全等三角形经典例题

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1、数学期末考试范围：数学期末考试范围：七七下：下：第第3,4,5,63,4,5,6章章 （整式的乘除、因（整式的乘除、因式分解、分式、数据与统计图表）式分解、分式、数据与统计图表）八八上上：第第1 1章（三角形的初步知识）章（三角形的初步知识）第第2 2章（章（2.12.32.12.3）（等腰三角）（等腰三角形的性质为止）形的性质为止）全等三角形全等三角形如如图，图，BE=CDBE=CD，1=21=2，则，则AB=ACAB=AC吗？为什吗？为什么？么？BD=CEBD=CE吗吗?6.如图，如图，CDAB于于D，BEAC与与E，BE、CD交于交于O，且，且AO平分平分BAC，求证：，求证：OB=OC

2、图中有几对全等三角形图中有几对全等三角形?如图，已知如图，已知RtABC RtADE，ABCADE90，BC与与DE相交于点相交于点F，连接，连接CD，EB.21(1)图中还有几对图中还有几对全等三角形；全等三角形；(2)求证：求证：CFEF.ABCP条件：条件：AP平分平分BAC，PBAB，PCAC0112()34=90()结结论论：角角平平分分线线的的意意义义；垂垂直直的的意意义义；2()()PBPC 结结论论：角角平平分分线线的的性性质质定定理理角角平平分分线线上上的的点点到到角角两两边边的的距距离离相相等等3 ()5=6()PABPACABAC结结论论：全全等等三三角角形形的的对对应应

3、边边相相等等全全等等三三角角形形的的对对应应角角相相等等123456ABDCPO条件：条件：CD是线段是线段AB的中垂线的中垂线1;()AOBO CDAB结结论论：中中垂垂线线的的意意义义；2()PAPB 结结论论：中中垂垂线线的的性性质质定定理理；312;34()PAOPBO 结结论论：；全全等等三三角角形形的的对对应应角角相相等等1234要修建一个超市要修建一个超市P，要满足三个村庄，要满足三个村庄A、B、C都到超市的距离相等都到超市的距离相等(村庄的位置形成一个三村庄的位置形成一个三角形角形)，请问如何确定这个超市的位置，说明，请问如何确定这个超市的位置，说明理由？理由？ABCPP如如图

4、图：点点 为为所所求求位位置置3、有三条笔直的公路a,b,c，要修建一个水电站O，使点O到三条公路的距离相等.这样的点这样的点有几个？有几个？各内角与外角的角平分线各内角与外角的角平分线 4个个6 6、作图，你能否找出一个点，使作图，你能否找出一个点，使它到线段它到线段ABAB两端点的距离相等，并两端点的距离相等，并且到且到CODCOD两边的距离也相等两边的距离也相等CDOAB试说明：试说明：三三角形角平分线的交点到三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等角形三边的距离相等若若三角形三条边边长分别为三角形三条边边长分别为a,b,ca,b,c，三条角平分线的交点到三角形三条边三条角平分线的交点

5、到三角形三条边的距离为的距离为r r，则三角形的面，则三角形的面积积为为_rcba)(21 手拉手模型手拉手模型常见图形常见图形5(背靠背背靠背)例例3：把两个含有把两个含有45角的直角三角板如图角的直角三角板如图1放置，点放置，点D在在BC上，连结上，连结BE，AD，AD的延长线交的延长线交BE于点于点F求证求证：(1)BE=AD；(2)AFBEAFBCED变形_1:以点A为顶点作二个等腰直角等腰直角三角三角形形（ABC，ADE），如图所示，连接BD，CE（1）求证：BD=CE（2）求BFC的度数如图,已知中,BE,CF都是的高,P是BE上一点且BP=AC,Q是CF延长线上一点且CQ=AB,

6、连接AP,AQ,QP,求证:以点以点A为顶点作为顶点作二二个个等边三角形等边三角形（ABC，ADE），连接），连接CD，连接，连接BE.有有哪些结论？哪些结论？变形_2:：以点A为顶点作二个等边三角等边三角形形（ABC，ADE），连接CD，连接BE.（1）求证：BD=CE（2）求BFC的度数已知如图，已知如图，ABC与与EDC都是等边三角都是等边三角形，且形，且ADE在同一条直线上，若在同一条直线上，若DBE86 则则ADB A EDC B例三：已知在已知在ABC中，中，AB=AC，在，在ADE中，中，AD=AE，且，且1=2，请问，请问BD=CE吗？吗？21图13如图（如图（1 1），等边）

