企业退休职工养老金制度改革模拟模型.doc

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1、企业退休职工养老金制度改革模拟模型摘要：当前我国已经进入老龄化社会。据预测，2030年以后，我国更将进入老龄化高峰时期。与发达国家不同，我国人口老龄化是在人均收入水平较低、养老保障体系还不完善的情况下出现的。因此，面对日益严重的老龄化问题，我国的社会养老保障体系需要进一步健全，制度运行还需要进一步完善。本文以山东省为例就我国养老金制度涉及的相关问题进行了全面深入的讨论和分析。针对问题一，首先运用灰色预测方法对附表1中的数据进行拟合,得出平均工资呈指数增长趋势。考虑到平均工资要受国家宏观调控等因素影响，在作出简化、合理的假设后，运用阻滞增长模型（Logistic模型）中的最小二乘法得出平均工资与

2、时间的关系式，进而预测出未来25年的职工平均工资（见表6）。针对问题二，结合问题一中预测值及附表3中给出的公式，得出替代率公式(见公式13),并计算出六种情况下的替代率分别为：，。 针对问题三，根据已知条件，计算出该职工的缴存养老金总额与其退休后领取养老金总额之差，得出各种条件下的缺口情况是：元，元，元。然后，在保证其缴存的养老保险基金与所领取的养老金之间达到收支平衡的情况下，用C语言编程分别计算出领取养老保险金的年龄分别为：岁，岁，岁。 针对问题四，对问题二、问题三中求出的替代率及缺口情况的值进行分析，找出与替代率和维持养老保险基金收支平衡相关的因素，分别对这些因素提出相应的合理措施。关键词

3、：养老金 最小二乘法 替代率 阻滞增长模型 缺口情况1 问题重述 养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。基本养老金是退休人员晚年生活的物质保障,属于国民经济收入再分配的范畴。企业养老保险既是社会保险制度中一项非常重要的内容，又是社会保障体系的重要组成部分。 养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发

4、达国家水平。企业职工养老保险制度改革，是保障退休职工生活，维护社会安定的一项重要措施，对减轻国家和企业负担，促进经济体制改革以及合理引导消费有重要作用。1、附表1：山东省职工历年平均工资统计表。2、附表2：2009年山东省某企业各年龄段工资分布表。3、附表3：个人账户养老金计发月数表。1、我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，这两个账户我们合称为养老保险基金，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。2、退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前

5、一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金，养老金会随着社会平均工资的调整而调整。3、如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。4、参加市城镇企业职工基本养老保险社会统筹的人员，达到国家规定的退休年龄50岁、55岁和60岁，实际缴费年限满15年以上的，按月计发基本养老金。1.4问题提出1、对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至20

6、35年的山东省职工的年平均工资。2、根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。3、假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。4、如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认

7、为可以采取什么措施。请给出你的理由。2 问题分析一的分析 本问题要求对未来中国经济发展和工资增长的形势做出简化、合理的假设，从而预测出从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。分析附件1中所给出山东省历年职工平均工资的数据，发现其逐年呈递增趋势，因此认为未来25年的平均工资也将呈递增趋势，为此决定用灰色预测拟合出职工平均年工资与时间之间的曲线图（见图1）。由图1可知其确实呈指数增长趋势，考虑到会受到国家宏观调控等因素的影响，不可能一直呈指数增长趋势。所以决定运用阻滞增长模型（Logistic模型）对问题进行求解。在模型建立的过程中，先将附表1中的数据用数值微分的三点公式计算出平均工资的

8、增长率（见附表4）。考虑到在该问题中，阻滞作用主要体现在对职工平均工资增长率的影响上，使得增长率随着职工平均工资人的增加而下降。因此，利用阻滞增长模型进行拟合画出增长率随着职工平均工资的增加而变化的曲线图，但在预测前，对预测影响较大的异常数据，如2010年职工平均工资的增长较大，进行了删除。再求出职工平均工资与时间之间的关系表达式，画出职工平均工资与时间之间的关系图（见图2），最后将2011年至2035年的时间代入关系表达式得出职工当年平均工资值。题中需要计算该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。替代

