七大积分总结

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1、七大积分总结定积分1-定积分的定义：设函数f(x)在a,b上有界，在区间a,b中任意插入 n 1 个分点： a=XoXiX2,VXi-iXiXi+iV,Xn-1Xn=b,把区间a,b分成n个小区间：Xo，Xj ,人必,Xn-1,Xn, 记厶Xi=X Xi-j(i=1,2,3, ,n)为第i个小区间的长度，在每个小区间 上Xj,Xi上任取一点Ei(Xi_i? E ?)，作乘积：f( E) Xj(i=1,2,3,n),并作合式：ns 八 f(i)Xiid记入一二 max Xp X2, X3门， Xn,若不论对a,b怎样分法，也不论在小区间Xi-i,Xj上点E i怎样取法，只要当八0时，S的极限I总

2、存在,这时我们称I为函数f(x)在区间a,b上定积分(简称积分)，记 做:a f (x)dx 二 I =|im f ()X其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量,a 称为积分下限， b 称为积分上限， a,b 称为积分区间7n f(j)X.称为积分和。i 如果f(x)在a,b上的定积分存在，则称f(x)在a,b上可积。关于定积分的定义，作以下几点说明：(1) 积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母 记法无关，即 f (x)dx f (t)dt f (u)du。a，a，a(2) 定义中区间的分法与e.的取法是任意的。(3) 定义中涉及的极限过程中要求入

3、-0,表示对区间a,b无限细分的过程，随入TO必有nix，反之nAx并不能保证入-0,定积分的实质是求某种特殊合式的极限：1n : A例：o f (x)dx =叩7 f (丄)1(此特殊合式在计算中可以作为公式使用)2. 定积分的存在定理定理一若函数f(x)在区间a,b上连续，则f(x)在a,b上可积。定理二 若函数f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可 积。3. 定积分的几何意义对于定义在区间a,b上连续函数f(x)，当f(x) ? 0时，定积分If (x)dx在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯 形的面 积；当f(x)小于0时，围

4、成的曲边梯形位于x轴下方，定积 分jf(x)dx在几何意 义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x )在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x轴，曲线 y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。4. 定积分的性质线性性质(性质一、性质二)性质一 f (x) g(x)dx = f(x)dx g(x)dx 和差的积分等于积分的aaLa和差；性质二 kf (x)dx 二 k f (x)dx (k 是常数)不管a,b,c相对位置如何，总有等式aa性质三对区间的可加性a性质四 如果在区间*a弋*a_a,b匕 f(x)三 1,贝f(x)dx = b a性质五(保号性)如

5、果在区间】a,b上，f(x) ? 0,则f f(x)dx推论一设 f(x) ? g(x),x a,b，贝 S ： f(x)dx： g(x)dx推论二 af (x) dx 誉l f (x)|dx (aa,如果极限f f(x)dx存在，则此极限为函数f(x)在无穷区间a,+ g上的广义积分，记做aaff(x)dx，这时也称广义积分产f(x)dx收敛，如果上述极限不存在,则称该广义积分发散。同理也可得函数f(x)在无穷区间卜g,b上的广义积分。对于广义积分：只有在收敛的条件下才可使用上述定积分中的对称奇偶性” 几条结论： 广义积分r*dx，当p1时收敛，当p? 1是发散。xap(2)广义积分Adx当

6、P0时收敛，当Pa,如果极限” 叩.：f(x)dx存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b上的广义积分，记做f (x)dx，即 f (x)dx = Hm f(x)dx。这时也称广义积分收敛，如果上述极限不存在，就称广义积分发散同理，可得f(x)在区间a,b )上的瑕积分，即f(x)dx二 limaf(X)dX对于无界函数的瑕积分(就是广义积分)的计算，也可以利用牛顿 莱布尼茨公式，如对于f(x)在区间(a,b上的瑕积分有：f f(x)dx=|im bf(x)dx=F(b)- limF(x)=F(x)-F(a+O)右ti_a x_a 小结论：广义积分0护当PV1时收敛当P? 1时发散。对于无界函

