3、微分中值定理与导数的应用学习教案

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1、会计学13、微分中值定理与导数、微分中值定理与导数(do sh)的应用的应用第一页，共59页。（二）主要（二）主要(zhyo)(zhyo)结结论论 1.微分(wi fn)中值定理 (1)罗尔(Rolle)定理 f(x)在a,b上连续(linx),在(a,b)内可微,f(a)=f(b),则至少存在一点(a,b),使 f()=0.(2)拉格朗日(Lagrange)定理 设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可微,则至少存在一点(a,b),使 f(b)-f(a)=f()(b-a).)()()()()()(FfaFbFafbf (3)柯西(Cauchy)定理 设 f(x)与F(x)在a,b上连续,

2、在(a,b)内可微,且 F(x)0,则至少存在一点(a,b),使第1页/共59页第二页，共59页。(4)泰勒(ti l)(Taylor)定理 设 f(x)在 x0 的某邻域U(x0,)内具有直到 n+1阶的导数,则 xU(x0,),有 200000)(21)()()(xxxfxxxfxfxf型余项.此公式(gngsh)称 f(x)的 n 阶泰勒公式(gngsh).).()(!100)(xRxxxfnnnn ,)()!1(1)(10)1(nnnxxfnxR 其中其中称为(chn wi)Lagrange 当 x0=0时,此公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式,余项形式还有柯西型余项)10(,

3、)()1(!)()(1000)1(nnnnxxnxxxfxR和佩亚诺(Peano)余项Rn(x)=o(|x x0|n).第2页/共59页第三页，共59页。3.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,若 f(x)0,则 f(x)在a,b上是单调增加(zngji)的;若f(x)0,则 f(x)在a,b上是单调减少的.2.洛必达(LHospital)法则(fz)()(limxgxf lim f(x)=lim g(x)=0(或),存在(cnzi)或为,则.)()(lim)()(limxgxfxgxf 4.设 f(x)在 x0 处连续,在某去心邻域)(0，xUo内可微,当 x 在)(0，xUo内

4、从x0左侧经过x0到右侧时,f(x)由正变负,则 f(x0)为 f(x)的一个极大值;f(x)由负变正,则 f(x0)为 f(x)的一个极小值.(第一充分条件)5.f(x0)=0,f(x0)0,那么,当 f(x0)0 时,f(x0)为极大值；当 f(x0)0 时,f(x0)为极小值.(第二充分条件)第3页/共59页第四页，共59页。6.设 f(x)在(a,b)内具有二阶导数(do sh),则当f(x)0时,曲线 y=f(x)在(a,b)内是凹的；当 f(x)0时,曲线 y=f(x)在(a,b)内是凸的.7.设 f(x)在(a,b)内二阶可导,x0(a,b),f(x0)=0,且在 x0 的左、右

5、二阶导数(do sh)变号,则(x0,f(x0)为曲线y=f(x)的拐点.(拐点的第一充分条件)8.设 f(x)在x0 处三阶可导,f(x0)=0,f(x0)0,则(x0,f(x0)为曲线y=f(x)的拐点(ui din).(拐点(ui din)的第二充分条件)9.弧微分公式;)()()()()1(22dtttdstytx ，;)(1)()2(2dxxydsxyy ，231()()();xx ydsxy dy，第4页/共59页第五页，共59页。;)()()()4(22 drrdsrr ，(5)空间(kngjin)曲线：x=(t),y=(t),z=(t),.)()()(222dttttds 10

6、.曲率(ql)与曲率(ql)半径.)1(|)1(232yyk 曲率曲率.1 )2(k 曲率半径曲率半径 (3)设y(x)0,则曲线(qxin)y=f(x)在M(x,y)点的曲率中心D(,)的坐标为 .1,)1(2yyyyyyx 第5页/共59页第六页，共59页。（三）结论（三）结论(jiln)补充补充 1.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,x0是 f(x)在(a,b)内唯一(wi y)驻点,若 x0是 极大值点,则 x0 必是 f(x)在a,b上的最大值；若 x0是极小值点,则 x0 必是 f(x)在a,b上的最小值.3.设 f(x)在 x0 处具有 n 阶连续(linx)导数,

