毕业论文：积分中值定理的推广及应用

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1、毕业论文：积分中值定理的推广及应用 海 南 大 学毕 业 论 文设计题 目积分中值定理的推广及应用 学 号 姓 名 年 级 学 院信息科学技术学院 系 别数学系 专 业信息与计算科学 指导教师 完成日期 年 月 日 摘 要本论文讲述的主要内容是积分中值定理及其应用我们将它主要分为以下几个方面积分中值定理积分中值定理的推广积分中值定理中值点的渐进性积分中值定理的应用我们讨论了定积分中值定理第一积分中值定理第二积分中值定理而且还给出了这些定理的详细证明过程在此基础上我们还讨论了在几何形体上的黎曼积分第一中值定理它使得积分中值定理更加一般化此情形对于讨论一般实际问题有很显著作用在积分中值定理的推广方

2、面我们由最初的在闭区间讨论函数的积分中值定理情形转换为在开区间上讨论函数上的积分中值定理这个变化对于解决一些实际的数学问题更为方便不仅如此我们还将几何形体上的黎曼积分第一中值定理推广到第一第二曲线型积分中定理和第一第二曲面型积分中值定理情形有关点的渐进性我们对第一积分中值定理的点的做了详细的讨论给出详细清楚的证明过程而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形其它证明过程只做简要说明对于应用我们给出了一些较简单的情形如估计积分值求含有定积分的极限确定积分号比较积分大小证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明关键词积分中值定理推广 应用渐进性AbstractTh

3、e main content of this paper are the mean-value theorem and its application it will be mainly divided into the following respects integral mean-value theorem the generalation of integral mean-value theorem the asymptotic property of the intermediate point of integral median point the application of

4、integral mean-value theoremWe have discussed the definite integral mean-value theorem the first mean value theorem the second integral mean-value theorem and have given a detailed proof of these theorems process On this basis we also have discussed the Riemann first integral mean-value theorem on th

5、e geometry It makes the integral mean-value theorem is more general the case has a significant role in the discussion of practical issues in generalIn the promotion of integral mean value theorem we have discussed the integral mean-value theorem of function in the initial closed interval in the case

6、 of discussing it in the open interval the change has more convenience in solving some practical mathematical problem In addition we will promote the Riemann first integral mean-value theorem on the geometry to the situation of the first and second type curve in integral theorem and The second type

7、surface integral mean-value theoremAbout the Progressive of point we have discussed the point of the mean-value theorem in detail and give clear proof of the process While the gradual issues of the second integral mean value theorem has been demonstrated one of these situations And the other process

8、 of proving has been expressed in briefAccording to applicationwe presented a simple situation for example estimate integral value solve the limits of definite integral define integral sign compare the magnitude of integral value prove the monotonic of function and Abel test and Dirichlet testKey wo

9、rds integral mean-value theorem promotion applyprogressive目 录1 引言12 积分中值定理的证明221 定积分中值定理222 积分第一中值定理323 积分第二中值定理324 几何形体上黎曼积分第一中值定理63 积分中值定理的推广931 定积分中值定理的推广932 定积分第一中值定理的推广933 定积分第二中值定理的推广1134 第一曲线积分中值定理1235 第二曲线积分中值定理1236 第一曲面积分中值定理1337 第二曲面积分中值定理144 第一积分中值定理中值点的渐进性165 第二积分中值定理中值点的渐进性206 积分中值定理的应用

10、2361 估计积分值2362 求含定积分的极限2463 确定积分号2464 比较积分大小2565 证明函数的单调性2566 证明定理257 结论29谢辞30参考文献311引言随着时代的发展数学也跟着时代步伐大迈步前进其中微积分的创立也极大地推动了数学的发展积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质出现在数学分析课程中的它在数学分析的学习过程占有很重要的地位并且对于后续课程的学习也起着较大作用在此我们就把积分中值定理及其应用清晰论述一下通常情况下积分中值定理包含第一积分中值定理第二积分中值定理而在此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理即在一个区间上的情形还讨论了在几何形体上二重三重积分的情形的积