7、数的广义积分(瑕积分)的计算，一般瑕点都会设置在区间(a,b)(或 a,b),(a,ba,b) 的内部一个点上10. 定积分的应用一、定积分在几何上的应用：(一) 平面图形的面积1. 直角坐标情形 ：对于有曲线 x=a,x=b,y=f(x),y=g(x) 的计算公式为：A=： f (x) -g(x)dx对 于由曲线 y=c,y=d,x=f(y),x=g(y) 计 算公式为： A = f f(y)-g(y)|dy c2. 参数方程情形：围成的 X 型的曲边梯形，其面积(ab)所围成的 Y 型的曲边梯形的面积(cd)当曲边梯形的曲边 f(x)(f(x)0,xa,b)由参数方程x= ：(t),y=

8、(t)给出时，若()二a, )=b，且在a,b上：(t)具有连续导数，y=(t)连续，则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可Ja4.极坐标情形：由曲线、(刃及射线 v 八围成的曲边扇形的面积计算公式为1RA= -2A)dA2a(二) 立体的体积1. 旋转体的体积对于由连续曲线y=f(x)，直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周 所成旋转体的体积计算公式为：V=f兀f (x) 2dx同理可得相似的绕丫轴和Z轴旋转所成的旋转体的体积计算公式。2. 平行截面面积已知的空间立体的体积若一个立体位于平面x=a,x=b之间，且知道过x且垂直于x轴的平面截此物体的截面面积为A(x)，且A

9、(x)为了连续函数，贝眦立体的体积计算公式是：V= (A(x)dx,同理可得相似的过丫(Z)且垂直于丫(Z)轴的平面截得的立体的体积的计算公式。(三) 平面曲线的弧长1. 参数方程情形设曲线由参数方程x=: (t) ,y=给出，且，在:，:上具有一阶连续导数，贝其弧长的计算公式为：S= :2(t)2(t)dt2. 直角坐标情形设曲线由直角坐标方程y=f（x） （a? X? b）给出，其中f（x）在a,b上有一阶连 续导数，则此时函数的参数方程可写成：x=x,y=f（x）,故其弧长的计算公式为： S 二 b 1 . y2dx*a 3. 极坐标情形设弧线由极坐标方程二（1）（ ）给出，其中O在:/

10、 上具有一阶连续导数，则其参数参数方程可以表示为x=（r） cosr,y= r（r） sin 二故弧长为 s=n （二）:、。（旳二、定积分在物理上的应用（一）变力沿直线所做的功 W= fF（x）dx（二）液体压力这个就题论题；（三）引力这个在计算的时候适当建立直角坐标系，将力分解为X轴和丫州两个方向上分别计算，就题论题；定积分到此结束，在计算的过程中要牢 记常见的公式，特别是积分公式，这些 都与不定积分有关，上边总结的一些积 分公式可能不全，见谅。二重积分这里二重积分的引入(阐释了二重积分的几何意义：表示曲顶柱体的 体积)和定 义及概念就不再总结，只声明：当被积函数为常数 1 的时候，二重积

11、分的物理意义是被积函数所围区 域的面 积，当被积函数是关于积分变量的一个函数时， 二重积分的意 义有很多，这与二重积分的应用有关。1. 二重积分的性质性质一(线性性质)和差的积分等于积分的和差；性质二(区域可加性) 若区域 D 由 n 个不重合的有界闭区域D(i=1,2,3, ,n)组成，则 f(x, y)d； n f(x,y)d 二Di Di性质四(单调性)若在区域D上恒有f(x,y) ? g(x,y),则f(x,y)d 匚？ g(x,y)d；特别的有 jjf(x,y)doM|f(x,y)d 口，DD性质五(估值定理)设M m分别为f(x,y)在有界闭区域上D上最大、最小值， A 为区域 D

