函数的奇偶性的经典总结

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1、函数的奇偶性一、 函数奇偶性的基本概念1 偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一种，均有，那么函数就叫做偶函数。2. 奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任一种，均有，那么函数就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，一方面看定义域与否有关原点对称，不有关原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是有关原点对称的，再判断 之一与否成立。（2）在判断与的关系时，只需验证及=与否成立即可来拟定函数的奇偶性。题型一 判断下列函数的奇偶性。，（2） （3）(4) (5) (6) (7) ，(8)提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和某些性质来判断（1）判断上述函数的奇偶性的措施就是用定义。 （2

2、）常用的奇函数有：，（3）常用的奇函数有：， （4）若、都是偶函数,那么在与的公共定义域上，+为偶函数，为偶函数。当时，为偶函数。（5）若，都是奇函数，那么在与的公共定义域上，+是奇函数，是奇函数，是偶函数，当0时，是偶函数。 （6）常函数是偶函数，0既是偶函数又是奇函数。（7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一种奇函数与一种偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数；若为偶函数, 为奇（偶）函数，则都为偶函数；若为奇函数，为奇函数,则为奇函数;若为奇函数，为偶函数,则为偶函数. 题型二 三

3、次函数奇偶性的判断已知函数，证明：（1）当时，是偶函数（2）当时，是奇函数提示：通过定义来拟定三次函数奇偶性中的常用题型，如，当，是偶函数；当，是奇函数。题型三 运用函数奇偶性的定义来拟定函数中的参数值1函数是偶函数，定义域为，则 2设是定义在上的偶函数，则的值域是 3 已知是奇函数，则的值为 14已知是偶函数，则的值为 1提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，。（2） 由于是填空题，因此还可以用。（3） 还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。题型四 运用函数奇偶性的对称1下列函数中为偶函数的是（ B ）A B C D2下列函数中，既不是奇函数

4、，也不是偶函数的是A A B C D3下列函数中，为偶函数的是（ C ）A B C D4函数的图像有关（ C ）A轴对称 B 直线对称 C 坐标原点对称 D 直线对称5已知函数是上的奇函数，且，则=-46已知函数是上的偶函数，则，则=-3提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，。(2) 奇函数有关原点对称，偶函数的图像有关轴对称。(3) 在原点有定义的奇函数必有。（4） 已知函数是上的奇函数，则有关点对称。(5)已知是偶函数，则有关直线对称。题型五 奇偶函数中的分段问题1设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则-3 2已知是奇函数，且当时，求时，的体现式。3已知函数是定义在上的奇函数

5、，当时，则=-454已知是偶函数，当时，求 5设偶函数满足，则=提示：（1）已知奇函数，当，则当时，。（2）已知偶函数，当，则当时，。类型六 奇函数的特殊和性质1已知函数，求的和为42已知，且，则=03已知，=_-26_4已知函数，若，则()提示：已知满足，其中是奇函数，则有。题型七 函数奇偶性的结合性质1设、是上的函数，且是奇函数，是偶函数，则结论对的的是.是偶函数 .|是奇函数.|是奇函数 .|是奇函数2设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A是偶函 B是奇函数C|是偶函数 D|是奇函数3设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且,求和的解析式, ，。 提示：（1）已

6、知是奇函数，则是偶函数。（2）已知是上的函数，且也是上的偶函数和也是上的奇函数，满足，则有，。题型八 函数的奇偶性与单调性1下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）A B C D2下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A），xR （B），xR且x0（C），xR （D），xR3设，则（ B ）A既是奇函数又是减函数 B既是奇函数又是增函数C有零点的减函数D没有零点的奇函数4设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）5已知偶函数在单调递减，若，则的取值范畴是.6已知偶函数在区间单调增长，则满足的取值范畴是提示：（1）已知是奇函数，且在上是增（减）函数，则在上也是

7、增（减）函数。（2） 已知是偶函数，且在上是增（减）函数，则在上也是减（增）函数。（3） 已知是偶函数，必有。题型九 函数的奇偶性的综合问题1已知函数,当时，恒，且，又（1）求证：是奇函数；（2）求证：在R上是减函数；（3）求在区间上的最值。最大值1，最小值-3。2设，且有，求的取值范畴。练习题一、判断下列函数的奇偶性（1） （2） （3） （4） （5）（5）（6）(7) (8)（9），(10)，(11)，(12) (13) ，(14)，(15)，(16),(17)二、运用函数的奇偶性求参数的值1若函数是偶函数，求的值。02若函数是奇函数，求的值。43函数是奇函数，定义域为，则的值是 9 4

8、若是奇函数，则 5若函数为偶函数，则实数_0_.6设函数是偶函数，则实数_-1_7若函数是奇函数，则a= .8若为奇函数,则实数_-2_.9若函数为偶函数，则 1 10若是偶函数，则_.三、 函数奇偶性定义的应用1函数y=的图像A（A）有关原点对称 （B）有关直线对称（C）有关轴对称（D）有关直线对称2已知函数，则 （B ） A. B.为偶函数 C. D.不是偶函数3若是偶函数，则（为常数） ( A ) A.是偶函数 B.不是偶函数 C.是常数函数 D.无法拟定是不是偶函数4函数=则为 （ B ） A.偶函数 B.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数5已知为奇函数，则