11、分中值定理并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛比如物理学和数学我们将积分中值定理加以应用把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式数学中一些定理的证明数学定理命题几何应用含定积分的极限应用确定积分符号比较积分大小证明函数单调性估计积分值虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐但是我们任然可以把它当作一个基础定理解决一些现实问题此外在20世纪国内外定在有关积分中值定理的中间点渐进性质研究就已经有很显著的成就数学家们不但将较为简单的情况下一个区间上的情形论述第一第二积分中值定理的渐进性质论述透彻而且还加以推广包括有定积分中值定理的逆问题及其逆问题的渐近性第一曲线型积分

12、渐近性甚至还将积分线由有限改为无穷的情形他们将已有的定积分中值定理渐进性推导出的结果更为一般化本课题的研究过程为讨论和分析积分中值定理然后将其加以推广讨论各个积分中值定理中的中间点的渐进性质最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理推广渐进性将各方面的应用如估计积分值求含有定积分的极限确定积分号比较积分大小证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来2 积分中值定理的证明21 定积分中值定理定理1定积分中值定理如果函数在闭区间上连续则在区间上至少存在一个点使下式成立证明 因为f x

13、在ab上连续所以f x 在ab上有最大值M和最小值m即我们对不等式进行积可得 有积分性质可知 由于对不等式同时除以可得此式表明介于函数的最大值和最小值之间由闭区间上连续函数的介值定理在闭区间上至少存在一点使得函数在点处的值与这个数相等即应该有成立将上式两端乘以即可得到命题得证备注1很显然积分中值定理中公式 在与之间不论或都是成立的22 积分第一中值定理定理2第一积分中值定理如果函数在闭区间上连续在上不变号并且在上是可积的则在上至少存在一点使得成立证明由于在上不变号我们不妨假设并且记在上的最大值和最小值为和即将不等式两边同乘以可知此时对于任意的都有成立对上式在上进行积分可得此时在之间必存在数值使

14、得即有成立由于在区间上是连续的则在上必定存在一点使成立此时即可得到命题得证23 积分第二中值定理 定理3积分第二中值定理如果函数在闭区间上可积而在区间上单调则在上至少存在一点使下式成立 2-2特别地如果在区间上单调上升且 那么存在使下式成立 2-3如果在区间上单调下降且那么存在使下式成立 2-4证明由题设条件知在区间上都是可积的由积分性质可知也是可积的我们先证明2-3式即在非负且在区间上单调上升的情形下加以证明 对于2-4式证明是类似的最后我们再将其推导到一般情形即可证明2-2式在区间上取一系列分点使记其中为在上的幅度即再将所讨论的积分作如下改变将积分限等分为如下等份并且记则因为在上可积且区间

15、是有限的所以在上有界此时我们不妨假设估计如下由于可积所以当时有从而有从而可知我们记由于函数在闭区间上可积那么函数是上的连续函数并且有最大值和最小值和记为很显然从而因为是非负的并且在区间上单调上升即有成立所以有下式成立即有成立从而可以得到其中满足由于函数连续则在之间存在一点使成立从而有公式2-3成立即成立2-3式得证对于单调下降且的情形即公式2-4的证明过程是类似的证明略对于是一般单调上升情形我们作辅助函数其中为单调上升且此时公式2-3对于是成立的即存在使成立这就证明了公式2-2对于是一般单调下降的情形此时应用公式2-4同样可得到2-2式此命题得证24 几何形体上黎曼积分第一中值定理定理4第一中

16、值定理若在上黎曼可积则存在常数使得成立这里的介于在上的上确界和下确界之间证明假设由命题可知由积分性质对不等式在上进行黎曼积分可得即有其中为几何形体的度量此时即可得到是介于和之间从而有成立其中为位于之间的一个数命题得证定理5二重积分的中值定理假设函数在闭区域上连续其中是的面积则在上至少存在一点使得成立证明由于函数在闭区域上连续假设在闭区域上的最大值和最小值分别为即对不等式在区域上进行二重积分可得即其中为闭区域的面积我们不妨记由上式还可得到由于将不等式除以可得由于函数在闭区域上连续则在上至少存在一点使得 成立将上式两边同乘以即可得到从而命题得证定理6三重积分的中值定理设函数在空间闭区域上连续其中是

