分形综述论文

《分形综述论文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《分形综述论文（12页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、1/f分形噪声理论及其在信号处理中的应用研究综述杨冬云 1,2 王司 1,3（1.黑龙江工程学院 电子工程系, 黑龙江 哈尔滨 150050；2.哈尔滨工业大学 信息工程系, 黑龙江 哈尔滨 150001；3.哈尔滨工业大学 控制科学与工程系, 黑龙江 哈尔滨 150001）摘要：从1/f分形噪声模型、分析方法、分形估计、l/f分形噪声产生的根源以及在信 号处理中的应用等方面，对 1/f 分形噪声理论和应用研究状况进行了综述，介绍了有关的基 本概念、理论和方法。关键词：1/f噪声；分形噪声；分形布朗运动；信号处理1/f Fractal Noise Theory and Its Applicat

2、ion to Signal ProcessingYANG Dong-yun1,2, WANG Si1,3（1. Department of Electronic Engineering, Heilongjiang Institute of Technology, Harbin 150050, China;2. Department of Information Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China;3. Department of Control Science and Engineering, Ha

3、rbin Institute of Technology, Harbin 150001, China）Abstract: This paper describes the studies of 1/f fractal noise theory and its application with respect to 1/f noise model, analysis method, fractal estimation, 1/f fractal noise generating mechanism and its application to signal processing. It pres

4、ents the basic concepts, theories and analysis methods involved in 1/f fractal noise.Keywords: 1/f Noise; Fractal Noise; Fractional Brownian Motions; Signal Processing0 引言1/ f 分形噪声（也称1/ f 噪声）是分形噪声中较重要的一类噪声。它是根据其功率谱密度s（ f）或s ）曲线的形状而定义的一种随机过程，其功率谱密度与f A或成反比，其 中0 丫 2。它首先是由Johmson 1在电子管中发现的，当时被看作是一种超低频噪

5、声。 后来，在实践中发现，它不仅作为一种噪声存在于电子管、晶体管等电子器件和装置中，而 且作为一种随机波动形式（或随机过程）广泛存在于音乐、气象、交通、水文和经济等领域 中，因此，它成为信息处理领域中研究的一个重点内容。它具有不同于高斯白噪声和马尔可 夫过程的统计特性，已经成为一种广泛应用的随机过程模型。其主要特性是长期（长程）相 关性(无限记忆)和统计意义上的自相似性(自仿射性)。由于1/ f 噪声的功率谱密度是不 可积分的，其功率谱密度值随频率f的降低迅速增大，通常称这种现象为红外突变(infrared catastrophe),这意味着1 f噪声是非平稳的。1 噪声模型的分类常用噪声模型

6、分为四种：(1)白噪声。它是最具有随机性的噪声，也称1/ f 0噪声。其 功率谱密度S(f)在所有的频率分量f上保持不变，即S(f)与1/f 0成比例。电路中的热噪 声可看作是白噪声。(2)粉红噪声(pink noise)或模糊噪声(flicker noise)，也称1 f噪声。 它的功率谱密度与1 f 丫 (0 丫 2)，则称为黑噪声。2 国内外研究状况近年来，国内外对1/ f 噪声进行了广泛的研究。国外的研究起步较早，取得了很多有价 值的成果。国内的研究较晚，取得的研究成果也较少。对1/ f 噪声理论和应用的研究主要 集中在以下几个方面。2.1 产生1/ f 噪声的根源到目前为止，对产生1

7、/ f 噪声机理的认识还不是很深入，还没有一个公认的理论能够 解释1/ f 过程普遍存在的根本原因。文献2从量子论和电动力学角度探讨了1/ f 波动作为 混沌的一种普遍形式而存在的原因，认为：非线性和同质性(homogeneity)的普遍存在是 产生1/ f 噪声的根本原因。文献3认为：分形噪声的物理本质是受到非线性随机力作用的 布朗粒子随机振动，是非线性因素作用的结果。在自然界中，很多物理系统的混沌时间序列 表现为f -丫形式的功率谱。2.2 1/ f 噪声模型1/ f 噪声模型大致可分为两类：物理模型和统计模型。物理模型是建立在产生噪声的 物理过程的微观研究理论之上的。微观研究主要集中于产

