截面的几何性质学习教案

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1、会计学1截面的几何性质截面的几何性质第一页，编辑于星期二：三点 四十六分。附录 截面的几何性质-1 截面的静矩和形心位置 设任意形状截面如图所示。设任意形状截面如图所示。AySAxSAxAydd1.静矩（或面积的一次矩）静矩（或面积的一次矩）(常用单位：常用单位：m m3 3 或或mmmm3 3 。值：可为正、负或。值：可为正、负或 0 0。）。）2.形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得）形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得）AAyyAAxxAAd dO x d A yy xC xy第1页/共31页第二页，编辑于星期二：三点 四十六分。AAyyAAxxAAd d3.静矩与形心坐

2、标的关系静矩与形心坐标的关系yASxASxy 结论：截面对形心轴的静矩恒为结论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。，反之，亦然。4.组合截面的静矩组合截面的静矩整个截面对某轴的静矩应等于它的各组成部分对整个截面对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和同一轴的静矩的代数和:niiixniiiyyASxAS11 形心坐标）个简单图形的面积及其分别为第和iyxAiii,(第2页/共31页第三页，编辑于星期二：三点 四十六分。5.组合截面的形心坐标公式组合截面的形心坐标公式yASxASxy niiixniiiyyASxAS11 将将代入代入解得组合截面的形心坐标公式为：解得组合截面的

3、形心坐标公式为：niiniiiniiniiiAyAyAxAx1111 （注：被（注：被“减去减去”部分图形的面积应代入负值部分图形的面积应代入负值）第3页/共31页第四页，编辑于星期二：三点 四十六分。例例1 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴轴的静矩。的静矩。解：解：取平行于取平行于x轴的狭长条，轴的狭长条，)()(yhhbyb易求yyhhbAd)(d 因此所以对所以对x轴的静矩为轴的静矩为6d)(d20bhyyyhhbAyShAxO x y b(y)y d y h b AySAxd第4页/共31页第五页，编辑于星期二：三点 四十六分。例例2 2

4、求图示半径为求图示半径为r r的半圆形对其直径轴的半圆形对其直径轴x x的静矩及其形心坐标的静矩及其形心坐标y yC C。OCrxydAyCydy解：过圆心解：过圆心O O作与作与x x轴垂直的轴垂直的y y轴，在距轴，在距x x任意高度任意高度y y处取一个与处取一个与x x轴平行轴平行的窄条，的窄条，ydyrAd2223022322ryd)yr(yAdySrAx3423223r/r/rASyxC 方法方法1：直接积分法：直接积分法简单图形简单图形第5页/共31页第六页，编辑于星期二：三点 四十六分。解：将此图形分成解：将此图形分成I I、IIII、IIIIII三部三部分，以图形的铅垂对称轴

5、为分，以图形的铅垂对称轴为y y轴，过轴，过IIII、IIIIII的形心且与的形心且与y y轴垂直的轴线取为轴垂直的轴线取为x x轴轴，则，则例例3 3 求图示图形的形心。求图示图形的形心。150yCxOx1y120010yC300IIIIII10mm8.38)30010(2102000)30010(2)1505()10200(iiiAyAyCC由于对称知：由于对称知：x xC C=0=0mm0mm95)905(mm300030010 23,222yxA矩形矩形I I矩形矩形IIII、IIIIIImm15551500mm200020010 1121yxA第6页/共31页第七页，编辑于星期二：三

6、点 四十六分。例例4 试计算图示截面形心试计算图示截面形心C的位置。的位置。解：将截面分为解：将截面分为I、II两个矩形。两个矩形。建立坐标系如图示。建立坐标系如图示。各矩形的面积和形心坐标如下：各矩形的面积和形心坐标如下：mm602120mm5210mm120012010 1121yxAmm5210mm4527010mm7007010 2222yxAO x y y1 120 10 x x 80 10 y C(y,x)矩形矩形I矩形矩形II第7页/共31页第八页，编辑于星期二：三点 四十六分。代入组合截面的形心坐标公式代入组合截面的形心坐标公式21212121 iiiiiiiiiiAyAyAx