17、的体积则在上至少存在一点使得成立证明由于函数在闭区域上连续假设在闭区域上的最大值和最小值分别为即对不等式在区域上进行三重积分可得即其中为闭区域的体积我们不妨记由上式还可得到由于将不等式同除以即可得到由函数在闭区域上连续则此时在上至少存在一点使得 成立将上式两边同乘以即可得到命题得证3 积分中值定理的推广31定积分中值定理的推广定理7推广的定积分中值定理 如果函数在闭区间连续则在开区间至少存在一个点使得下式成立证明作辅助函数如下由于在闭区间连续则在上可微且有成立由微分中值定理可知至少存在一点使得成立并且有此时即可得到下式命题得证32定积分第一中值定理的推广定理8推广的定积分第一中值定理 若函数是

18、闭区间上可积函数在上可积且不变号则在开区间上至少存在一点使得成立证法1由于函数在闭区间上是可积的在上可积且不变号令很显然在上连续并且 由柯西中值定理即可得到即命题得证证法2由于函数在上可积且不变号我们不妨假设而函数在闭区间上可积我们令假设是在闭区间上的一个原函数即此时我们有下式成立3-1由于则有以下我们分两种情形来进行讨论1如果由3-1式可知则此时对于有成立2如果将3-1式除以可得3-2我们记 3-3此时我们又分两种情形继续进行讨论i如果3-2式中的等号不成立即有成立则此时存在使得我们不妨假设其中因为则有此时至少存在一点使得即有成立从而结论成立ii如果3-2式中仅有一个等号成立不妨假设因为此时

19、必存在其中使得恒有成立我们则可将3-3式可改写为因为则有3-4又注意到必有于是3-5下证必存在使若不然则在上恒有及成立从而如果由达布定理在上有这与矛盾如果 这与3-5式矛盾所以存在使定理证毕33 推广定积分第二中值定理定理9推广定积分第二中值定理 如果函数在闭区间可积在区间上可积且不变号则在上必存在一点使得成立证明过程详见参考文献934 第一曲线积分中值定理定理10第一型曲线积分中值定理 如果函数在光滑有界闭曲线上连续则在曲线上至少存在一点使成立其中为曲线的弧长证明因为函数在光滑有界闭曲线上连续所以存在其中对不等式在闭曲线上进行第一类曲线积分可得其中为曲线的弧长并且由于将上式同除以常数即可得到

20、由于函数在曲线上连续故由闭区间上连续函数的介值定理在曲线上至少存在一点使成立左右两边同除以常数即可得到结论从而命题得证35 第二曲线积分中值定理定理11第二型曲线积分中值定理如果函数在光滑有向曲线上连续则在曲线上至少存在一点使得成立其中为光滑有向曲线在轴正向上的投影其中符号是由曲线的方向确定的证明因为函数在有界闭曲线上连续所以存在其中对上式进行第二型曲线积分可得3-6其中为有向光滑曲线在轴上的投影此时我们不妨记并且分以下两种情况进行讨论1假设将3-6式除以可得因为在上连续故由介值定理则在曲线上至少存在一点使成立即有成立2同理当式左右两边同时除以可得因为在上连续故由介值定理则在曲线上至少存在一点

21、使成立即有成立由上面证明过程可得命题得证36 第一曲面积分中值定理定理12第一型曲面积分中值定理设为平面上的有界闭区域其中为光滑曲面并且函数在上连续则在曲面上至少存在一点使成立其中是曲面的面积证明因为在曲面上连续所以存在且使得成立我们对上式在上进行第一类曲面积分可得其中为曲面的面积且因为两边同除以有由于在曲面上连续故由介值定理在曲面上至少存在一点使成立两边同时乘以可得命题得证37 第二曲面积分中值定理定理13第二型曲面积分中值定理若有光滑曲面其中是有界闭区域函数在上连续由此在曲面上至少存在一点使成立其中是的投影的面积证明因为函数在曲面上连续所以存在使得对上式在曲面上进行第二类曲面积分可得其中为

