2022年山西省太原市中考数学知识点聚焦第一章有理数

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1、第一编基础知识篇一、本部分内容梳理基础知识，细讲方法技巧，辨析易混易错，提升中考能力二、本部分内容包括：实数有理数实数代数式整式的加减整式的乘除分式二次根式方程(组)与不等式(组)一元一次方程与二元一次方程组不等式与不等式组一元二次方程分式方程图形与坐标、函数及图像函数基础知识、一次函数及反比例函数二次函数空间图形与几何初步图形的初步认识投影与视图三角形与多边形图形与变换对称、平移与旋转图形与证明图形的全等与相似平行四边形解直角三角形圆作图与设计统计与概率统计初步概率专题一实数第一章有理数高频考点考查频率所占分值1有理数的分类2具有相反意义的量3有理数的大小比较4相反数、绝对值、倒数29 5有

2、理数的混合运算6科学记数法基础知识篇精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 8 页知能图谱整数正整数0负整数分数正分数负分数正有理数正整数正分数0 负有理数负整数负分数有理数的有关概念数轴相反数绝对值比较有理数的大小绝对值法数轴法运算加法运算减法运算乘法运算除法运算乘方运算交换律abbaabba结合律abcabcab ca bc分配律a bcabac近似数科学记数法第 1 讲有理数的意义知识能力解读知能解读 (一)正数和负数的意义(1)像3，l，8，3.5这样大于0 的数(“”通常省略不写)叫作正数(2)像3，2.7，4.5，1.2这样在正数前面加上“”(读负号)的数叫作负数，负数小于0

3、注意：(1)0 既不是正数也不是负数，它是一个整数，它表示正数和负数的分界(2)对于正数和负数的概念，不能简单理解为带“”的数是正数，带“”的数是负数如0是 0，0也是 0；当0a时，a就是正数(二)具有相反意义的量正数和负数是根据实际需要而产生的，比如一些具有相反意义的量：收入 200 元与支出200 元，上升7 米与下降3 米，零上2与零下 7等虽然它们都表示一定的数量，却意义相反，那么我们如何去表示它们呢?我们把一种意义的量规定为正的(如收入 200 元规定为200元)，把另一种和它意义相反的量规定为负的(如支出 200 元规定为200元)，于是就产生了正数和负数注意：(1)用正数和负数

4、表示具有相反意义的量时，哪种意义的量规定为正，是可以任意选定的(如将上升2 米规定为2米或2米都可以)，一旦选定一种意义的量为正，则另一种意义相反的量就只能为负(2)具有相反意义的量的特点：具有相反意义的量是成对出现的，单独一个量不能成有理数按定义分按正负分运算律有理数的意义有理数的分类有理数的运算加减混合运算乘除及乘方混合运算有理数 的混合运算用 计 算 器进 行 有 理数 的 简 单运算精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 8 页为具有相反意义的量；与一个量意义相反的量不止一个；具有相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义相反，二是它们都具有数量；具有相反意义的量必须是同类量，如节

5、约 3 吨油与浪费1 吨水不是具有相反意义的量(三)有理数的分类1有理数的定义正整数、0、负整数统称整数正分数和负分数统称分数整数和分数统称有理数2有理数的分类：(1)按定义分类：整数正整数0负整数分数正分数负分数有限小数或无限循环小数(2)按正负分类：有理数正有理数正整数正分数0(即不是正数也不是负数)负有理数负整数负分数注意：(1)在对有理数进行分类时，要做到不重不漏(2)在分类时，注意0 的地位和意义(3)正整数，0 统称非负整数(也叫自然数)；负整数，0 统称非正整数(四)数轴在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫作数轴，它满足以下要求：(1)在直线上任取个点表示数0，这个

6、0 点叫作原点；(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向；(3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 l，2，3，；从原点向左，用类似方法依次表示1，2，3，(如图所示)65-5-1-2-3-41 23 40点拨：(1)利用数轴，我们可以表示任意一个有理数，还可以表示任意一个无理数(2)数轴是研究数学的重要工具，也是“数形结合”的重要体现(3)数轴的定义包含三层含义：数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；数轴有三要素：原点、单位长度、正方向；原点的位置、单位长度、正方向都是根据实际需要规定的(五)相反数只有符号不同的两个

7、数叫作互为相反数特别地，0 的相反数是0(1)在数轴上，互为相反数的两个数对应的点与原点的距离相等(几何意义)(2)数a的相反数是a若a，b互为相反数，则0ab(或ab，或ba)(六)绝对值一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作a正 数 的 绝 对 值 是 它 本 身，负 数 的 绝 对 值 是 它 的 相 反 数，0 的 绝 对 值 是0，即,00,0,0aaaaaa点拨：因为有理数的绝对值表示两点之间的距离，距离总是正数或零，所以任意一个有理数的绝对值是非负数，即0a(七)有理数大小比较的常用方法有理数自然数精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 8 页(1)数