7、Ax解得：解得：mm40mm20yx 方法方法2：分组叠加法：分组叠加法 O x y y1 120 10 x x 80 10 y C(y,x)矩形矩形I A A1 1=70=70 110=7700mm110=7700mm2 2x x1 1=45mm,=45mm,y y1 1=65mm=65mm矩形矩形II A A2 2=80=80 120=9600mm120=9600mm2 2x x1 1=40mm,=40mm,y y1 1=60mm=60mmmm40mm20yx 方法方法3：负面积法：负面积法第8页/共31页第九页，编辑于星期二：三点 四十六分。I2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 设任意形状截面

8、如图所示。设任意形状截面如图所示。1.1.极惯性矩（或截面极惯性矩（或截面二次极矩）二次极矩）AIAd2p2.惯性矩（或截面二次惯性矩（或截面二次轴矩）轴矩）AyIAxIAxAydd22（为正值，单位（为正值，单位m4 或或 mm4)222xy 由于所以所以IIAxyAIyxAAd)(d222p（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）两正交坐标轴的惯性矩之和。）O x y y x d A 第9页/共31页第十页，编辑于星期二：三点 四十六分。3.惯性积惯性积AxyIAxyd（其值可为正、负或（其值可

9、为正、负或0，单位单位:m4 或或 mm4)（3 3）惯性半径）惯性半径AIiAIixxyy（单位（单位m 或或 mm）O x y y x d A （1 1）若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称）若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为轴的一对正交轴的惯性积为零零；（2 2）惯性矩、惯性积和极惯性矩均为）惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩面积的二次矩 特点特点第10页/共31页第十一页，编辑于星期二：三点 四十六分。例例5 5 试计算图试计算图a所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x和和y的惯性矩和惯性积。的惯性矩和惯性积。解：解

10、：取平行于取平行于x轴的狭长条，轴的狭长条，则则 dA=b dy12dd32222bhybyAyIhhAx同理同理123hbIyy h C x d y y b(a)因为因为x x、y y轴皆为对称轴，故轴皆为对称轴，故I Ixyxy=0=0第11页/共31页第十二页，编辑于星期二：三点 四十六分。例例6 试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的惯性惯性矩。矩。xdy yx解：解：由于圆截面有极对称性，由于圆截面有极对称性，IIyx所以所以IIIyxp由于所以所以6424pdIIIyxAyIAxd2ydyrAd222dyy2/2/2222ddxdyyr

11、yI644d第12页/共31页第十三页，编辑于星期二：三点 四十六分。-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积1.1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 1.1.公式推导公式推导OxyCdAxCyCabyxxCyCAaIAayAaIAaAyaAyAayAyIccxcxAAcAcAcAx2222222dd2dddAaII2xxC AbII2yyC 同同理理：y=yy=yc c+a+ax=xx=xc c+b+b第13页/共31页第十四页，编辑于星期二：三点 四十六分。b b和和a a是图形的形心是图形的形心C C在在OxyOxy坐标系中的坐标，所以它们是有

12、坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。正负的。3.3.注意注意：x xC C、y yC C轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性矩最小；矩最小；2.平行移轴公式平行移轴公式abAIIAbIIAaIICCCCyxxyyyxx22n1iin1iin1iixyxyyyxxIIIIII，二、组合图形的惯性矩：二、组合图形的惯性矩：组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和第14页/共31页第十五页，编辑于星期二：三点