12、 的面积，贝卩 mA ? .f(x, y)d；？ MAD性质六(积分中值定理)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，A为D的面积，则在D上至少存在一点(,),使f(x, yF =f ( , )AD2. 二重积分的计算(基本思想：将二重积分转化为二次积分)在直角坐标系下计算二重积分()先对Y,后对X的二次积分设二重积分.f(x,y)d 匚的积分区域 D 可以表示为Da? x? b, (x)A y 2(x)的形式，其中 l(x),2(x)在a,b上连续，这时程区域D为X型区域，这时二重积分的计算公式为b%(x)仃 f(x,y)dA = jdxj)f(x, y)dyDai(x)(二)先对X,后对丫

13、的二次积分类似上边，若二重积分.f(x,y)氏的积分区域D可以表示为DC? y? d, l(y)_2(y)的形式，贝0称区域D为丫型区域，这时二重积分d Zxz.dxdy,故S二J z： Zyzdxdy，然后计算二重积分D xy三、求质心这里只介绍公式，推导过程不再叙述，自个儿看书 设有一个有界闭区域D,它 的密度j(x, y)在D上连续，下面给出这一平面区域的质心公式：(其中M,My分别为质点 系对对 X, 丫轴的静距)Myy(x,y)d；：%x,y)d；：xl(x, y)d；yd(X, y)d 二，特别的，当区域D的面密度为常值T时，其质心坐标计算公式为:xdiixdSDydM11yd；y

14、d DII d-SDD同理可得空间有界区域Q的形心的坐标公式:x%x,y,z)dvV(x, y,z)dv zl(x, y,z)dvl(x,y,z)dv Ql(x, y, z)dvQ其形心坐标公式为:l(x,y,z)dv Q特别的，当空间区域所代表的例题均匀为 ，时xdv xdv 1 ydv ydv i i ii i ia - jQ 1 zdv ! zdv fa _ o - -补充1. 若积分区域关于直线y=x对称，则根据轮换对称性可得：f (x,y) d； 二 f (y,x) d 二DD2. 在计算重积分的时候，适当的交换积分顺序能帮助解题。3. 利用质心、重心公式计算(当且仅当积分区域所代表

15、的图形是均匀的)：例如：Xd =X二XSD (此公式是由质心公式变形得到的，使用此公式的前提是已知积分区域的质心坐标四、计算转动惯量(公式推导过程略去)设一个平面区域D,面密度为ux, y),下面给出其相对于X,Y,Z轴的转动惯量的计算的公式：lx = Hdlx = My24(x,y)如，ly = Mdly =仃 X2# (x, y)d 存DDDD同理也可得到空间区域Q所代表的例题相对于X,Y,Z轴的转动惯量 分别为：-=d2x(X,y,z)dvSz2尸(X,y, z)dvQQly 二 d y%x,y,z)dv 二 (x Z ) (x, y, z)dvQQlz = d z (2x2,y2,z)

16、dv= (x y ) (x, y, z)dv其中d dy,dz分别为点(x,y,z)到x,y,z轴的距离。 xyz五、计算引力(推导过程略去,自个儿看书)(任某薄片在平面Oxy上所占区域为D,面密度为(x,y)，下面给出它对 点(xo,y o,z o)处单位质点(单位质量的质点)的引力计算公式：取D上的小区域d；，点M (x,y,z )为d二上任意点)G，(x,y)(x- x)dDr3卩厂飞(“(厂G (x,y)(z- zo)d：四、第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）（此 过程不再引入对弧长的曲线积分的时候首先探讨了怎样求曲线构件的质量 叙述）。1. 对弧长的曲线积分的定义设函数f（x,y）在

17、Oxy平面的光滑曲线弧L上有界，将L分成任意的n 段, Si表示小狐 段本身又表示它的长度，点（，J是厶Sj上任取的一点，令入一二 maM Sj,则定义第一类曲线积分：Lf（x，的第一类曲线积分:y ds=jjm J 心y) ds= J ( 心，同时可定义在空间中f (x,y,z)ds=jmJn f ( j, j, J S j0jj =02. 对弧长的曲线积分的性质性质 LdA I,其中I为弧长。性质二（线性性质）对弧长和差的积分等于积分的和差性质三（可加性）将曲线弧分成n段补充和的小弧段，则f (x,y)ds LLn八 f (x,y)ds j =0 Lj性质四（单调性）若在曲线弧L 上, f