8、轴比较法：将两数分别表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大(2)代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小(3)差值比较法：设a，b是两个任意数，若0ab，则ab；若0ab，则ab；若0ab，则ab(4)商值比较法：设a，b是两个正数，若1ab，则ab；若1ab，则ab；若1ab，则ab此外，还有倒数比较法、中间值比较法、平方比较法、换元比较法等(八)绝对值的非负性(拓展点)(1)正数和零统称非负数，绝对值的意义揭示了绝对值的一个重要性质：非负性，即对于任何有理数a，都有0a如1122，00，0.070.07，故绝对值最小的数是0(2)非负数

9、的重要性质：非负数有最小值，是0；若几个非负数之和等于0，每个非负数都等于0，即若0ab，则ab，0b；有限个非负数之和仍是非负数方法技巧归纳方法技巧 (一)有理数的识别方法识别有理数的依据是有理数的定义及分类标准(二)求相反数的方法与多层性质符号的化简方法(1)求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上“”即可若求一个代数式(含和、差形式)的相反数，则把这个代数式作为一个整体用括号括起来，再在前面加一个“”，如ab的相反数是ab，即ab(2)含多层性质符号的式子，其化简结果的符号只与“”的个数有关，若“”有偶数个，则结果为正；若“”有奇数个，则结果为负(三)绝对值的求法求一个数的绝对值，就是想

10、办法去掉绝对值号，顺序为“先判后去”，即先判断绝对值号内的数(或式)的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值号(四)绝对值非负性的应用我们知道，对于任意有理数a，有0a若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为 0(五)数轴与有理数大小比较的方法(1)在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大根据正、负数在数轴上的位置可知：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数在利用数轴比较有理数的大小时，先要确定好有理数在数轴上的位置(2)用不等式表示正数和负数：正数大于0，反之，大于0 的数都是正数，故用“0a”表示a为正数负数小于0，反之，小于0 的数都是负数，故用“0a”表示a为负数a为非负数，

11、用“0a”表示；a为非正数，用“0a”表示(六)数轴上两点间的距离数轴上两点间的距离等于表示该两点的数的差的绝对值易混易错辨析易混易错知识1误认为无论是正数还是负数，绝对值大的数就大2对有理数进行分类时，易因误解0 的地位和意义而出错易混易错 (一)对相反数的几何意义理解不透导致漏解(二)对绝对值的意义理解不透导致错误精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 8 页(三)混淆负数与带负号的数导致出错(四)比较有理数的大小时，忽视原数的符号导致错误中考试题研究中考命题规律本讲是数学的基础知识，中考题一般在准确理解概念的前提下即可正确解答主要考查绝对值和相反数的概念、有理数的大小比较，以及利用

12、数轴进行化简或解决相关问题，题型以填空题、选择题为主中考试题(一)对相反数的考查(二)对绝对值的考查(三)有理数的大小比较(四)利用数轴解决问题第 2 讲有理数的运算知识能力解谈知能解读 (一)有理数的加法(1)有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零一个数同0 相加，仍得这个数(2)加法运算律：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即abba；加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即abcabc点拨：有理数的加法运算可

13、概括为：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着“大”的跑；相反敷相加“零”正好(二)有理数的减法有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算可表示为变为相反数变减为加a-b=a+(-b)点拨：有理数相减，符号有两变，先把减变加，减数变相反，统一成加后，再把结果算(三)有理数的乘法(1)有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，都得0(2)有理数乘法法则的推广：几个不是0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数几个数相乘，有一个因数为0，积就为0几个不等于

14、0 的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘(3)乘法运算律：乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即abba；乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即ab ca bc；分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即a bcabac说明：(1)多个有理数相乘，负号当家起作用，奇负偶正规律定，一数为0 积为 0(2)由有理数乘法法则得出以下结论：如果两个数的积为正数，那么这两个数同正或同负；如果两个数的积为负数，那么这两个数一正一负；如果两个数的积为0，那么这两个数中至少有一个是0(四)有理数的除法精选学习资料 -名

15、师归纳总结-第 5 页，共 8 页(1)倒数：乘积是l 的两个数互为倒数巧记为“分子分母颠倒位置”，如23的倒数为32一般地，110aaa，即若a是不等于0 的有理数，则a的倒数为1a(2)有理数的除法法则：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数，也可表示为10ababb两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于0 的数，都得0注意：(1)0不能作除敏(2)巧记“除法化乘法，倒数是关键”(3)求倒数的方法：求一个整数(不为 0)的倒数，只要写成这个整数分之一即可；求一个真分数的倒数，只要把分数的分子和分母颠倒位置即可；求一个带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再

16、求它的倒数；求一个小数的倒数，要先把小数化成分数，再求它的倒数(五)有理数的乘方(1)乘方的概念：求n个相同因数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂在na中，a叫作底数，n叫作指数一个数可以看作这个数本身的1 次方(2)乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是0注意：(1)一个数可以看作这个数本身的1 次方，指数 l 通常省略不写；(2)当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来，再在其右上角写上指数；(3)0 的 0次幂无意义(六)有理数的混合运算顺序运算顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(