7、且 2.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,若在(a,b)内f(x)0,则 a 是最小值点,b 是最大值点；若在(a,b)内 f(x)0,则 a 是最大值点,b 是最小值点.f(x0)=f(x0)=f(n-1)(x0)=0,f(n)(x0)0,则当 n 为奇数时,f(x0)不是极值；当 n 为偶数时,f(x0)是极值.且当 f(n)(x0)0 时,f(x0)是极大值；当 f(n)(x0)0 时,f(x0)是极小值.第6页/共59页第七页，共59页。则 y=ax+b 是 y=f(x)的斜渐近线.4.若在 x0 的某邻域内,f(x)具有(jyu)n 阶连续导数,且 f(x0)=f(x0

8、)=f(k-1)(x0)=0,f(k)(x0)0,(k n)则当 k 为偶数时,(x0,f(x0)不为 y=f(x)的拐点(ui din)；当 k 为奇数时,(x0,f(x0)为 y=f(x)的拐点(ui din)(k 0).5.若)(lim,)(limaxxfbxxfaxx 均存在(cnzi),)(lim cx xf若若则 x=c 是 y=f(x)的铅直渐近线.,)(lim xcxf 若若则 y=c 是 y=f(x)的水平渐近线.第7页/共59页第八页，共59页。6.对于(duy)00型未定式,可视分子(fnz)或分母无穷小的阶数,对分子或分母进行(jnxng)佩亚诺替换,替换公式为);(!

9、1!211)1(2nnxxoxnxxe );(1)1(3121)1ln()2(32nnnxoxnxxxx );()!12(1)1(!31sin)3(22123 nnnxoxnxxx);()!2(1)1(!211cos)4(1222 nnnxoxnxx 2!2)1(1)1)(5(xxx ).(!)1()1(nnxoxnn 第8页/共59页第九页，共59页。7.设lim u(x)=1,lim v(x)=,则有 lim u(x)v(x)=explimu(x)1v(x).8.设lim(x)=0,lim(x)=0,(x)0,则有.)()(limexp)(1 lim)(1xxxx 9.设lim(x)=0,

10、lim(x)=0,0)(lim x，则有，则有，)()(),()(0)(limxxxxx .)(1lim)(1 lim)(1)(1xxxx .)()(limexp)(1 lim)(1xxxx 第9页/共59页第十页，共59页。二、归类二、归类(u li)解析解析 （一）证明题（一）证明题 1.证明(zhngmng)不等式例3-1 试证 x -1时,ex 1+ln(1+x).1111lnxx 例3-2 证明(zhngmng)当 0 x 2时,4xlnx x2 2x+4 0.例3-3 当 a 为正常数,且0 x +时,证明(x2 2ax+1)e-x 1.例3-4 证明当 x 0时,例3-5 试比较

11、 e 与 e 的大小.例3-6 若 f(x)二阶可导,且 f(a)=f(b)=0(a b),试证明在(a,b)内至少有一点 ,使.|)()(|)(4|)(|2afbfabf 第10页/共59页第十一页，共59页。2.证明(zhngmng)等式 例3-7 f(x)与 g(x)在a,b上连续,在(a,b)内可微,且 f(a)=f(b),证明(zhngmng)存在 (a,b),使 f()+f()g()=0.).(ln)()(fabafbf 例3-8 f(x)在a,b上连续(linx),在(a,b)内可微(0 a b),证明存在 (a,b),使 例3-9 设 f(x)与 g(x)在a,b上连续,在(a

12、,b)内可微,对于 x(a,b),g(x)0,试证在(a,b)内必有,使.)()()()()()(gbgaffgf 例3-10 设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可微,试证存在 ,(a,b),使 ).(2)(fbaf 第11页/共59页第十二页，共59页。（二）洛必达法则（二）洛必达法则(fz)(fz)例3-11 求.2sin1lim4202xexxx 例3-12 求.11ln1lim1 xxx 例3-13 求.sinlim10 xxxx 例3-14 设 a 0,b 0,a 1,b 1,求.2limnnnnba 例3-15 求1lnlim arccot.xxx第12页/共59页第十三页