8、生噪声机制的微观细节和整体性质两个方面。然而，物理模型的通用性越强，与实验吻合的效果越差。换言之，具体问题必须 通过特殊的物理模型来解决。统计模型是依据“现象学”建立的模型。建立统计模型的方法 是忽略微观细节，而只研究独立于噪声产生机制的宏观行为。统计模型可分为三类：自回归滑动平均(ARMA)模型，分形积分模型和基于小波的模型。在早期，建模的方法是假设一个ARMA模型，在某种意义下产生1 f 丫形式的谱，也即通过有限个线性时不变系统来近似一个转移函数1/sY/2，通常使用有限个一阶高斯马尔可夫过程来近似(称之为“superposition of Lorentzian spectra”)。其数学

9、表达式为这个模型存在三个缺陷：一是为精确产生1/f 丫谱，需要无限多个极点，不便处理。二是用 马尔可夫过程描述低频发散行为时，极点必须连续地放置，使模型不便于应用。三是模型不 具有尺度不变性。以上三个缺陷使ARMA模型的应用受到很大限制。基于小波的模型是最 近在信号处理领域中使用比较多的模型。通过选择适当的小波基、系数和足够的项数，可以 以任意精度逼近1 f 丫谱。这个性质与ARMA模型是一样的。此外，基于小波的模型还具有保留尺度不变性的优点。其缺陷是当选取有限项进行逼近时，1/f 丫谱曲线有波纹。分形 积分模型是使用比较多的一种模型，分形布朗运动(Fractional Brownian Mt

10、ions濮型(简记为FBM)是其典型例子。FBM模型是Mandelbrot和Van Ness4在布朗运动模型的基础上提出来 的，它是布朗运动模型的推广。定义1：满足下列条件的零均值随机过程称为布朗运动过程B (t)a) B(0) = 0b) B(t) - B(s)是零均值的平稳正态过程，其方差与|t - s|成正比(s t)c) B(t ) 一 B(t ), B(t ) 一 B(t ),B(t ) 一 B(t )是相互独立的(t t t )。2132nn -112 nb)和c)意味着布朗运动过程具有独立平稳的增量。布朗运动过程也称维纳(Wiener)过程。定义2：给定一个常量0 H 1，那么具

11、有Hurst参数H的分形布朗运动B (t)为HJ0 (|t s|s|H - 2)dB (s) +gft |t - s|H - 2 dB (s)0其中B(s)为布朗运动。从这个定义可以看出，分形布朗运动过程是布朗运动过程的H -1/2次分形积分。当H = 1/2时，B (t)即等于普通布朗运动过程B(t)。其中Hurst参数H大H体上代表了分形布朗运动过程的特性。FBM模型可以被看作是白噪声的滑动平均(movingaverage)，其中过去的增量通过核(-s)H-1/2被加权。FBM具有如下经验形式的功率谱密 度S (f)二 1/| f|r其中丫 = 2H +1，即具有1/f功率谱密度的形式。当

12、0 H 1时，1 丫 3。当H = 1/2时，丫 = 2，因此，FBM运动模型只描述了1 0 yyyy则称y(t)为统计自相似过程或自仿射过程。其中E表示数学期望。按上述自相似过程的定义，FBM的增量是自相似的，即有如下等式B (t + aT) - B (t)二 aHB (t)HHH上式是在概率分布相等的意义上成立的。增量的方差为E(B (t +t) - B (t)|2 丄 2 T |2HHHHFBM 的相关函数为R (t, s)二 EIb (t)B (s)-|t - s2H BHH H二(b 2 /2). bl2H + |s|2H其中b 2 = VarB (1) = r(1 - 2H) co