22、投影在曲面上的面积并且我们记1若则上式除以有由于在曲面上连续故由介值定理在曲面上至少存在一点使两边同时乘以有2同理若则上式除以有由于在曲面上连续故由介值定理在曲面上至少存在一点使两边同时乘以有由以上证明过程可得从而结论成立4 第一积分中值定理中值点的渐进性定理14 假设函数在上阶可导其中在点的直到阶右导数为0而不为0即并且有在点连续函数在可积且不变号并且对于充分小的 在上连续且则第一积分中值定理中的中值点满足证明对任意我们做一个辅助函数如下一方面当时分子分母同时趋于零满足洛比达法则条件由洛比达法则由积分中值定理和洛比达法则可以得到从而 4-1且有成立另一方面由积分中值定理和洛比达法则可得 由洛

23、比达法则则有因此可得 4-2比较4-1式与4-2式可以得到定理15假设函数在上连续存在并且有阶导数有 成立并且在点连续不变号则第一积分中值定理中的点满足证明对任意的构造辅助函数如下 一方面当时分子分母同时趋于零满足洛比达法则条件由洛比达法则有 由于则且函数阶导数则上式等于4-3另一方面由积分中值定理则 对使用洛比达法则可得 4-4比较4-34-4式我们可以得到定理16设函数在上阶可导在点连续函数阶导数且并且在点连续不变号则第一积分中值定理中的满足证明对任意的我们构造辅助函数如下一方面由于时分子分母同时趋于零满足洛比达法则条件由洛比达法则有 由于函数在上阶可导且函数在上阶可导则上式等于 4-5另

24、一方面由积分中值定理则 对使用洛比达法则可得 4-6比较4-54-6式我们可以得到5 第二积分中值定理中值点的渐进性定理17 假设函数上单调并且在点的右导数存在且有在上可积在点的右极限存在且则第二积分中值定理中的满足证明对于任意的构造辅助函数如下一方面当时分子分母同时趋于零满足洛比达法则条件由洛比达法则可得5-1另一方面由第二积分中值定理有5-2比较5-15-2式知即可得到将此定理推广即可得到以下定理定理18假设函数在上单调在内有直到阶导数在点连续在点的右导数满足在上可积在点的右极限存在且则第二积分中值定理中的满足证明构造辅助函数证明可仿造定理17证明过程略定理19假设函数在上单调函数在点的右

25、导数存在并且有在上存在直到阶导数且有在点连续并且满足则第二积分中值定理中的点满足证明构造辅助函数证明可仿造定理17证明过程略定理20假设函数在上单调在上有直到阶的导数在点连续并且在点的右导数满足在上存在直到阶导数在点连续且满足则第二积分中值定理中的点满足证明构造辅助函数证明可仿造定理17证明过程略6 积分中值定理的应用61 估计积分值例1 估计的积分解由于即于是此时可得到估计的积分值为例2 估计的积分解设则其次假设和则单调下降并且有于是其中因此例3 证明等式证法1由第一积分中值定理可知其中位于和之间的某个值证法2由第二积分中值定理可知得 其中位于和之间的某个值于是62 求含定积分的极限例4 求

26、极限解利用广义积分中值定理则63 确定积分号例5确定积分的符号解由积分中值定理可知其中又在上不恒为0则有即的符号为正号64 比较积分大小例6 比较积分和的大小解当时从而有于是我们有即小于等于65 证明函数的单调性例7设函数在上连续其中试证在内若为非减函数则必为非增函数证明利用分歩积分法将化为对上式求导可以得到由积分中值定理可得若为非减函数则有成立因此可以得到故为非增函数命题得证66 证明定理例8 证明阿贝尔判别法如果在上可积单调有界那么收敛证明由假设条件利用第二中值定理在任何一个区间上其中存在使得因为在上可积则收敛所以对于任何存在使得当时成立又由根据柯西收敛原理可推知积分收敛备注2 当讨论无界