13、，共59页。例3-17 设 f(x)在 a,+)上连续,当 x a 时,f(x)k 0,其中 k 为常数(chngsh),又 f(a)0,证明：方程 f(x)=0在（三）函数（三）函数(hnsh)(hnsh)性性态态 kafaa|)(|，例3-16 设 f(x)在 a,+)中二阶可导,且 f(a)0,f(a)0,又当 x a 时,f(x)0,证明(zhngmng)方程 f(x)=0在(a,+)内必有且仅有一个实根.内有唯一实根.例3-18 试证方程 x2=xsinx+cosx 恰有两个实根.例3-19 设(x)在x=0处二阶连续可导,且(0)=0,(0)0,证明曲线 y=f(x)=(1 cos

14、x)(x)在 x=0处必出现拐点.第13页/共59页第十四页，共59页。例3-20 求 y=x3 6x2+9x 4的极值(j zh).例3-21 若在 a 的邻域内 f(x)存在(cnzi)且连续,证明).()()(2)2(lim20afhafhafhafh 例3-22 设在a,b上 f(x)0,证明(zhngmng)axafxfx )()()(在a,b上单调增加.例3-23 作函数.)1(23的图形的图形 xxy第14页/共59页第十五页，共59页。（四）导数（四）导数(do sh)(do sh)应应用用 例3-24 求单位(dnwi)球的内接正圆锥体,其体积为最大时的高与体积.例3-25

15、在曲线 y=1 x2(x 0)上求一点P 的坐标,使曲线在该点处的切线(qixin)与两坐标轴所围成的三角形面积最小.例3-26 银幕高为 a m,银幕底边高出观众 b m,问观众离银幕多远,才能使观众看图象最清楚,即视角最大？例3-27 求数列.1222的最大项的最大项 nenn第15页/共59页第十六页，共59页。例3-28 曲线(qxin)y=4 x2 与直线 y=2x+1相交于A,B 两点,又C 是曲线(qxin)弧AB上任一点,求ABC 面积的最大值.例3-29 在曲线 y=x2 x 上求一点(y din)P,使P 点到定点A(0,1)的距离最近.例3-30 由直线 y=0,x=8及

16、抛物线 y=x2 围成一个(y)曲边三角形,在曲边 y=x2 上求一点,使曲线在该点的切线与直线 y=0及 x=8所围成的三角形面积最大.第16页/共59页第十七页，共59页。三、同步三、同步(tngb)测试测试 测试测试3-1 (一)、填空题（3分4=12分）1.取 f(x)=x3,F(x)=x2,在区间(q jin)1,2上适合柯西中值定理的 =2.曲线(qxin)xxxyln 的拐点是3.函数 y=ln(1+x2)的单调减少区间是4.曲线 y=(x 1)2 在 x=1处的曲率半径 R=914答答案案：21答答案案：答案：(-,2)23(232323 eee，答答案案：第17页/共59页第

17、十八页，共59页。(A)f(x)0,f(x)0;(B)f(x)0,f(x)0;(二)、选择题（4分3=12分）1.函数(hnsh)f(x)在(-,+)上二阶可导,f(x)为奇函数(hnsh),在(0,+)上 f(x)0,f(x)0,则 f(x)在(-,0)上有 .2.设两函数(hnsh)f(x)与g(x)在点x=x0处都取得极小值,则 f(x)g(x)在点x=x0处 .(A)不一定(ydng)取极值;(B)必取极小值;3.设 f(x)二阶可导,且 f(x)0,f(0)0,则在(0,+)上 必 .xxf)(A)单调减少;(B)单调增加;(C)先单调增加,后单调减少;(D)先单调减少,后单调增加.

18、答案：(D)答案：(A)答案：(B)(C)f(x)0,f(x)0;(D)f(x)0,f(x)0;(A)不能取极大值;(D)不能取极值;第18页/共59页第十九页，共59页。.)1ln(sin)1(22lim2220 xxeeexeexxxxxxx (三)、计算题（6分5=30分）1.求2.求3.求4.求5.求.111lim0 xxex.23limsin10 xxxxe .)sin(coslim210 xxxxx.lim10 xxxx21答答案案：61答答案案：e1答答案案：e答答案案：1答答案案：第19页/共59页第二十页，共59页。(四)、综合题（8分4=32分）1.在椭圆(tuyun)14