13、s(兀H)HH兀H即其相关函数随时间而变化，FBM本身并不是平稳过程。FBM实质上是具有平稳的、高斯的、自相似的和长期相关的增量的随机过程。由于分形布朗运动是非平稳过程，没有适合的谱分析方法对其进行分析，因而在应用中 有一定的局限性。此外，由于FBM是高斯过程，所以不能用其描述非高斯过程。因此，文献提出了一类二阶自相似过程作为1/f噪声模型，FBM模型是它的特殊情况，但它突破 了 FBM的上述局限性，能够很好地描述1/f噪声。文献提出了用于描述H = 0 = 1)时1/f过程模型，该模型是基于二阶尺度平稳过程和线性尺度不变系统建立的，称之为尺度 不变回归(SI-AR)模型。文献7提出了基于小波

14、的1/f噪声模型，并证明了利用正交小波 基可以对1/f噪声进行最优描述，该模型的特点是便于进行数学处理。文献提出了利用 Shannon 小波表示1/ f 噪声的方法。2.3 1/ f 噪声的分析方法1/f过程是非平稳过程，而Fourier分析方法只适用于平稳过程，因此从理论上来说， 用谱分析方法来分析1 / f噪声是不合适的。1/f噪声的统计自相似性使它表现出丰富的统 计行为。虽然它是非平稳的，但通过线性时不变滤波器进行观察时，它却表现出平稳的特性。 在已知二阶矩的条件下，分析一个随机过程的常用方法是使用著名的 Karhunen-Loeve(K-L) 变换。对于在长时间观察下的平稳过程，K-L

15、变换转变成Fourier变换。在某些情况下，可 以使用离散余弦变换(DCT)近似代替K-L变换。在很多情况下，进行K-L变换是很困难 的，甚至是不可能的，又由于1/f噪声是非平稳的，因此，如果对短时间内一批数据进行 K-L变换，那么其结果是与时间有关的。为此，很多研究者使用了小波分析方法，它可以把 非平稳过程分解成一系列平稳过程，这些平稳过程可以分别使用处理平稳过程的工具进行分 析，然后再利用小波反变换进行重构，从而得到所需要的1/f过程。文献9对基于小波的 方法进行了理论分析。结果表明，虽然基于小波的方法具有较低的计算复杂性以及可以处理 淹没在白噪声中的1/f噪声两个优点，但是只有在Y e

16、(0,1)时，基于小波的方法才是收敛的和有效的。当丫 1时，如果量测数据被噪声污染，它不收敛于正确的估计结果。这个结 论与以前的研究结论是矛盾的。针对FBM本身是非平稳的过程，提出了 Wigner-Ville谱(WVS)的概念。设一个非平 稳过程x(t)的相关函数为R (t, s)，则称xT TW (t,)=严R (t +, t - )e -iTdTx_8 x22为WVS谱。它是功率谱密度的自然推广。当x(t)为平稳过程时，W (t,O )就是功率谱密度。x对于 FBM 来说，其 WVS 谱为|O|2 H +1W （t,）=（1 一 2i-2h cos 2t）BH文献10就是基于上述WVS谱对

17、FBM进行时间频率分析的，同时还用小波变换对FBM进行了时间尺度分析。文献11使用4阶相关函数对1/ f 波动形式进行了分析。结果表明： 在1/ f 过程具有相同的功率谱时，存在着几种不同的1/ f 波动形式。为了进行区别，提出 了一个新的特征相关函数。指出了1/ f 波动在较高阶相关函数中存在着特征时间，并且在 实际中至少存在两种类型的1/ f 波动形式。2.4 分形估计分形估计的主要任务是估计分形尺度参数（Hurst参数）H （H又称余维数）。估计方法 可分为两类：一类是基于1/f功率密度谱模型的最优估计算法，另一类是基于FBM模型的 近似或次优算法。Wornell和Oppenheim提出

