40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时.9.候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为:v=a+blog3Q10(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.(1)求出a,b的值;(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?解析(1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0

7、 m/s,此时耗氧量为30个单位,则a+blog33010=0,即a+b=0;当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s,则a+blog39010=1,整理得a+2b=1.解方程组a+b=0,a+2b=1,得a=-1,b=1.(2)由(1)知,v=a+blog3Q10=-1+log3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s,则v2,所以-1+log3Q102,即log3Q103,解得Q1027,即Q270.所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要270个单位.10.如图,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,在五

8、边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,并求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.解析(1)如图,作PQAF于Q,所以PQ=8-y,EQ=x-4,在EDF中,EQPQ=EFFD,所以x-48-y=42,所以y=-12x+10,定义域为x|4x8.(2)设矩形BNPM的面积为S,则S(x)=xy=x10-x2=-12(x-10)2+50,所以S(x)是关于x的二次函数,且其图象开口向下,对称轴为直线x=10,所以当x4,8时,S(x)单调递增,所以当x=8时,矩形BNPM的面积取得最大值,最大值为48平方米.

9、B组提升题组1.某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车,在A地的销售利润(单位:万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位:辆),若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是() A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元答案C设总利润为y万元,公司在A地销售该品牌的汽车为x辆,则在B地销售该品牌的汽车为(16-x)辆,所以可得利润y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-0.1x-2122+0.12124+32.因为x0,16且xN,所以当x=10或11时,能

10、获得最大利润,且最大利润为43万元.2.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边的夹角为60(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为93平方米,且高度不低于3米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小),则防洪堤的腰长x=.答案23解析根据题意知,93=12(AD+BC)h,其中AD=BC+2x2=BC+x,h=32x,所以93=12(2BC+x)32x,得BC=18x-x2,由h=32x3,BC=18x-x20,得2x6,所以y=BC+2x=18x+3x2(

11、2x6),y=18x+32x218x3x2=63,当且仅当18x=3x2,即x=23时取等号.3.(2019河北唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车,售价为14.4万元,购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元,同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%),则大约使用年后,用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元.答案4解析设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元,依题意可得,14.4(1-0.9x)+2.4x=14.4,化简得x-60.9x=0.令f(x)=x-60.9x,易得f(x)为单调递增函数,又f(3)=-1.3740,所以函数f(x)

12、在(3,4)上有一个零点.故大约使用4年后,用在该车上的费用达到14.4万元.4.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4x20时,v是x的一次函数,当x达到20尾/立方米时,因缺氧等原因,v的值为0千克/年.(1)当0x20时,求函数v关于x的函数解析式;(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值.解析(1)由题意得当0x4时,v=2;当4x20时,设v

13、=ax+b,a0,显然v=ax+b在4,20内是减函数,由已知得20a+b=0,4a+b=2,解得a=-18,b=52,所以v=-18x+52,故函数v=2,0x4,-18x+52,4x20.(2)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得f(x)=2x,0x4,-18x2+52x,4x20,当0x4时,f(x)为增函数,故f(x)max=f(4)=42=8;当4x20时, f(x)=-18x2+52x=-18(x2-20x)=-18(x-10)2+252, f(x)max=f(10)=12.5.所以当0x20时, f(x)的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为12.5千克/立方米.6