复变函数05吉大PPT学习教案

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1、会计学1复变函数复变函数05吉大吉大2 本章主要内容 复级数；泰勒级数；洛朗级数.级数是研究函数的重要工具.本章我们将 介绍复数项级数;讨论解析函数的级数表 示泰勒级数和洛朗级数;然后研究把函 数展开为泰勒级数和洛朗级数.第1页/共35页3复数项级数复数列的极限 设zn为一复数列,其中zn=xn+iyn，又设z0=x0+iy0为一确定常数.若对任意给定的 0，存在正整数N，使当n N时,总有 znz0 成立.则称zn以z0 为极限,也称复数列zn收敛于z0，记为 第2页/共35页4)(lim00 nzzzznnn或或定理 设z0=x0+iy0,zn=xn+iyn(n=1,2,)则 000lim

2、,limlimyyxxzznnnnnn 关于两个实数列相应项之和、差、积、商所成序列的极限的结果,可以推广到复 数序列.第3页/共35页5 .lim,lim,.0lim.00000000yyxxzzyyzzxxzzNnNzznnnnnnnnnnn 即即有有从从而而有有有有时时，当当，有有正正整整数数给给定定的的，对对于于任任意意由由必必要要性性证证明明 第4页/共35页6.lim22 ,2,2 0lim,lim.00000000zzyyxxzzyyxxNnNyyxxnnnnnnnnnnn 即即有有于于是是时时，有有，当当有有正正整整数数对对于于任任意意给给定定的的，由由于于充充分分性性 第5页

3、/共35页7复数项级数 设zn=xn+iyn(n=1,2,)为一复数列,表达式 nnnzzzz211称为复数项级数，其前n项的和 nnzzzS 21称为复数项级数的部分和数列.若部分和数列Sn收敛于S，则称级数收敛.S称为级数的和.若 Sn不收敛，称级数发散.第6页/共35页8定理 设 zn=xn+iyn(n=1,2,)级数 收 敛的充要条件是级数 收敛.1nnz 11nnnnyx 和和级数收敛的必要条件0lim1 nnnnxx 收收敛敛0lim1 nnnnyy 收收敛敛0lim1 nnnnzz 收收敛敛所所以以第7页/共35页9定理收收敛敛收收敛敛 11nnnnzz证明 1221nnnnny

4、xz由于由于2222,nnnnnnyxyyxx 而而根据实正项级数的比较判别法,可知级数.11收收敛敛和和 nnnnyx 11nnnnyx 与与从从而而收敛,进一步可知级数 收敛.1nnz第8页/共35页10绝对收敛与条件收敛若级数 绝对收敛.非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛.11nnnnzz 收收敛敛则则称称级级数数因为是 正项级数,其收敛性可用正 项级数的判别法来判定.1nnz例 判断级数的收敛性)i1(1)1(12 nnn)i1(13 nnn第9页/共35页11 11nn由于实部 发散，故原级数发散.1!)i 8()2(nnn 由正项级数的比值判别法知原级数收敛,且绝对收敛.,!8!)i

5、 8(nnnn 因为因为2i)1()3(1 nnnn第10页/共35页12又级数 为条件收敛，所以原级数为条件收敛.1)1(nnn因 ，收敛，故原级数收敛.121nn 1)1(nnn复变函数项级数复变函数项级数 设fn(z)(n=1,2,)是定义在区域D上的复 变函数列，则表达式 第11页/共35页13 )()()(211zfzfzfzfnnn）称为复变函数项级数，其前n项和为)()()(21zfzfzfzSnn ）若对于D内的一点z0，存在,则称z0是级数的收敛点,而S(z0)称为它的和.若级数 在D内处处收)()(lim00zSzSnn 1)(nnzf 1)()(nnzfzS敛,则 称为级

6、数的和函数.第12页/共35页14幂级数在复函数项级数中，称形如为幂级数.设z0=0,这时可得常用的幂级数形式 00)(nnnzzc 0nnnzc nnzczczcc2210幂级数的收敛定理 同高等数学中的实变幂级数一样，复变函数的幂级数也相似的收敛定理。第13页/共35页15阿贝尔Abel定理 若幂级数 在点z=z0处收敛，则级 数在圆域|z|z0|上发散.0nnnzc证明 因为幂级数 收敛，由收敛的必要条件，有 ，所以存在正数M，使对所有的n，有 00nnnzc0lim0 nnnzcMzcnn 0第14页/共35页16当|z|z0|时，则 10 qzznnnnnnMqzzzczc 00因此

7、因此由于级数 收敛,从而根据正项级数的比较审敛法知级数 绝对收敛.1nnMq 0nnnzc利用反证法根据上述结论可得定理另一部分的证明.利用阿贝尔定理,可以确定幂级数的收敛范围.第15页/共35页17对于幂级数 来说,它的收敛情况可 以分为下述三种：0nnnzc幂级数的收敛半径 在原点收敛，除原点外发散.(R0)在全平面上处处绝对收敛.(R+)除上述两种极端情形之外,由阿贝尔定 理可知,对于一般级数,必有一个圆域|z|R的范围内级数发散.第16页/共35页18圆周|z|=R称为级数的收敛圆.R称为幂级数的收敛半径.幂级数在收敛圆周上的收敛性，不能作出 一般的结论，要对具体级数具体分析.例 nn