19、222 yx内嵌入面积最大且边平行(pngxng)于坐标 2.已知矩形的周长为 24,将它绕一边(ybin)旋转而构成一立体,问矩形的长、宽各为多少时,所得立体的面积最大.3.已知点(1,3)为曲线 y=x3+ax2+bx+14的拐点,试求 a,b 的值.4.讨论 y=xe-x 的增减性,凹凸性,极值,拐点,渐近线,并绘出图形.答案:a=-3 b=-9轴的矩形.答案:长：8；宽：422 2 ：，宽宽答答案案：长长：第20页/共59页第二十一页，共59页。(五)、证明题（7分2=14分）1.试证当 x 0时,ex 1 (1+x)ln(1+x).2.设 f(x)在a,b上连续(linx),在(a,

20、b)内可微(0 a b),试证存在 (a,b),使 2 f(b)f(a)=(b2 a2)f()第21页/共59页第二十二页，共59页。测试测试(csh)3-2 (一)、填空题（3分4=12分）1.设 y=x ln(1+x2)的单调增加(zngji)区间是 2.设 在点 处的曲率(ql)k=3.设 的凸区间为 4.函数 y=x 3x 的极小值点是 x=xey5203 2xey 2548答答案案：答案：(-,+)2030，2222，答答案案：3ln1 答答案案：第22页/共59页第二十三页，共59页。(二)、选择题（4分3=12分）1.设函数(hnsh)y=f(x)对一切 x 满足 x f(x)+

21、3x f(x)2 =1 e-x,若 f(x0)=0,x0 0,则 .(A)x0 是 f(x)的极小值点;(B)x0 是 f(x)的极大值点；(C)x0 不是 f(x)的极值(j zh)点;(D)(x0,f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点.2.函数 y=f(x)在函数 x=x0 处取得(qd)极值,则 .3.若 3a2 5b 0,则方程 x5+2ax3+2bx+4c=0必 .答案：(A)答案：(C)答案：(B)(A)f(x0)0;(B)f(x0)0；(C)f(x0)=0或 f(x0)不存在;(D)f(x0)不存在.(A)无实根;(B)有唯一实根；(C)有两个不同实根;(D)有三个不同实根.第2

22、3页/共59页第二十四页，共59页。.)31ln(3lim20 xxxx(三)、计算题（6分5=30分）1.求2.求3.求4.求5.求.sinlim20 xxexxx.7csc)3cos1(lim2xxx .cos45lim3sin102xxx .12tanlim1xxxx 1答答案案：29答答案案：92 e答答案案：1答答案案：989答答案案：第24页/共59页第二十五页，共59页。(四)、综合题（8分4=32分）1.设 f(x)=x3+ax2+bx 在 x=1处取得(qd)极小值-2,求a,b的值.2.设函数(hnsh)f(x)=x3+ax,当|x|2时,|f(x)|4,求a的取值范围.3

23、.讨论(toln)方程 1 x tanx=0在(0,1)内的实根情况.4.求.1arctanarctanlim2 nanann答案:a=0,b=-3答案:只有一个实根答案:a2433 a答答案案：第25页/共59页第二十六页，共59页。(五)、证明题（7分2=14分）1.设 ,且 f(x)0,试证 f(x)x.2.设 f(x)在 a,b上二阶连续可导，A(a,f(a)，B(b,f(b)连线与曲线(qxin)y=f(x)交于C(c,f(c)(a c b),试证存在一点 (a,b)，使 f()=0.1)(lim0 xxfx第26页/共59页第二十七页，共59页。证 令 f(x)=ex 1 ln(1

24、+x),则,11)(xexfx 有 f(0)=0,f(0)=2 0，即 ex 1+ln(1+x).例3-1 试证 x -1时,ex 1+ln(1+x).,)1(1)(2xexfx 故 f(0)为 f(x)的极小值,也是 f(x)于(-1,+)内最小值,因此(ync)f(x)f(0)，第27页/共59页第二十八页，共59页。例3-2 证明(zhngmng)当 0 x 2时,4xlnx x2 2x+4 0.证 令 f(x)=4xlnx x2 2x+4,则 f(x)=4lnx 2x+2,令 f(x)=0,得驻点(zh din)x=1,这是唯一(wi y)驻点.而,02)1()2(2)(fxxxf，故