9、率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。所以利用附件2中给出2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资，求出它们之比，把这些比值看作职工缴费指数的参考值。由于2009年该企业各年龄段职工工资等于各年龄段的职工工资与对应的人数乘积和与各年龄段职工人数和的比值，该企业平均工资等于各年龄段职工平均工资的平均值。而企业缴纳基本养老保险费(以下简称企业缴费)的比例，一般不得超过企业工资总额的20%(包括划入个人帐户的部分)，企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户；因而可知，职工工资总额的12%缴纳到社会统筹基金账户，将职

10、工工资的8%缴纳到个人账户，在个人帐户里需要考虑存款里得到的利息。最后根据附件3中给出的公式，计算得出30至55岁、30至60岁、30至65岁、40至55岁、40至60岁、40至65岁六种情况下的养老金替代率。本题首先要求计算养老保险基金的缺口情况，再计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差，而收支平衡是指职工缴存的养老保险基金总额与职工退休后领取的养老金总额相等。对已知条件进行分析，此问题需要划分为三种情况来考虑，即退休年龄分别为55岁、60岁和65岁。根据我国现行养老金的计算方法进行计算，存在

11、养老保基金收支不平衡的情况，因此，需先后求出职工缴存的养老保险基金总额和职工退休后领取的养老金总额，然后对其进行作差，得出缺口情况，差值越大就说明缺口情况越严重。而要计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。则先利用求出的职工退休后领取养老基金与领取时间的关系式，将其值等于职工缴存的养老保险基金总额，得出的时间就是该职工缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡的年龄。 本题要求在达到目标替代率的同时，又要维持养老保险基金收支平衡，而需要采取的相应措施，因此可对问题二、问题三结论进行分析，得出影响目标替代率的因素，和影响养老保险基金收支平衡的

12、因素。再对这些因素进行综合分析，得出最佳的采取措施。3 模型假设1、假设在预测时间段内，我国经济增长平稳，工资增长在国家宏观调控范围内。2、职工人数不包括退休后再返职的人员，也不考虑中途下岗人员数量的变动。3、将30至34岁年龄段的职工人数视为30岁职工人数，40至44岁年龄段的职工人数视为40岁职工人数。4、价格和工资是可变的，劳动力永远是充分就业的。5、职工在职期间缴纳养老金是按年进行，职工退休后领取养老金按月来领取。6、不论有无经济危机等重大事件，该企业都能正常运营且员工的平均工资增长符合山东省工资增长规律。7、假设该职工在一年中每个月领取的养老金是相同的，当年领取的养老保险金不计利息，

13、而剩余的养老保险金计算利息。4 符号约定：职工平均工资增长率。：职工平均工资。：最大职工平均工资数量。：时间。：养老金替代率。：退休时养老金。：退休前工资。：基础养老金。：个人账户养老金。：个人账户储存额。：本人指数化月平均缴费工资。：计发月数。：职工个人工资年增长率为。：个人缴费和单位补助的合计缴费率。：就业年限即缴费年限。：个人账户利率。：参保人员退休前年本人缴费工资额。：参保人员退休前年全国/省/地市“职工平均工资”或称“社会平均工资”。：该企业某职工开始缴养老保金时的岁数。：该企业某职工退休时的岁数。：该企业某职工其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间的收支平衡点的年龄。：该企业某职

14、工参加养老保险第一年的月平均工资。：该企业某职工在其连续缴费年中，个人共缴纳养老金。：该企业某职工在其连续缴费年中，企业共缴纳养老金。：该企业某职工在其连续缴费年中，缴存养老金总额。：该企业某职工领到养老金总额。：该企业某职工在第年领取的养老金。：该企业某职工在第年第个月领取的养老金。：第年养老保险基金的缺口情况。：平均缴费指数。：全省上年度在岗职工月平均工资。：该企业第年龄段职工工资。：该企业平均工资。5 模型的建立与求解.1问题一模型建立 给出简单合理的假设1、假设2和假设4，观察附表1山东省历年职工平均工资统计表，其数据呈递增趋势，首先运用灰色预测对问题进行初步预测，然后用MATLAB进