27、函数广义积分时可将阿贝尔判别法可改写为假设在有奇点收敛单调有界那么积分收敛证明对应用第二积分中值定理证明过程略备注3当讨论二元函数的积分限为含有参变量时则含参变量的广义积分的阿贝尔判别法可写为假设关于为一致收敛关于单调即对每个固定的作为的函数是单调的并且关于是一致有界的即存在正数对所讨论范围内的一切成立那么积分关于在上是一致收敛的证明由于关于是一致收敛的则对于任意正数存在当时成立因此当时将看成给定常数则由积分第二中值定理中的公式因为对任意的都有则因此关于在上是一致收敛的命题得证例9 证明狄里克莱判别法如果有界即存在使得单调且当时趋向于零那么积分收敛证明因为所以对任意的存在当时又因所以同样我们有

28、 由第二积分中值定理只要就有所以积分收敛命题得证备注4当讨论无界函数广义积分时我们可将狄立克莱判别法写为设在有奇点是的有界函数单调且当时趋于零那么积分收敛证明对应用第二积分中值定理证明过程略备注5 当讨论二元函数的积分限为含有参变量时则含参变量的广义积分的狄立克莱判别法写为设积分对于和是一致有界的即存在正数使对上述成立又因为关于是单调的并且当时关于上的一致趋于零即对于任意给定的正数有当时对一切成立那么积分关于在上是一致收敛的证明由所假设的条件可推知对任何有而由和上式可推知当时因此关于在上是一致收敛的命题得证7 结论本课题通过讨论积分中值定理对积分中值定理内容如积分中值定理的定义推广渐进性质应用

29、加以说明使得我们对积分中值定理有一个大概的了解本文论述得还是比较完全的对于积分中值定理的各个方面有关情形都一一加以讨论而且对于现在比较热门研究的渐进性问题有了初步了解但相对于当今的研究方向来说讨论还是比较少的并且讨论的时候对于给出的条件比较苛刻此外积分中值定理的推广问题也是当今数学研究的一个方向我们再此也给出了简单的介绍但课题的内容缺少了与实际接轨的东西理论性质比较强任何学科的研究都是为现实生活服务的我希望在应用方向能够找到更加实际的东西因此当然希望以后能有现实的东西加在理论问题的研究之中谢 辞首先我要衷心感谢我的导师黄老师两个多月来对我辛勤的培育和无微不至的关怀在选题查找资料撰写到反复修改乃

30、至定稿都得到了黄老师的悉心指导黄老师有着严谨的治学态度忘我的工作态度以及正直的为人和宽广的胸怀是我们的楷模也使学生铭记于心这些将影响我日后的工作和学习将使我受益终身其次我要感谢我四年同窗好友434宿舍的全体姐妹们她们总是在我遇到困难的时候伸出友谊之手在论文的撰写及校正过程中她们更是给了我大量的建议和帮助在此向她们表示感谢最后我要感谢07级信息与计算科学专业以及信息科学技术学院的所有老师和同学感谢他们在四年来的支持和帮助参考文献陈纪修於崇华金路数学分析第二版上册北京高等教育出版社2004294-310陈纪修於崇华金路数学分析第二版下册北京高等教育出版社2004165-170陈传璋金福林等编数学分

31、析下册北京高等教育出版社1983 286-288陈传璋金福林等编数学分析上册北京高等教育出版社1983 51-56 252同济大学应用数学系高等数学第五版上册北京高等教育出版社1996 232同济大学应用数学系高等数学第五版下册北京高等教育出版社1996 28王成伟张秀岩第二积分中值定理中值点的渐进性质北京服装学报1994 86-89王成伟张晓燕第一积分中值定理中间点的渐进性质北京服装学院学报2000 73-75胡卫敏 积分中值定理及其推广伊犁师范学院学报2004 6-10李云霞 关于广义积分中值定理及中间点的渐近性信阳师范学院学报1998 16-19Altonso G Azpeitia On the Lagrange Remainder of the Taylor Formula Amer Math Monthly 198212-17III31