25、 x=1是 f(x)的极小值点.又当0 x 2时,f(x)0,故曲线 y=f(x)在(0,2)内是凹的,故 x=1既是极小值点,又是最小值点,从而在 0 x 2中,有 f(x)f(1)=1 0，从而 4xlnx x2 2x+4 0.第28页/共59页第二十九页，共59页。例3-3 当 a 为正常(zhngchng)数,且0 x +时,证明(x2 2ax+1)e-x 1.证 令 f(x)=ex (x2 2ax+1),则 f(x)=ex 2x+2a,f(x)=ex 2,f(x)=ex 0.令 f(x)=0,得 x=ln2,f(x)在 x=ln2 处取得(qd)最小值,即 f(x)f(ln2)=2

26、2ln2+2a 0,从而 f(x)在 0,+)上单调(dndio)增加,即当 0 x +时 f(x)f(0)=0,就是 ex (x2 2ax+1)0，亦即 (x2 2ax+1)e-x 1.第29页/共59页第三十页，共59页。.1111lnxx 例3-4 证明(zhngmng)当 x 0时,证 令)0(1111ln)(，则，则 xxxxf,)0(0)1(1)(2 xxxxf故 f(x)单调(dndio)减少.又01111lnlim)(lim xxxfxx所以(suy),0)(lim)(xfxfx即.1111lnxx 本题也可以用拉格朗日中值定理证明：令 g(x)=lnx,区间是 x,x+1第3

27、0页/共59页第三十一页，共59页。例3-5 试比较(bjio)e 与 e 的大小.解 由于 e=eeln,问题转化为比较同底数得幂指数 e与 eeln的大小(dxio),只要比较 与 eln即可,令 f(x)=x elnx,xexxexf 1)(当 x e 时,f(x)0,f(x)单调增加(zngji),而 f(e)=0,从而 f(x)f(e)=0,又 e,故 f()0,有 eln 0,即有 e eeln 从而 e e.第31页/共59页第三十二页，共59页。例3-6 若 f(x)二阶可导,且 f(a)=f(b)=0(a b),试证明在(a,b)内至少(zhsho)有一点 ,使.|)()(|

28、)(4|)(|2afbfabf 证 此题用Taylor公式来证.分别(fnbi)在 a,b两点将 f(x)展开成Taylor公式,然后将 c),()()(21)()()()(112cafacafacafcf ),()()(21)()()()(222bcfbcbfbcbfcf 上两式相减并取|f()|=max|f(1)|,|f(2)|,有|)()(|221|)()(|212 ffabafbf|)(|)(|8)(212 ffab .|)(|4)(2 fab 代入,则有2ba 第32页/共59页第三十三页，共59页。例3-7 f(x)与 g(x)在a,b上连续(linx),在(a,b)内可微,且 f

29、(a)=f(b),证明存在 (a,b),使 f()+f()g()=0.分析(fnx)要证 f()+f()g()=0,若能证出 eg()f()+f()g()=0,即可,然而(rn r)等式的左端正是 F(x)=f(x)eg(x)在 x=处的导数.证 作辅助函数 F(x)=f(x)eg(x)F(x)=eg(x)f(x)+f(x)g(x)又 F(a)=f(a)eg(a)=0,F(b)=f(b)eg(b)=0 由罗尔定理,有 (a,b),使 F()=0，就是 eg()f()+f()g()=0，而 eg()0,故 f()+f()g()=0.第33页/共59页第三十四页，共59页。).(ln)()(fab

30、afbf 例3-8 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可微(0 a b),证明(zhngmng)存在 (a,b),使 证法一 对 f(x)与 g(x)=lnx 在a,b上用柯西中值定理(dngl)(条件显然满足),得),(1)(lnln)()(bafabafbf 整理(zhngl)即得所证结果，).(ln)()(fabafbf 证法二 令),(lnln)()()(xfabxafbfx 容易验证(x)在 a,b上满足罗尔定理的条件,故存在 (a,b),使 ()=0,即).()(ln)()(bafabafbf 第34页/共59页第三十五页，共59页。例3-9 设 f(x)与 g(x)在a,b上