13、四十六分。例例7 7 求图示直径为求图示直径为d d的半圆对其自身形心轴的半圆对其自身形心轴x xc c的惯性矩的惯性矩解：解：（1）求形心坐标）求形心坐标222)(yRyb12d2d)(d3222020dyyRyyybyAySddAx3281223dddASyxcxyb(y)yc Cdxc 第15页/共31页第十六页，编辑于星期二：三点 四十六分。（2）求对形心轴）求对形心轴xc的的惯性矩惯性矩12826444ddIx181288)(4422dddyIIcxxc由由平行移轴公式得：平行移轴公式得：xyb(y)yc Cdxc 第16页/共31页第十七页，编辑于星期二：三点 四十六分。例例8 试

14、求图试求图a 所示截面对于对称轴所示截面对于对称轴x的的惯性矩。惯性矩。解：将截面看作一个矩形和两解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。个半圆组成。（1）矩形对）矩形对x的的惯性矩：惯性矩：44331mm1053331220080122adIx（2）一个半圆对其自身形）一个半圆对其自身形心轴心轴xc的的惯性矩（见上例）惯性矩（见上例）181288)(4422dddyIIcxxcx y C(a)d=80 40 100 a=100 40 a+2d 3 第17页/共31页第十八页，编辑于星期二：三点 四十六分。（3）一个半圆对）一个半圆对x的的惯性矩：惯性矩：由由平行移轴公式得：平行移轴公式得：44

15、222222mm103467322324832adaddddaIIcxx（4）整个截面对于对称轴）整个截面对于对称轴x的的惯性矩：惯性矩：444421mm101227010346721053332xxxIII第18页/共31页第十九页，编辑于星期二：三点 四十六分。问题？问题？x y C(a)d=80 40 100 a=100 40 a+2d 3 x x1 182212daIIxx每个组合图形的形心惯性矩对每个组合图形的形心惯性矩对新坐标的惯性矩的代数和！新坐标的惯性矩的代数和！注意：注意：第19页/共31页第二十页，编辑于星期二：三点 四十六分。思考思考 2.2.已知矩形截面对已知矩形截面对

16、x x1 1轴的惯性矩轴的惯性矩I Ix1x1=bh=bh3 3/3/3，x x2 2与与x x1 1轴平行，二者之间的距离为轴平行，二者之间的距离为a a，求矩形截面对轴求矩形截面对轴x x2 2的惯性矩。的惯性矩。y h C x2 b x1 a解法一：解法一：直接用直接用Ixc计算对计算对x2轴的惯性矩轴的惯性矩123bhIxc22haaxca2 bhhabhAaIIxcx23222)2(12)33(32abahhbhAayAaIAayAyIcxAAx212222dd1解法二：解法二：用平行移轴定理用平行移轴定理bhabhhabh23)2(23作业：作业：I-1d I-3a 第20页/共3

17、1页第二十一页，编辑于星期二：三点 四十六分。yy1y0C0Caz0 x第21页/共31页第二十二页，编辑于星期二：三点 四十六分。-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩1.1.惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式 任意面元任意面元dA 在旧坐标系在旧坐标系oxy和新坐标系和新坐标系ox1y1的关系为：的关系为：sincossincos11xyyyxx代入代入惯性矩惯性矩的定义式：的定义式：AyIAxd211dAy1x1y1x1 yx DEBACOxy第22页/共31页第二十三页，编辑于星期二：三点 四十六分。cossin2sincos dcossin2 dsin

18、dcos2222221xyyxAAAxIIIAxyAxAyI 利用二倍角函数代入上式，得利用二倍角函数代入上式，得转轴公式转轴公式：2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIII第23页/共31页第二十四页，编辑于星期二：三点 四十六分。注：注：上式中的上式中的 的符号为：从旧轴的符号为：从旧轴x至新轴至新轴x1逆时针为逆时针为正，顺时针为负。正，顺时针为负。yxyxIIII11（上式表明，截面对于通过同一点的任意一对（上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，相互垂