18、(x,y) ? g(x,y),贝Sf(x,y)ds 兰g(x,y)ds,特别丨f(x,y)dS 兰 jjf(x,y)|ds3. 对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算思路就是将其化为定积分。（变量参数化小值做下限）设函数f(x,y)在光滑曲线弧L上连续，L的参数方程为x= -(t),y= (t),(：rt )，则对弧长的曲线积分L f(x,y)ds 存在，且 L f(x,y)dsf( (t), (t)J 2(t)2(t)dt(a B)La、 i特别的，当曲线弧L的方程为y=(x), (a? x? b)时，可以将x看做参数，故Lf(x,y)dsbf(x,(x)j2(x)dxLa同理也可写出

19、将丫看做参数的计算公式。当曲线弧L有极坐标方程r訂(旳(：乞才乞 J时，由极坐标与直角坐标的 变换关系x二 r(Rcosr,y二rsin二)，将B看做参数，则f(x, y)ds=f (r( )cos,r0 )sin 丁)2(二) r2 )d 丁 以L:2(t)2(t)dt上公式都给可以推广到空间曲线弧丨：x(t), y(t),z= (t),(： rt乞)上，此时对弧长的曲 线积分公式为：f(x,y,z)dsf( (t), (t), (t)2(t) rot五、第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)引例：变力沿曲线做功(在此不再叙述)1.第二类曲线积分的定义(直接引入定义，不再阐述，实际上阐述过程和前

20、边几种积分很相似) 。向量函数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标X的曲线积分，记做P(x,y)dx ,向量函数Q(x,y) 在有向曲线弧L上对坐标丫的曲线积分，记做：LQ(x,y)dy。若力F= (P(x,y),Q(x,y), 则质点沿曲线弧从起 点 A 到终点 B 是变力 F 做功可表示为： W= P(x, y)dx+Q(x, y)dy ,同理 可推广到空间中的光滑曲线弧，故W=LP(X, y,z)dx LQ( x,y, z)dy LR(x, y,z)dz2. 对坐标的曲线积分的性质性质一(线性性质)对坐标的曲线积分具有线性(和差的积分等于积分的和差)性质二(可加性)对坐标的曲线积分具有积分

21、曲线分段可加性。性质三(有向性)设L为有向光滑曲线弧，记L为L的反向曲线弧，则 L P(x，y)dx Q(x, y)dy L P(x, y)dx Q(x，y)dy.同理此结论也可推广到空间曲线弧的坐标积分。3. 对坐标的曲线积分的计算(变量参数化，起参值做下限) 与对弧长的曲线积分的计算方法一样，对坐标的曲线积分的计算方法 也是将其化为定积分。设函数P(x,y),Q(x,y)在有向光滑曲线弧L上连续，L的参数方程为x= ：(t),y=，(：_t_ 一或c _t_：)，其中:，(t)具有连续的一阶导数，又有当t由a变到B时，L上的电从起点变到终点，则对坐 标的曲线积分存在，且1 P(x, y)d

22、- Q(x,y)dy 二P( (t), (t) (t) Q( (t), (t) (t)dlt同理也可写出当X或Y作参数时的公式，还可写出曲线弧在极坐标系 下时的公式(这里就不再叙述了)，且以上公式都可以推广到空间曲线弧中 注：在计算的时候，一定要特别注意曲线弧的方向和积分参变量的上 下限。3.两类曲线积分之间的联系设L： x=,y=，为从点A到点B的有向光滑曲线弧，其中点A处t= 十点B处t= 2,又P(x,y),Q(x,y)在L上连续，令COS(t) r2(t)2(t),cosA(t)P(x,y)dx Q(x, y)dy=P( (t), (t) (t) Q( (t), (t) (t)dt严(