31、连续(linx),在(a,b)内可微,对于 x(a,b),g(x)0,试证在(a,b)内必有,使.)()()()()()(gbgaffgf 证 令),()()()()()()()(agxgagbgafxfxfx 容易验证(x)在 a,b上满足罗尔定理的条件(tiojin),故存在 (a,b),使 ()=0,即,0)()()()()()()()()(agbgaffgaggff 则 .)()()()()()(gbgaffgf 第35页/共59页第三十六页，共59页。例3-10 设 f(x)在a,b上连续(linx),在(a,b)内可微,试证存在 ,(a,b),使 ).(2)(fbaf 证 对 f(

32、x)与 x2在a,b上使用柯西中值定理(dngl),存在 (a,b),使,2)()()(22 fabafbf 再对 f(x)在a,b上使用(shyng)拉格朗日中值定理,(a,b),使),()()(fabafbf 上两式相除即得).(2)(fbaf ,(a,b).第36页/共59页第三十七页，共59页。例3-11 求.2sin1lim4202xexxx 00型未定式,若直接使用洛必达法则(fz)计算 解 这是会相当麻烦(m fan),且很容易出现错误,而如果先作等价无穷小替换,则会简捷得多.因为(yn wi)sin42x (2x)4,故 原式=420)2(1lim2xexxx 306422li

33、m2xxexxx 20321lim2xexx xxexx642lim20 .321 第37页/共59页第三十八页，共59页。例3-12 求.11ln1lim1 xxx 解 这是 型未定式,若使用(shyng)洛必达法则需化为，型型型或型或 00 为此(wi c)要先通分.原式=xxxxxln)1(ln1lim1 xxxxxln111lim1 xxxxxln11lim1 xxln111lim1 .21 第38页/共59页第三十九页，共59页。例3-13 求.sinlim10 xxxx 解法一 这是 1 型未定式,需要(xyo)取对数.,sin 1xxxy 令令,sinln1ln xxxy xxx

34、xsinln1lim020sincossinlimxxxxxxx (洛必达法则(fz),02cossincoslim0 xxxxxx 原式=e0 =1.第39页/共59页第四十页，共59页。例3-13 求.sinlim10 xxxx 解法(ji f)二 注意到,021coslimsinlim020 xxxxxxx,011coslimsinlim00 xxxxxx 原式=2sinsin0sin1limxxxxxxxxxx =e0 =1.解法三 利用结论(jiln)补充公式之7,有 原式=xxxx11sinlimexp0 20sinlimexpxxxx xxx21coslimexp0 =e0 =1

35、.第40页/共59页第四十一页，共59页。例3-14 设 a 0,b 0,a 1,b 1,求.2limnnnnba 解法(ji f)一 原式=nbabannnnnnnba2)1()1(22221lim .)ln(ln21abeba 解法(ji f)二xxxxba 2lim11 xbaxbbaaxxxxx1)(1lnlnlimexp1111,2lnexpabab 原式=.2limabbannnn 第41页/共59页第四十二页，共59页。例3-15 求1lnlim arccot.xxx 解 原式=lnarccotexp limlnxxx211exp lim()arccotxxxx11exp lim

36、()arccotxxxxxx1exp lim()arccotxxx22111exp lim()xxx.1 e第42页/共59页第四十三页，共59页。例3-16 设 f(x)在 a,+)中二阶可导,且 f(a)0,f(a)0,又当 x a 时,f(x)0,证明(zhngmng)方程 f(x)=0在(a,+)内必有且仅有一个实根.证 唯一性：由 f(x)0知 f(x)在a,+)中单调(dndio)减少,即当x a 时,f(x)f(a)0,得 f(x)在(a,+)中单调减少.则方程 f(x)=0在a,+)最多只有(zhyu)一个根.由介值定理可知 f(x)=0在)()()()()()()()()(a

37、fafaaafafaffafafafaf 即,0)()(afafaf又 f(a)0，存在性：由拉格朗日中值定理 故 f(x)=0在(a,+)内仅有一个实根.)()(afafaa ，内必有实根.第43页/共59页第四十四页，共59页。例3-17 设 f(x)在 a,+)上连续,当 x a 时,f(x)k 0,其中 k 为常数(chngsh),又 f(a)0,证明：方程 f(x)=0在 kafaa|)(|，内有唯一(wi y)实根.证 唯一性：由题设在 kafaa|)(|，内,f(x)k 0,可知(k zh)在该区 间内 f(x)单调增加,因此 f(x)至多有一个实根.存在性：由拉格朗日中值定理,