19、直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩并等于截面对该坐标原点的极惯性矩 ）将前两式相加得将前两式相加得 第24页/共31页第二十五页，编辑于星期二：三点 四十六分。由惯性积的转轴公式可知，当坐标轴旋转时，惯性由惯性积的转轴公式可知，当坐标轴旋转时，惯性积将随着积将随着 角作周期性变化，且有正有负。因此，必角作周期性变化，且有正有负。因此，必有一特定的角度有一特定的角度 0，使截面对于新坐标轴，使截面对于新坐标轴x0、y0的惯的惯性积等于零。性积等于零。2.2.截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩(1)主惯性轴主惯性轴:截面对其惯性积等于截面对其惯性积等于

20、0的一对坐标轴。的一对坐标轴。(2)主惯性矩主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。截面对于主惯性轴的惯性矩。(3)形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时。形心重合时。(4)形心主惯性矩形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。截面对于形心主惯性轴的惯性矩。第25页/共31页第二十六页，编辑于星期二：三点 四十六分。(5)确定确定主惯性轴主惯性轴的位置的位置 设设 0 0是旧轴是旧轴x 逆时针转向逆时针转向主惯性主惯性轴轴x0的角度，则由的角度，则由惯惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得02cos2sin2

21、00 xyyxIII可改写为可改写为yxxyIII22tan0（注：将负号置于分子上有利于确定（注：将负号置于分子上有利于确定2 0 0角的象限）角的象限）第26页/共31页第二十七页，编辑于星期二：三点 四十六分。(6)几个结论几个结论若截面有一根对称轴，则此轴即为形心若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性主惯性轴之一，另一轴之一，另一形心形心主惯性轴为通过形心并与主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。对称轴垂直的轴。若若截面有二根对称轴，则此二轴即为形心截面有二根对称轴，则此二轴即为形心主主惯性轴。惯性轴。若若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均

22、为形心形心主惯性轴，且主惯性矩相等。主惯性轴，且主惯性矩相等。第27页/共31页第二十八页，编辑于星期二：三点 四十六分。12010101070例例I-7 计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩IIIIIIICxyy0 x0 0图形的对称中心图形的对称中心C为形心，在为形心，在C点建立坐标系点建立坐标系xCy如图如图将整个图形分成将整个图形分成I、II、III三个矩形，如图三个矩形，如图整个图形对整个图形对x、y轴的惯性矩和惯性积分别为轴的惯性矩和惯性积分别为IIIxIIxIxxIIII 2)1060()560(12106023 46mm1008.5 1212

23、0103 46IIIyIIyIyymm1084.1IIII 46IIIxyIIxyIxyxymm1031.2IIII 426.1III22tgyxxy0 2827o0 minymaxx0oyx0IIIIx2827xII4/000 ，转到主轴转到主轴轴逆时针旋转轴逆时针旋转自自，46462xy2yxyxminmaxmm1064.0mm1028.6I2II2IIII形心主惯形心主惯性矩大小性矩大小第28页/共31页第二十九页，编辑于星期二：三点 四十六分。x y C 10 b 10 b 40 120 a 20 80 C C a 例：试计算截面的形心主例：试计算截面的形心主惯性矩。惯性矩。解：作与上

24、、左边解：作与上、左边平行的形心坐标轴平行的形心坐标轴xcyc。（1）求形心坐标：）求形心坐标：),(、),(baba（2）求对自身形心轴的）求对自身形心轴的惯性矩惯性矩。、,、2211ccccyxyxIIII（3）由）由平行移轴公式平行移轴公式求整个截面的求整个截面的、ccyxycxcIII第29页/共31页第三十页，编辑于星期二：三点 四十六分。xc0 yc0 =113.8（4）由转轴公式得）由转轴公式得093.122tan0ccccyxyxIII8.113 6.2272004422maxmm103214212 0IIIIIIIcccccccyxyxyxx4422minmm104.574212 0IIIIIIIcccccccyxyxyxyx y C 10 b 10 b 40 120 a 20 80 C C a 第30页/共31页第三十一页，编辑于星期二：三点 四十六分。