23、i)mF 氏同理可得:LJQ( (t), (t)-PC (t), (t) W 2 (t)J2(t)2 (t)Jp(x, y)cosQ(x, y)cos dsLP(X, y,z)dx LQ( x,y,z)dy L R(x, y, z)dz 二 L ( PCOS Qcos Rcos )ds4. 格林公式及其应用格林公式的定义：若平面有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数(x,y ) ,Q(x,y)在D上具有连续的一阶偏导数，则有CQcP： Pdx Qdy = () dxdy 。(证明略)D cx cy5. 平面上对坐标的曲线积分与路径无关的条件设D是单连通区域，函数P(x,y) ,Q (x,y)

24、在D内具有连续的一阶偏导 数，则下面 四个命题等价：(1) 对D中任一分段光滑闭曲线C,有 Pdx+Qdy=O ;(2) 对D中任一有向分段光滑曲线L,曲线积分Pdx + Qdy与路径无关，只与起点、终点有关；(3) Pdx+Qdy 在 D 内是某一函数 u(x,y) 的全微分，即在 D 内 du( x,y) =Pdx+Qdy;( 4) 在 D 内恒有兰二卫。(证明略)cy &6. 第二类曲线积分小结：(1 )对封闭的第二类线积分，应首先考虑 格林公式： 若D中无奇点(P,Q的骗到不存在的点)，贝U：L Pdx Qdy =()dxdy .Dy ； 若 D 内含有奇点(挖洞法，洞所在区域为D )

25、，则取特殊 I (逆时针)：LPdxQdyQ_时,Pdx QdyPdx Qdy 二fQDi x yPdx Qdy，特别的(2)对非封闭的第二类线积分，首先考虑积分与路径的关系；若积分与路径无关，则取特殊路径I , (I与L方向一致);故Pdx + Qdy = Pdx + Qdy若积分与路径有关，但是=k(k为常数)，则用封法, cy ex取特殊路径I与L构成闭合回路(闭合区域为D),y贝Pdx + Qdy = kM dxdy +f Pdx+ QdyD补充：以上在在选择特殊路径I时，尽量选择折线路径(尽可能使 得路径I的各条线段平行于坐标轴，这样能简化计算)7. 求解全微分方程已知 du(x,y

26、)二 Pdx+Qdy,求 u(x,y)= ?方法一：曲线积分法(x,y)Pdx Qdy由曲线积分可得，u(x,y)=( 0,o)方法二：凑微分法即依据给定的Pdx+Qdy从形式上凑成u(x,y)的全微分;方法三：不定积分法由出二P(x, y)两边对 X 积分得 u(x,y)二二 P(x,y)dx(y), ex 其中(y)待定；再由虫=Q(x,y)知，：(y)满足：(P(x, y)dx) :(y) =Q(x, y),由此可求出(y),从而求得 u(x, y). :y六、第一类曲面积分(对面积的曲面积分)1. 引入概念及定义：求解空间曲面构件的质量(略去，不再叙述) 对面积的 曲面积分记做：Hf(

27、xyz)dS，当f(x,y,z)三1时，所求对面积的曲面积分的结果就是曲面的面积。2. 对面积的曲面积分的计算(先投影、再代入、最后 基本思路：化为二重积分曲面刀的方程为z=z(x,y),设其在Oxy平面上的投影为DXy因为被积函数 f(x,y,z)在刀上积分，且(x,y,z)满足刀的方程，所以被积函数可写成： f(x,y,z(x,y),故H f(x,y,z)dS 二 Hf (x, y,z(x, y) Ji 十 z%2 + Zy2dxdy,同理也可工Dxy以将曲面匕投影到OyzQxz平面上。(在球面坐标系中，S的微元dS 二 R2sin dAd)3. 计算中也可以用到对称性，轮换对称性、可加性等性质，参照前面 几个积分 的总结即可。