7、，等边ABCABC 中，中，D D是是ABAB边上的动点，边上的动点，以以CDCD为一边，向上作等边为一边，向上作等边DECDEC ，连结，连结AEAE。1 1）试说明）试说明AEAEBCBC的理由的理由 3 3）如图（）如图（2 2），将（），将（1 1）中点）中点D D运动到边运动到边BABA的延长的延长线上，所作仍为等边三角形。请问是否仍有线上，所作仍为等边三角形。请问是否仍有AEAEBCBC？证明你的猜想。？证明你的猜想。(1)E D C B A(2)E D C B A如图如图,已知在已知在ABC中中,ABAC,ABAC,BEBE,CFCF 都都是是ABC高高,P P 是是BEBE 上

8、上一点一点且且BPBP=ACAC,Q Q是是CFCF 延长线上一点且延长线上一点且CQCQ=ABAB,连接连接APAP,AQAQ,QPQP,求证求证:（1）AP=AQ;（2）APAQ.如图如图1313，已知，已知BAC=BAC=DAEDAE，1=1=2 2，BD=CEBD=CE，请说明，请说明ABDABDACEACE吗吗？为什么？为什么？如图，已知如图，已知ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BAC=90BAC=90，直角，直角EPFEPF的顶点的顶点P P是是BCBC中点，两边中点，两边PEPE、PFPF分别交分别交ABAB、ACAC于点于点E E、F F，给出以下四个结论：，给出以下

9、四个结论：(1)AE=CF(1)AE=CF；(2)(2)EPFEPF是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；(3)(3)；(4)(4)当当EPFEPF在在ABCABC内绕顶点内绕顶点P P旋转时旋转时EF=AP(EF=AP(点点E E不与不与A A、B B重合重合)。上述结论中始终正确的有。上述结论中始终正确的有()()ABCAEPFS21S四边形截长补短法作辅助线截长补短法作辅助线要证明两条线段之和等于第三条线段，可要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取以采取“截长补短截长补短”法。法。截长法截长法，即，即在较长线段上截取一段等在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段于两较

10、短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。等于另一段较短线段。补短补短法法，即把两短线段补成一条，再即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。证它与长线段相等。如如图，在四边形图，在四边形ABCD中，中，AB/DC，BE，CE分别平分分别平分ABC，BCD，且点，且点E在在AD上上.求证：求证：BC=AB+DC.常规结论有哪些：常规结论有哪些：如如图，在四边形图，在四边形ABCD中，中，AB/DC，BE，CE分别平分分别平分ABC，BCD，且点，且点E在在AD上上.求证：求证：BC=AB+DC.如如图，图，ABC的两条角平分线的两条角平分线BD，CE交交于点于点O，A=60.求证：求证

11、：CD+BE=BC.在线段在线段BC取点取点F，使得，使得BF=BE，连结，连结OF。结论结论1：BOE BOF，需要证：需要证：CF=CD你能有哪些结论？你能有哪些结论？角平分线，构筝形角平分线，构筝形线段和差，截长补短线段和差，截长补短如如图，图，ABC的两条角平分线的两条角平分线BD，CE交交于点于点O，A=60.求证：求证：CD+BE=BC.在线段在线段BA或延长线上取点或延长线上取点H，使得，使得BH=BC，连结连结OH。结论：结论：BOH BOC要证：要证：EH=CD即即证：证：EOH DOC如如图，图，ABC的两条角平分线的两条角平分线BD，CE交交于点于点O，A=60.求证：求

12、证：CD+BE=BC.在线段在线段BA或延长线上取点或延长线上取点H，使得，使得CD=EH，连结连结OH。要证要证BOH BOC，已已有条件有条件BO=BO，HBO=CBO.原因：没有用到角平分线模型原因：没有用到角平分线模型如如图，图，ABC的两条角平分线的两条角平分线BD，CE交交于点于点O，A=60.求证：求证：CD+BE=BC.方法总结：方法总结：BE=BFBH=BC统一模型：角平分线统一模型：角平分线轴轴对称模型对称模型如如图，图，ABC的两条角平分线的两条角平分线BD，CE交交于点于点O，A=60.求证：求证：CD+BE=BC.想一想，你还有什么方法？想一想，你还有什么方法？提示：

13、利用角平分线性质定理提示：利用角平分线性质定理.例例7、已知：如图所示，、已知：如图所示，ABCD，PB和和PC分别分别平分平分ABC和和DCB，AD过点过点P，且与，且与AB垂垂直直求证：求证：PA=PDE在在ABC中，中，C=90，AD平分平分BAC，DEAB于于E，F在在AC上，且上，且CF=EB，求证：，求证：（1）BD=DF（2）AB+AF=2AE0ADBACDEABEDFA20ABD.CFBECFDAF如如图图：是是的的平平分分线线，于于，于于，且且已已知知，求求的的度度数数ADBCFE变：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于点E，ADC与ABC互补.求证：2AE=

