反函数求解与性质

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1、第5讲：反函数【复习规定】1、 理解反函数的意义，会求某些函数的反函数。2、 经历摸索互为反函数的两个函数图像之间关系的过程，掌握运用与的性质解决某些问题【教学重点】反函数的求法，反函数与原函数的关系【知识要点】1、反函数的概念：对于函数，设它的定义域为，值域为，相应法则为，如果对于每一种值，均有唯一的，满足，这样得到的有关的函数叫做的反函数，记作，（）。2、求反函数的一般环节：（1）解出；（2）互换、；（3）写出反函数的定义域（即原函数的值域）。注：求分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。3、 反函数的性质：（1）互为反函数的两个函数的图象有关直线y=x对称；即：两个互为反函数

2、的图像如果有交点，它们的交点不一定都在直线yx上（2）具有单调性的函数必有反函数，且她们的单调性相似。但反之不一定成立。（3）互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相似的单调性 （4）一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f(x)=a(x=0)它的反函数是f(x)=0(x=a)这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。若一种奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。（5）函数y=f(x)的定义域是它的反函数的值域；函数yf(x)的值域是它的反函数的定义域（6）若y=f(x)(xA)，与(xC)互为反函数，则有() ()（7）x =f(y)与是同一函数，由于它们

3、的定义域、值域相应相似(都分别是本来函数的值域和定义物)，相应法则相似；（8）的反函数；的反函数为：；【典型例题】类型1：判断一种函数与否存在反函数例1、“函数在定义域上是单调函数”是“函数有反函数”的充足不必要条件。例2、判断下列说法与否对的，并阐明理由。（1）奇函数一定有反函数。（错，反例：三角函数） （2）偶函数一定没有反函数。（错，反例：f(x)=0）（3）原函数与其反函数交点必在直线上。（错 反例：）例3、判断下列函数与否存在反函数：（1） （无）（2） （有）（3） （无 ）例4、已知函数（定义域为，值域为）有反函数，则方程有解，且的充要条件是满足 。类型2：如何求简朴函数的反函数

4、例5、求下列函数的反函数：（1） （2） （3） 类型3：互为反函数的两个函数的图像的对称性的应用例6、解决下列有关反函数性质的有关问题：（1）、若函数互为反函数，则 ， 3 。（2）、函数的反函数的图象有关点 （-2，-3） 对称。（3）、已知函数的值。（）（4）、函数的图像与的图像有关直线对称，若的图像过点，则的值为_；答案：例7、函数的图象有关对称，求的值解：由得，由题知：，例8、若既在的图象上，又在它反函数图象上，求的值解：既在的图象上，又在它反函数图象上，类型4：如何求复合函数的反函数例9、已知，求【解】例10、设，函数的图像与函数的图像有关直线对称，求的值。【答案】（-10）例11

5、、（1）已知函数，求；（2） 已知函数的图像通过点，函数的图像通过点，试求函数的体现式；【解】（1）先求，再求，最后求得，；（2）类型10：有关反函数的综合问题例12、已知，（1）求的反函数；（2）若不等式，对一切恒成立，求的取值范畴。解：（1） （2）依题意得：对恒成立 即：对恒成立令，则对恒成立设当时，舍；当时， 得：*例13、已知，是上的奇函数（1） 求的值；（2） 求的反函数；（3） 对任意的解不等式解（1）由题知，得，此时，即为奇函数（2），得，（3），当时，原不等式的解集，当时，原不等式的解集【课后练习】A组1函数的反函数是(D)A B C D 2函数的反函数是(B) A B C

6、D3函数在区间1,2上存在反函数的充足必要条件是(D)A a(-,1 B a2,+) C a1,2 D a(-,12,+4函数的反函数图像是(C)A D CB 5若函数是函数的反函数，且，则(A)A B C D2 6已知函数,若则实数a的取值范畴是(C) A B C D 7设函数f(x)的图象有关点(1,2)对称,且存在反函数,f(4)=0,则=-28若f(x)为一次函数,且,则f(x)=or9若的反函数为自身,则 a = -210已知=(x-1)，则=-211已知函数的反函数是(xR,x2)，求a,b,c的值a=2,b=1,c=-312已知函数的图象与的图象有关直线y=x对称,求的值提示：法

7、2:由题设知的反函数g(x)，又的反函数为f(x)-1g(x)=f(x)-1B组1 知函数，是的反函数，若，则_；【答案】-22若（其中），则函数与的图像有关 对称【答案】轴3设函数的反函数为，且的图像通过点，则的反函数的图像必过点（ ）A、B、C、D、【答案】C4已知函数存在反函数，若过点，则函数恒过点（ ）A、B、C、D、【答案】C5函数与否存在反函数，若存在，祈求出来；若不存在，请阐明理由【答案】略6 求与函数的图象有关直线对称的图象所相应的函数【答案】由可得，即，即所求函数7已知函数是的反函数，定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”（1） 判断函数与否满足“1和性质”，并阐明理由；（2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；（3） 设函数对任何，满足“积性质”，求的体现式【答案】（1）不满足；（2）；（3）