15、行拟合，得出职工平均工资与时间的关系图（见图1）。图1：增长模型拟合图形（以1978年为起点）由图1可知，职工平均工资随时间呈现指数增长，从点50（2028年）起职工平均工资增长迅速，由于国家会对职工平均工资进行宏观的调控，不会出现职工平均工资随时间呈现指数增长，因此本问题运用阻滞增长模型。运用EXCEL计算出山东省历年职工平均工资的增长率，其结果见附表4。职工平均工资增长到一定数量后增长率下降的主要原因是由于自然资源、环境条件等因素对职工平均工资的增长起到阻滞作用，并且随着职工平均工资的增加，阻滞作用越来越大。阻滞作用体现在对职工平均工资增长率的影响上，使得随着职工平均工资的增加而下降，若将

16、表示为函数，则它是减函数。运用阻滞增长模型（Logistic模型），得出方程： （1）对的一个最简单的假定是，设为的线性函数，即 。 （2）式（2）中称为固有增长率，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大职工平均工资数量，称为职工平均工资容量。当时人口不在增长，即增长率，代入（2）式得，于是（2）式为 （3）将（3）式代入（1）式得： （4）（4）式中因子体现职工平均工资自身的增长趋势，因子体现了资源和环境对职工平均工资增长的阻滞作用。将（4）式用分离变量法求解得到： （5）参数估计：为了利用简单的线性最小二乘法估计这个模型的参数和，将方程（4）表为： （6）上式左端可以从附表1的数据用数据用数

17、值微分算出，右端对参数是线性的。利用1978年至2009年的数据（去掉2010年的异常数据，因为2010年与2009年职工平均工资的差值较大），运用MATLAB软件计算得到，。将其值代入（5）式得出： （7）结果分析：为了便于计算，认定1978年代入（7）式计算职工平均工资，1979年依次类推，将其计算结果与实际数据作比较，结果如表5。表5 阻滞增长模型拟合山东省职工平均工资（元）的结果表年份19781979198019811982198319841985实际工资5666327457557697899851110计算工资56663270678888098310971225年份198619871

18、98819891990199119921993实际工资13131428178219202150229226013149计算工资13681527170419012120236526362939年份19941995199619971998199920002001实际工资433851455809624168547656877210007计算工资32753648406245215030559362166904年份20022003200420052006200720082009实际工资1137412567143321661419228228442640429688计算工资7662849894161042

19、511529127371405415487根据表1中得到的计算工资，画出计算职工平均工资与实际职工平均工资的拟合图（见图2）。图2 阻滞增长模型拟合图形（以1978年为起点）根据图2可知，这个模型前半部分拟合吻合的不错；后半部分职工实际平均工资与职工计算平均工资都呈增长趋势，其增长趋势大致相同，因此可以说明模型建立是合理可靠的。5.1.2问题一的求解 应将2011年至2035年对应的值代入（7）式求出未来35年每年的职工平均工资，其结果见表6。表6 2011至2035年山东省某企业职工平均工资（元）的预测值表年份2011201220132014201520162017预测工资 18723205

20、372248524571267952915631652年份2018201920202021202220232024预测工资34278370263988742850459004902352201年份2025202620272028202920302031预测工资55415586466187465079682417134374368年份2032203320342035预测工资77301801288283985425问题二模型的准备根据附表2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比（见表7），该企业平均工资等于各年龄段职工平均工资的平均值。表7 各年龄段职工平均工资及与企业平均工资（

21、元）的比值表年龄段20-24岁25-29岁30-34岁35-39岁40-44岁45-49岁50-54岁55-59岁职工平均工资 比值 由表7的数据分析可知：年龄从30岁之后的职工工资与该企业平均工资之比均大于1，若其缴费率一直大于1，说明该企业经营效益尚好，无拖欠养老保险费。.2问题二模型的建立养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡，影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。参考附件3中的养老保险的计算办法，计算每个量。需要求的养老金替代率，其中为退休时养老金，为退休前工资，在此退休前为职工退休前一年的工资，工资职工退休时的养老金由两