8、nzzzz201求级数的收敛范围与和函数.解 级数的部分和121 nnzzzS)1(,11 zzzn第17页/共35页19zzS 11)(zSnn 11lim当|z|1时，所以当|z|1时,级数收敛，和函数为 当|z|1时，由于n时幂级数的一般项zn不趋于零，级数发散.因此级数收敛范围为|z|1,在此范围内，级数绝对收敛.收敛半径R=1.第18页/共35页20关于幂级数的收敛半径的求法,有以下两个方法.幂级数的收敛半径 0nnnzc定理 若 满足下列条件之一 nnncc1lim比值法比值法 nnnclim根值法根值法则幂级数的收敛半径 1 R第19页/共35页21若=0，则幂级数在整个复平面上

9、解析,即R=+.若=+，则除z=0外幂级数处处发散，即R=0.例 求下列幂级数的收敛半径 03)1(nnnz,并讨论在收敛圆周上的情形.1)1()2(nnnz,并讨论z=0,2时的情形.解 (1)因为 1)1(limlim31 nnccnnnn第20页/共35页22所以收敛半径 R=1.收敛圆为|z|=1.10303收收敛敛 nnnnnz在|z|=1上，级数原级数收敛范围是|z|1.11limlim)2(1 nnccnnnn所以收敛半径R=1，收敛圆为|z1|=1.在|z1|=1上，当z=0时，原级数成为 1)1(nnn，该级数收敛；第21页/共35页23 11nn当z=2时,原级数为 ，该级

10、数发散.例 把函数 表示成形如 的幂级数,其中a与b是不相等的复常数.bz 1nnnazc)(0 解)()(11abazbz .111abazab 第22页/共35页241 abaz当当,即|za|ba|时，有 32)()()(111abazabazabazabaz)()()()()()()(111322abazabazabazabazabbznn 第23页/共35页25)()()(1101abazazabbznnn 复变幂级数和函数的性质 nnnzzc)(00 定理 设幂级数 的收敛半径为R，则(1)级数的和函数是收敛圆内的解析函数.)()(00nnnzzczf 第24页/共35页26)()

11、(101 nnnzznczf100)(1)(0 nnnzzzzncdf (2)f(z)在收敛圆内可逐项求导，即(3)f(z)在收敛圆内可逐项积分，即 第25页/共35页27解析函数展开成幂级数 定理 设f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点，d为z0 到D的边界上各点的最短距离，则当|zz0|d 时,则f(z)能展成幂级数 nnnzzczf)()(00 .!)(0)(nzfcnn 其中其中并且展开式是唯一的.第26页/共35页28这个展开式称为函数f(z)在z0的泰勒展式.它的右端的级数称为f(z)在z0的泰勒级数.证明 以下证明此展开唯一性.设f(z)在z0处又可以展开成则对上式求各阶导数

12、，得nnnzzczf)()(00 )()!1(!)(01(zzcncnzfnnn）当z=z0时，得 nncnzf !)(0(）第27页/共35页29 nnncnzfc !)(0即即所以这个展开式是唯一的.关于定理我们作如下两点说明(1)若f(z)在z0解析,则f(z)在z0的泰勒级数的收敛半径R等于从z0到f(z)的距离z0最近的一个奇点 之间的距离,即R=|z0|.(2)由本定理与和函数的性质有,函数在一点解析的充要条件是它在该点邻域内可以展成幂级数.第28页/共35页30利用泰勒级数展开的唯一性,我们可以用 比较简便的方法将一个函数展开为泰勒 级数即幂级数.展开的方法有两种.一种 是由泰勒

13、展开式，直接通过计算系数!)(0)(nzfcnn 把f(z)在z0展开为幂级数，称为直接法；另一种是利用幂级数的运算与性质,以唯一性为依据把函数展开成幂级数,称为间接法.第29页/共35页31例 求函数f(z)=ez在z=0的泰勒展开式解 由于ez的各阶导数为ez,且ez|z=0=1 所以!1!)0()(nnfcnn !21e)(2nzzzzfnzf(z)=ez在复平面内处处解析,上面的等式在复平面内处处成立,收敛半径为+.用直接法可以求得sinz与cosz在z=0处的 泰勒展开式:第30页/共35页32)()!12()1(sin120 znzznnn)()!2()1(cos20 znzznn

14、n函数sinz与cosz在复平面内处处解析，上面的等式在复平面内处处成立,收敛半径为+.例 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的泰 勒展开式.而z=1是它距z=0最近的奇点.第31页/共35页33所以它在|z|1内可以展开成z的幂级数.zz 11)1ln()1()1(0 zznnn所以在|z|1内,任取一条从0到z的积分路线C，将上式两边沿C逐项积分，得 zzzzd11)1ln(0 zzznnnd)100 （1)1(10 nznnn)1()1(11 znznnn第32页/共35页342)1(1)(zzf例 求 在z=0处的泰勒展式.解 因为函数f(z)在|z|1内解析,所以f(z)能在|z|1内展开成泰勒级数,由1 ,)1(1112 zzzzznn对上式两边逐项求导，得1 ,1112 zzzzzn 12)1(21)1(1nnnzzz 112)1(21)1(1nnnzzz)1(z第33页/共35页35第34页/共35页