18、了基于l/f功率密度谱模型的估计H算法，该算法只适用 于较长的FBM数据情况。文献12运用Haar小波基对FBM的增量（离散分形高斯噪声） 进行了离散小波变换，得到了弱相关的小波系数，其方差与变换尺度有关。在此基础上对 Wornell和Oppenheim提出的用于估计Hurst参数H的算法进行了改进，使其适合于中等长 度的FBM数据。但该估计算法对于具有加性噪声的较短长度的FBM数据仍然是不可靠的。 文献13 提出了基于多尺度树形框架估计H参数的方法。该方法可以直接用于或经过简单修 改后用于估计非规则采样数据和非平稳量测噪声。2.5 在信号处理中的应用在以往的分形信号研究中，主要侧重于白噪声中

19、分形信号的波形与参数估计以及信号 分形特征分析等。噪声中谐波的提取是常见的一类问题。1/f噪声中谐波的提取研究相对 较少。文献14从信号滤波角度利用l/f噪声的小波系数是弱相关或不相关的特性，引入自适 应自调整滤波器组，进行1/f噪声与谐波信号的自动分离，提出了相应的滤波算法。该算 法能消除1/ f 噪声的长程相关性，可以在未知谐波信号知识的情况下，得到信号的较好估 计。针对淹没在1/f噪声中的有用信号恢复问题，文献15提出了基于双正交小波变换与 Wiener滤波的多尺度滤波算法，设计了多尺度Wiener滤波器。主要步骤是：首先，利用双 正交小波变换将带有l/f噪声的信号分解成多尺度的子带信号

20、，通过小波变换对l/f噪声 的白化作用，消除1/ f 噪声的非平稳性、自相似性和长程相关性。其次，在小波域内，利 用 Wiener 滤波器分离噪声和有用信号，估计出各子带中的有用信号，最后，利用双正交小 波重构有用信号。该算法能有效的抑制1/ f 噪声，显著地提高信噪比。文献16研究了从被 噪声污染的线性失真(linearly distorted)信号样本中估计随机信号的问题。针对由模糊函数 (burring function)弓|起的病态Gll-posedness)问题，把l/f过程作为基本过程的模型加以 处理，并重点研究了模型不匹配效果和参数估计问题。结果表明，估计器的均方误差对模型 参数

21、的选择不敏感，当基本过程不是l/f过程时模型仍具有一定的鲁棒性。在信号处理技术中，离散时间系统的输出y(n)通常可以表示为输入信号x(n)和系统脉 冲响应g(n)之间的卷积，即y(n) = g(n) * x(n),其中*表示卷积运算。在不同的具体问题 中，要求根据输出信号y(n)来估计输入信号x(n)(即进行去卷运算)或估计系统的脉冲响 应。在输入信号为自相似信号时，可以使用多尺度Wiener滤波器和小波变换进行去卷运算， 但这两种方法应用的前提是必须已知尺度参数和输入信号的方差。而在实际问题中这两个参 数往往是未知的，因此有的研究者提出了一种新的近似去卷方法，该方法利用最优化技术和 1/f信

22、号的小波系数的方差对数曲线的线性性质建立了一个最优估计滤波器。文献17针对 1/f分形信号传输系统提出了去卷滤波设计方法，它是基于多尺度Kalman滤波器组并辅以 小波滤波器组进行的，通过对1/f信号进行小波变换使其白化，用以消除它的自相似性和 长程相关性，其优点是对信号可以进行时实处理。文献18提出了评价人的语音和自动发声系统的语音质量的方法。认为，1/f波动形式 的声音使人具有怄意感和舒适感，并以此为基础建立了语音质量评价方法，开发了语音质量 改进系统。3 结论本文从1/f噪声模型、分析方法、分形估计、1/f噪声的产生根源以及在信号处理中 的应用五个方面对1/f噪声理论及其应用进行了综述。