14、AD+AB如如图，在图，在四边形四边形ABCD中，中，AC平分平分BAD，CEAB于点于点E，2AE=AD+AB.求求ADC+ABC的度数的度数.如图如图,在四边形在四边形ABCD中中,AC平分平分BAD,CEAB于点于点E,且且B+D=180.求证：求证：AE=AD+BE.F如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD的延长线上一点，且DF=BE.(1)求证：CE=CF;(2)若点G在AD上，且GCE=45，则GE=BE+GD成立吗？为什么？(变式)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，点F在AD上，且EF=BE+FD.求证：FC平分EFD.在在ABC中，中，AD平分平分BAC,A

15、B+BD=AC,求求B:C已知：如图，在ABC中，ABAC，1=2，P为AD上任一点 求证：AB-ACPB-PC。倍长中线倍长中线1 1.在在ABCABC中中,AB=8,AC=6,AB=8,AC=6,则则BCBC上的中线上的中线ADAD的的取值范围取值范围.A AB BC CDE1.有两边和第三边上中线对应相等的两个三角形全等。.1.已知：如图，在和中，和是和上的中线，且求证：ABCA B CABA BACA CADA DBCB CADA DABCA B C 2.已知：如图AC=BD，CAD=CDA，AE是ACD的中线.求证：B=CAE 变式：如图，在ABC中，BD=CD=AC，E是DC的中点

16、，求证：(1)AD平分BAE.(2)AB=2AE3.如图，在四边形ABCD中，AD/BC，E是CD的中点，连结AE，BE，BEAE.求证：AB=BC+AD.4.已知：如图，AD为ABC的中线，ADB，ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F求证：BE+CFEF5.如图，已知在ABC中，ACB=90，AC=BC，BD平分ABC交AC于点D，AEBD交BD的延长线于点E.求证：BD=2AE.F(1)如图如图1：在四边形：在四边形ABCD中，中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F分别是分别是BC，CD上的点且上的点且EAF=60探究图中线段探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系之

17、间的数量关系(2)如图如图2，若在四边形，若在四边形ABCD中，中，AB=AD，B+D=180E，F分别是分别是BC，CD上上的点，且的点，且EAF=BAD，上述结论是否，上述结论是否仍然成立，并说明理由；仍然成立，并说明理由；三垂直三垂直P31 EX17P31 EX17（1）如图甲所示，在）如图甲所示，在ABC中，中，BAC=90，AB=AC，直线直线m经过点经过点A，BD直线直线m，垂足为垂足为D，CE直线直线m，垂垂足为足为E.证明：证明：DE=BD+CE.(2)如图乙所示，将第（如图乙所示，将第（1）题中的条件改为）题中的条件改为在在ABC中，中，AB=AC，D，A，E三点都在直三点都

18、在直线线m上，并且有上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中其中为任意锐角为任意锐角.请问结论请问结论DE=BD+CE是否是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由说明理由.P31 EX16P31 EX16如图，过正方形如图，过正方形ABCD的顶点的顶点B作直线作直线L，过过A，C，D作作L的垂线垂足分别为点的垂线垂足分别为点E，F，G若若AE=2，CF=6，则，则CF+AE+DG的值为的值为 P30 EX12P30 EX12如图，如图，在在ABC中，中，C=90，P、E分分别是边别是边AB、BC上的点，上的点，D为为ABC外一外一点点，DEBC，

19、DE=EC，BE=2EC，BDE=PEC，ADPE，AC=4，则，则线段线段BC的的长为长为 。如图，如图，AEAB且且AE=AB，BCCD且且BC=CD，那么，按照图中所标注的数据，那么，按照图中所标注的数据，图中实线所围成的图形面积为图中实线所围成的图形面积为_练习练习3 3：如：如图图.ACB=90ACB=90，AC=BCAC=BC，BECEBECE，ADCEADCE，垂足分别为垂足分别为E E，D D，图中图中有哪条线段与有哪条线段与ADAD相等，并说明理由。相等，并说明理由。BEACD如图，在等腰如图，在等腰RtABC中，中，ACB=90，AC=BC，D为为BC的中点，过点的中点，过点B作作BFBC，并，并使使BF=BD，连接，连接CF交交AB于于E(1)BDE=ADC；(2)连接连接AF，试判断，试判断AF与与CF的大小关系，并说明的大小关系，并说明理由理由如图，如图，ABC=90，AB=AC，D是是AC上一点，分别过上一点，分别过A、C作作BD的垂线，垂足的垂线，垂足分别为分别为E、F，求证：，求证：EF=CFAE3已知已知ABC为正三角形，点为正三角形，点M是射线是射线BC上上任意一点，点任意一点，点N是射线是射线CA上任意一点，且上任意一点，且BM=CN，直线，直线BN与与AM相交于点相交于点Q求求BQM等于多少度等于多少度ABQCMNMABQCNABCMNQ