9、为 （ A ） A奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数6已知点是偶函数图像上一点，则等（B ）A.-3 B.3 C.1 D.-17若点在奇函数的图象上，则等于（D）A.0 B.-1 C.3 D.-38已知是奇函数,且.若,则_-1_ .9设是定义在上的一种函数，则函数，在上一定是（ A ）A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数10设是上的奇函数，且的图象有关直线对称，则011已知偶函数的图像有关直线对称，则_3_.12设函数对于任意均有，求证：是奇函数。13已知，函数为奇函数，则 -1 ， -7 14已知奇函数的，且方程仅有三个根，则的

10、值 015 设函数是上为奇函数，且，在的值16已知偶函数，求的个数717 已知偶函数，求的个数9四、 函数奇偶性的性质1已知是偶函数，且，则的值为12已知，则的值43已知其中为常数，若，则的值等于( -10 )4已知，则的值 -45已知，则的值 -46已知，则的值 67已知函数，则（ ）8已知函数9已知函数，则10设函数的最大值为，最小值为，则=_2_11已知函数是定义在上的奇函数，当时，则 11在上的奇函数和偶函数满足(0,且).若，则= 12若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ D ）AB C D13若函数为上的偶函数，且当时，则 3 14函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数

11、，且对任意实数均有，则的值是0 15函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数均有，则的值是0 16若函数在上是奇函数,则的解析式为_.17设是上的奇函数，且当时，则当时_18已知定义在上的奇函数，当时，那么时， .19函数在区间上的最大值为，最小值为，则 4 20奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则（ 1 ）21设定义在上的奇函数，满足，那么的值022已知函数是上的偶函数，当，均有，且当时，则有的值 1五、函数奇偶性和单调性的应用1已知函数是偶函数，则的递减区间是 2设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）3已知函数，则（A）是偶函数，且在R上是增函数（B）是奇函数，且在

12、R上是增函数（C）是偶函数，且在R上是减函数（D）是奇函数，且在R上是减函数4已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为5已知是定义在R上的偶函数，且.若当 时，则 .6已知偶函数在单调递减，若，则的取值范畴是.7已知偶函数在区间单调增长，则满足的取值范畴是8若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ D ）A BC D9设偶函数满足，则 10已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，若，则的取值范畴是_11已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范畴是（ ）12已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记 ，则 的大小关系为13是定义在上的偶函数，在上是减

13、函数，且，则使得的的取值范畴是14已知函数是偶函数，在上单调递减，则的单调递增区间是15 已知函数是偶函数，在上单调递减，则的单调递减区间为16已知都是奇函数，如果的解集是，的解集为，则的解集为17 已知函数是上的偶函数，且在上是增函数，令，则的大小，18已知函数是上的奇函数，若当时，则满足的解集，19设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）20设是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范畴是 21函数是R上的偶函数，且在上单调递增，则下列各式成立的是（ B）A BC D22 R上的偶函数满足：对任意的，有.则A.（A） (B) (C) (D) 23设函数，

14、则是（ A ）A奇函数，且在上是增函数 B奇函数，且在上是减函数C偶函数，且在上是增函数 D偶函数，且在上是减函数24已知函数，则A在（0,2）单调递增B在（0,2）单调递减Cy=的图像有关直线x=1对称Dy=的图像有关点（1,0）对称25函数在单调递减，且为奇函数若，则满足的的取值范畴是26函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集。 27已知是奇函数并且是上的单调函数，若函数只有一种零点，则函数的最小值是（5 ）28已知定义在上的奇函数，满足,且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根,则-829 已知函数，求的解集 30已知上的奇函数，求的解集为六、函数奇偶性综合应用1已知函

15、数是定义在上的奇函数，当时，。若,则实数的取值范畴为2已知函数 是偶函数，且在上单调递增（）求的值，并拟定的解析式； （），求的定义域和值域 答案：（），；（）3已知函数的定义域为，且同步满足下列条件：（1）是奇函数；（2）在定义域上单调递减；（3）求的取值范畴。4已知函数的定义域为，且对任意，均有，且当时，恒成立，证明：（1）函数是上的减函数；（2）函数是奇函数。5已知定义在上的奇函数满足(1)求的值；0 (2)求证：函数的图像有关直线对称；(3)若在区间0,2上是增函数，试比较的大小6已知函数是奇函数，是偶函数.（1）求的值；（2）设，若对任意恒成立 ，求实数的取值范畴.7已知函数.（1）

16、求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性；（3）当时，求函数的值域.8已知函数是定义域为的奇函数.（1）求，的值；,（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范畴.9已知定义域为的函数是奇函数（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性并证明；（3）若对任意恒成立，求的取值范畴10已知函数的图像有关原点对称（1）求的值；（2）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范畴11已知定义在上的函数是奇函数求的值；若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范畴12设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性； （2）求的最小值。13 已知函数（）是奇函数，且在上是增函数，（1） 求的值；（2）当时，讨论函数的单调性。14函数的定义域为，若与都是奇函数，则( D )(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数