23、由于1/f过程的广泛存在，以及近 年来受分形理论的影响，1/f过程已经成为一种十分重要的随机过程。虽然目前从理论到 应用都取得了重要的研究成果，但是在以下三个方面还有待于做进一步的研究。一是还需要 寻求便于处理的简洁而方便的数学模型。二是理论分析方法需要进一步改进。三是对于1/f 噪声产生机理的认识还不深入，还需要进一步研究。参考文献1 Johnson. J.B.The schottky-effect in low-frequency circuitsJ. Phys.Rev. 1925, (26): 71-852 Handel P.H. 1/f noise universality in hi

24、gh-technology applicationsJ. Frequency Control Symposium, Proceedings of IEEE International. 1994: 8-2.3 敖力布, 董辉. 噪声信息的多重分形和分形噪声的物理机制. 东北师范大学学报(自然科 学版). 1999，(4):25-294 Mandelbrot B.B., Van Ness H.W. Fractional brownian motions, fractional noises and applicationsJ. SIAM Rev. 1968, (10) : 422-365 Yaz

25、ici B., Kashyap R.L. A class of second order self-similar processes for 1/f phenomenaJ. Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1995, 3:1573 - 15766 Yazici B., Kashyap R.L. Second order stationary models for 1/f processesA. Information Theory. IEEE International Symposium on.1994 : 3027 Wornell G.

26、W. Wavelet-based representations for the 1/f family of fractal processesJ.Proceedings of the IEEE. 1993, 81 (10) : 1428 - 14508 Shusterman E., Feder,M. Analysis and synthesis of 1/f processes via shannon waveletsJ.Signal Processing, IEEE Transactions on. 1998,46 (6):1698一 17029 Ninness B. Estimation

27、 of 1/f noiseJ. Information Theory, IEEE Transactions on.1998,44(1):32 - 4610 Flandrin P. On the spectrum of fractional brownian motionsJ. Information Theory, IEEE Transactions on. 1989, 35(1 ):197 一 19911 Akabane H., Agu M. Evolutionally processes of 1/f fluctuation generated with higher order corr

28、elationJ. Evolutionary Computation, Proceedings of IEEE International Conference on. 1996: 867- 87012 Kaplan L.M., Kuo C.C.J. Fractal estimation from noisy data via discrete fractional Gaussian noise (DFGN) and the haar basisJ. Signal Processing, IEEE Transactions on . 1993 , 41(12):3554 -356213 Fie

29、guth P.W.,WillskyA.S. Fractal estimation using models on multiscale treesJ. Signal Processing, IEEE Transactions on . 1996, 44 (5 ):1297一 130014 李海英，陈捷，孙进才等. 分形噪声中谐波信号的提取. 声学技术.2000，(3):131-13215 胡英，杨杰，周越.基于多尺度Wiener滤波器的分形噪声滤波.电子学报.2003, (4): 561-56316 Dufour, Roger M., Miller, Eric L. Statistical s

30、ignal restoration with 1/f wavelet domainJ.Signal Processing.1999, 78(3):289-30717 Bor-Sen Chen, Wen-Sheng Hou. Deconvolution filter design for fractal signal transmission systems: A multiscale Kalman filter bank approachJ. Signal Processing, IEEE Transactions on.1997,45 （ 5）:1359-136418 Ishikawa Y.

31、, Hua-An Zhao. A speech quality improvement system by means of 1/f fluctuation theoryJ. Industrial Electronics, Proceedings of IEEE International Symposium on. 2002, 2: 629 - 634作者简介：杨冬云（1972），女，黑龙江工程学院电子工程系讲师，哈尔滨工业大学 信息工程系硕士研究生。研究方向：信号与信息处理。王司（1963），男，黑龙江工程学院 电子工程系副教授，哈尔滨工业大学控制科学与工程系博士研究生。研究方向：惯性导航技 术、组合导航技术、鲁棒滤波及非线性滤波。