17、3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号、大括号依次进行注意：(1)运算过程中，带分数一般化为假分数，小数化为分数，再进行乘方、乘除等运算，可简化解题步骤；另外有些运算可同时进行，也可简化解题步骤(2)在进行混合运算时，除遵守以上原则外，还需注意灵活使用运算律，使运算准确而快捷(七)科学记数法(1)把一个绝对值大于10 的数表示成10na的形式(其中110a，n是正整数)，使用的是科学记数法注意：10na中a只有一位整数，n等于原数的整数位数减1(2)把一个绝对值小于1 的非零数表示成10na的形式，其中110a，n是一个负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数字左面所有的0 的个

18、数(包括小数点左面的那个 0)(八)近似数近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫作这个数的近似数，也叫近似值精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位注意：(1)一个数要精确到哪一位，只要将它的下一位四舍五入即可，按要求求近似数时不能连续从未位向前四舍五入(2)一个近似数的末尾的0 不可省略，省略后原数的精确度会改变方法技巧归纳方法技巧 (一)有理数加法运算的解题技巧(1)在进行有理数加法运算时，首先要弄清两个加数的情况，其次按照“一定，二求，三和差”的步骤完成解题任务“一定”即先确定和的符号；“二求”即求加数的绝对值；“三和差

19、”即分析确定绝对值是相加还是相减(2)在运算中可灵活运用运算律，使运算简化精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 8 页(二)有理数减法运算的解题规律有理数的减法，不像算术里那样直接减，而是把它转化为加法，借助加法进行计算关键是准确理解减法法则，注意“两变”和“一不变”“两变”即改变运算符号(减加)和改变减数的性质符号(变为相反数)；“一不变”即被减数和减数的位置不能交换(三)有理数加减混合运算的规律技巧有理数的加减混合运算的方法：(1)运用有理数减法法则，将有理数加减混合运算中的减法运算统一为加法运算，然后省略加号和括号；(2)运用运算律，使运算简便(四)正确进行有理数的乘法运算，灵活

20、运用运算律(1)有理数乘法运算步骤为：第一步，确定符号；第二步，因数的绝对值相乘(2)有理数乘法法则中“同号得正，异号得负”专对“两数相乘”而言(五)正确进行有理数的除法运算在有理数的除法中，一般能整除的，在确定符号后可直接整除；在不能整除的情况下，特别是当除数是分数时，往往把除法转化为乘法较方便在乘除混合运算中，注意运算顺序，从左向右依次运算(六)有理数乘方运算的解题方法(1)乘方是一种特殊的乘法运算(因数相同的乘法运算)，幂是乘方运算的结果有理数乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先确定幂的符号，然后再计算绝对值(2)当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写上指数，指数要

21、写得小一些，例如235不能写为235(七)有理数混合运算的方法与技巧(1)把握好运算顺序是关键有理数运算分三级运算，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方与开方(后面讲)是第三级运算运算顺序：先算高级运算，后算低级运算；若是同级运算，从左向右依次计算；若有括号，就先算括号里面的(2)牢记五种运算的运算法则、运算技巧及运算律，以简化计算，从而提高解题的速度和准确率(八)用科学记数法表示数的方法把绝对值大于10 的数表示成10na的形式时，110a，n是正整数且n等于原数的整数位数减1(九)巧用“拆项法”解决有理数的混合运算问题在有理数的运算中常把带分数拆分成整数部分和小数部分和的形式，或把1a

22、b拆成111baab(其中ab)的形式这样就可把复杂的有理数运算转化为简单的计算易混易错辨析易混易错知识1混淆倒数与相反数的概念我们知道，只有符号不同的两个数叫作互为相反数，0 的相反数是0，或者说和为0 的两个数互为相反数任何数都有相反数，即a的相反数是a而乘积为l 的两个数互为恒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 没有倒数，即a的倒数是10aa2混淆有理数加法与乘法法则在进行有理数加法和乘法运算时，常因混淆两个法则而出现236或236之类的错误要切记：两数相乘，同号得正，异号得负；两数相加，同号取相同的符号，异号(绝对值不相等)取绝对值较大的加数的符号3对乘方的理解有误精选学习资料

23、 -名师归纳总结-第 7 页，共 8 页乘方是指几个相同因数积的运算，na表示n个a的积，即nnaaa aaL个，在运用乘方公式时易出现naan的错误，要特别注意易混易错 (一)运算时，符号出错(二)运算顺序不正确(三)错用运算律中考试题研究中考命题规律本讲的考点主要有有理数的运算和科学记数法，题型以填空题、选择题为主，主要考查有理数的运算法则以及在实际问题中的应用，有理数的运算还常以找规律的形式命题或与其他知识综合命题近几年考查科学记数法的试题背景多与时代热点或地方特点相结合中考试题 (一)有理数的基本运算(二)有理数加减法的实际应用(三)对科学记数法的理解(四)有理数运算中的规律性问题精选学习资料 -名师归纳总结-第 8 页，共 8 页