38、kafaa|)(|，),(|)(|)(|)(|fkafafkafaf 再由题设,当 a时,f()k 0,于是有,0|)(|)(|)(|)(|)(|afafkkafafkafaf又 f(a)0,由零点定理,f(x)在 kafaa|)(|，内至少有一个零点,从而命题得证.第44页/共59页第四十五页，共59页。例3-18 试证方程(fngchng)x2=xsinx+cosx 恰有两个.证 令 f(x)=x2 xsinx cosx ,则 f(x)=2x xcosx=x(2 cosx)令 f(x)=0,解得 x=0,当 x 0时,f(x)0；x 0时,f(x)0,即函数分段(fn dun)单调.又 f

39、()=f()=2+1 0时,f(0)=1 0,故必有(,0)和(0,),使 f()=0,f()=0,又由 f(x)在(,0)和(0,+)分段单调,故只有(zhyu)两个实根.第45页/共59页第四十六页，共59页。例3-19 设(x)在x=0处二阶连续(linx)可导,且(0)=0,(0)0,证明曲线 y=f(x)=(1 cosx)(x)在 x=0处必出现拐点.证 f(x)=(1 cosx)(x)+(x)sinx,f(x)=(1 cosx)(x)+(2sinx)(x)+(x)cosx 当 x=0时,f(0)=(0)=0.xfxffx)0()(lim)0(0 xxfx)(lim0 xxxxxxx

40、xxxcos)()(sin2)(cos1lim0 =3(0)0.故曲线 x=0处必出现(chxin)拐点.第46页/共59页第四十七页，共59页。例3-20 求 y=x3 6x2+9x 4的极值(j zh).解法(ji f)一 y =3x2 12x+9=3(x 1)(x 3),令 y =0,得驻点(zh din)x=1,x=3,当x 1时,y 0；当1 x 3时,y 0；当 x 3时,y 0.y 极大(1)=0;y 极小(3)=4.解法二 y =6x 12 y(1)=6 0;y(3)=6 0.由第二充分性得 y 极大(1)=0;y 极小(3)=4.第47页/共59页第四十八页，共59页。例3-

41、21 若在 a 的邻域内 f(x)存在且连续(linx),证明).()()(2)2(lim20afhafhafhafh 证法(zhn f)一 由Taylor公式,在 a 的 h 邻域内,有),()2)(21)(2)()2(22hohafhafafhaf ),()(21)()()(22hohafhafafhaf 故 f(a+2h)2f(a+h)+f(a)=h2 f(a)+o(h2)从而(cng r).()()(2)2(lim20afhafhafhafh 证法二 用洛必达法则,有 20)()(2)2(limhafhafhafh hhafhafh2)(2)2(2lim0 2)(2)2(4lim0ha

42、fhafh ).(af 第48页/共59页第四十九页，共59页。例3-22 设在a,b上 f(x)0,证明(zhngmng)axafxfx )()()(在a,b上单调(dndio)增加.证2)()()()()()(axafxfxfaxx 2)()()()(axaxfxfax ).()()(xaaxfxf 由于 f(x)0,故 f(x)在a,b上单调(dndio)增加,因此 f(x)f(),故(x)0,(x)在a,b上单调(dndio)增加.第49页/共59页第五十页，共59页。例3-23 作函数(hnsh).)1(23的图形的图形 xxy解 定义域(,1)(1,+),x=1为间断(jindun

43、)点,)1()3(32 xxxy驻点(zh din)x1=0,x2=3,)1(44 xxy使 y =0,得x=0.,)1(limlim2311 xxyxx因为 得 x=1为铅直渐近线.该曲线无水平渐近线.因为,1)1(lim)(lim23 xxxxxyxx,2)1()1(lim)(lim223 xxxxxxyxx所以 y=x 2是斜渐近线.函数性态表如下第50页/共59页第五十一页，共59页。函数(hnsh)性态表 x)3,(),0()1,3(3)0,1()(xf)(xf 0)(xf 1 0 拐点(ui din)极大(j d)间断点xyo22 1 3 427 2 xy1 y 00第51页/共5

