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1、21.2.4 一元二次方程的根与系数 的关系方程x1x2x1+x2x1 x2x2-2x=0 x2-3x-4=0 x2-5x+6=0填表问题：你发现什么规律？用语言叙述你发现的规律；x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律。根与系数关系根与系数关系 20px qx 如果关于如果关于x的方程的方程的两根是的两根是 ,则则:x1x2pxx 21qxx 21如果方程二次项系数不为如果方程二次项系数不为1 1呢呢?的系数有何关系？的值与方程你能看出的值试求出为的两根设方程2121212121200 xxxxxxxxxxacbxax,.,)(一元二次方程根与系数关系的证明：一元二次方程根与
2、系数关系的证明：aacbbx2421aacbbx2422x1+x2=aacbb242aacbb242+=ab22=ab-x1 x2=aacbb242aacbb242=242)42(2)(aacbb=244aac=ac一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1,x2 ,那么x1+x2=x1 x2=ab-ac（韦达定理）（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项于二次项系数的比。积等于常数项于二次项系数的比。例4、根据一元二
3、次方程的根与系数的关系，求下列方程的x1，x2的和与积 (1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2课本16页练习四道例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 ,x2 。求：(1)(2)x12+x222111xx解：由题意可知x1+x2=-,x1 x2=-332(1)2111xx=2121xxxx=332=92(2)(x1x2)2 x12+x22 2x1x2x12+x22(x1x2)2-2x1x2(-)232-2(-3)694变式变式 练习：练习：设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。)1)(1(21xx2112
4、xxxx（2）（1）（）（x1-x2）2例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k=-2由根与系数关系，得x123k 即 2 x1 6 x1 3答：方程的另一个根是3 ,k的值是2。例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解二：设方程的另一个根为x1.由根与系数的关系，得x1 2=k+1x1 2=3k解这方程组，得x1=3 k=2答：方程的另一个根是3 ,k的值是2。1、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根
5、及m的值。2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：设方程的另一个根为x1,319则x1+1=,x1=,316又x11=,3m m=3x1=16 解：由根与系数的关系，得x1+x2=-2,x1 x2=23(x1+1)(x2+1)=x1 x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=23251、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=21k23k12342)21(kk解得k1=9,k2=-
6、3当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。解：由方程有两个实数根，得0242)1(4kk即-8k+4021k由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由x12+x22=4，得2k2-8k+44解得k1=0 ,k2=4经检验，k2=4不合题意，舍去。k=0归纳小结：归纳小结：通过本节课的学习你学到了那些知识？通过本节课的学习你学到了那些知识？一元二次方程根与系数的关系（一元二次方程根与系数的关系（韦达定理韦达定理）：）：两根的和等于一次项系数与二次两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于项系数的比的相反数，两根的积等于常数项于二次项系数的比。常数项于二次项系数的比。
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