44、9页第五十二页，共59页。例3-24 求单位(dnwi)球的内接正圆锥体,其体积为最大时的高与体积.解 设球心到锥底面垂线(chu xin)长 x,则圆锥体高为 1+x (0 x 1),锥底半径为,12x 圆锥体体积(tj)为)1()1(322xxV ).10()1)(1(32 xxx),31)(1(3)(xxxV 令令 得唯一驻点,31 x.0)31(V 则.813231 max VV此时高为.34 第52页/共59页第五十三页，共59页。例3-25 在曲线 y=1 x2(x 0)上求一点P 的坐标,使曲线在该点处的切线(qixin)与两坐标轴所围成的三角形面积最小.解 设曲线(qxin)上

45、点为(x,1 x2),则该点处的切线为 Y=1 2xX+x2,它在两坐标轴上截距分别(fnbi)为.21,122xxx 故三角形的面积为),0(4)1()(22 xxxxS.4)13)(1()(222xxxxS 令 S(x)=0,得,31 x;0)(,310 xSx时时且当且当.0)(,31 xSx时时当当故所求点的坐标为.3231 ，P第53页/共59页第五十四页，共59页。例3-26 银幕高为 a m,银幕底边高出观众(gunzhng)b m,问观众(gunzhng)离银幕多远,才能使观众(gunzhng)看图象最清楚,即视角最大？解 如图,观众(gunzhng)眼睛为A点,C为银幕底边,

46、AB为 x m,20 ABDCabx求 tan 最大即可.,tan,)tan(xbxba tan)tan(1tan)tan(tan y,)(2bbaxax 2222)()(bbaxbabxay 令 y =0,得唯一(wi y)驻点,)(bbax 则当观众离银幕bba)(m时图象最清楚.第54页/共59页第五十五页，共59页。例3-27 求数列(shli).1222的最大项的最大项 nenn证 令),1()122()(22 xxxexfx)86(21)(22 xxexfx令 f(x)=0,得唯一(wi y)驻点,173 x;0)(,1731 xfx时时当当.0)(,173 xfx时时当当，时时故

47、当故当 173 x f(x)取得(qd)最大值,而,8173 7 ,36)8(23)7(87efef ，,136373623)8()7(eff故 n=7时,数列值最大.第55页/共59页第五十六页，共59页。例3-28 在曲线 y=4 x2 与直线 y=2x+1相交于A,B 两点,又C 是曲线弧AB上任(shng rn)一点,求ABC 面积的最大值.)3,1(B)5,3(Axyo)4,(2xxC 解 如图,设C(x,4 x2),ABC的面积(min j)为1531413121)(2 xxxS=2(x2 2x+3),S(x)=4x 4令S(x)=0,得x=1,S(1)=4 0,故S(1)=8为最

48、大值.第56页/共59页第五十七页，共59页。例3-29 在曲线 y=x2 x 上求一点P,使P 点到定点(dn din)A(0,1)的距离最近.解 设P(x,x2 x),则 d2 =x2+(x2 x 1)2,令 f(x)=x2+(x2 x 1)2,f(x)=2(x 1)2(2x+1),驻点(zh din)为,1,21 xx进一步判断(pndun)在21 x的左右两侧一阶导数变号,故 4321，P为所求点.最近距离为.45max d第57页/共59页第五十八页，共59页。例3-30 由直线 y=0,x=8及抛物线 y=x2 围成一个曲边三角形,在曲边 y=x2 上求一点(y din),使曲线在该点的切线与直线 y=0及 x=8所围成的三角形面积最大.解 如图,设所求切点(qidin)为P(x0,x02),切线PT交 x 轴于A,交直线 x=8于B,切线PT的方程为xyoPTBA8C y x02=2x0(x x0)则 2000168021xxBxA ，于是(ysh)三角形ABC的面积为则),80()16(2182102000 xxxxSABC，令令0)1616643(41 020 xxS，得得316 0 x,08)316(S又又.2174096)316(max S第58页/共59页第五十九页，共59页。