22、部分组成： ，其中为基础养老金，为个人账户养老金，因此需要对每一个需求的量进行求值。个人账户养老金：，其中为个人账户储存额，为计发月数，计发月数可根据附表3查得，需要求出个人账户储存额。设职工就业第一年工资收入为，职工个人工资年增长率为，个人缴费和单位补助的合计缴费率为，就业年限即缴费年限为（），个人账户利率。假定个人缴费和单位补助全部计入个人账户（即缴费率等于及费率），缴费时间在每年年初，则有各年的缴费在就业期末的终值为：第1年初缴费到年末的利息额： ，第2年初缴费到年末的利息额： ，第年初缴费到年末的利息额： 。设职工在第年末退休时个人账户养老金储存额为： （8）职工退休前一年的工资可表示

23、为： ， (9)由（8）式得出，个人账户养老金： （10）基础养老金：，其中为全省上年度在岗职工月平均工资，为本人指数化月平均缴费工资，为缴费年限。本人指数化月平均缴费工资： （11）公式(9)中，为参保人员退休前年本人缴费工资额，其中；为参保人员退休前年全国/省/地市“职工平均工资”或称“社会平均工资”， 其值取职工退休前年对应的预测职工平均年工资额；n为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数合计（可以简单认为等于12m，m为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限），称为退休前第i年的缴费指数，i=1,m。全省上年度在岗职工月平均工资等于全省上年度在岗职工年平均工资除以12，所以,基础养老金

24、 = (12)由（9）、（10）、（11）、（12）式得出养老保险替代率：（13）问题二模型的求解将考虑的6种缴费情况，分别计算养老金替代率。第一种情况（从30岁开始缴养老保险一直缴到55岁退休）：把，（其中企业缴费20%，职工本人缴费8%）， 依次为表6（见P8）中的个值，参考附表1可知全部代入（13）式中得出替代率：。同理可得，第二种情况（从30岁开始缴养老保险一直缴到60岁退休时）：。第三种情况（从30岁开始缴养老保险一直缴到65岁退休时）：。第四种情况（从40岁开始缴养老保险一直缴到55岁退休时）：。第五种情况（从40岁开始缴养老保险一直缴到60岁退休时）：。第六种情况（从40岁开始缴

25、养老保险一直缴到65岁退休时）：。结论：由上面计算的结果得到六种情况的替代率表（见表8）。表8 六种情况的替代率表退休年龄开始缴费年龄55岁60岁65岁30岁23.26%30.47%41.27%40岁15.20%21.23%由表8可知，在开始缴费年龄相同的情况下，替代率随着缴费年限的增加而增长。当缴费年限相等时，替代率随着开始缴费年龄的增长而降低。.1问题三模型的建立 以计算某个职工从30岁开始缴养老保险，一直缴到退休（55岁、60岁、65岁），并退休后一直领取养老金，至75岁死亡情况时的养老保险基金的缺口情况，和计算该职工领取养老保险金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老保险基金之

26、间达到收支平衡为例；可以计算出其他职工的缺口情况及领取养老保险金的时间。 计算职工缴存养老保险基金总额。假设某人岁开始缴养老保金，岁退休，为其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间的收支平衡点的年龄，参加养老保险第一年的月平均工资为，岁退休时对应的个人账户计发月数为，为了便于计算，假设该人的月平均工资与社会月平均工资相等，其工资年增长率与社会工资增长率均为，需要考虑利率因素。个人缴纳养老保险金第一年与最后一年均缴纳的工资均没有工资年增长率。那么，按照现行政策，在其连续缴费年中，个人共缴纳元，并全部计入个人账户。企业共缴纳元，并全部计入社会统筹账户，其社会统筹账户中储存额没有利率。该职工缴存养老

27、金总额： （14）计算该职工退休后领取养老金总额。该职工退休时，由于领到的养老金都随社会平均工资的变化而变化，领取养老金后剩余额部分在下次领取时需要对其考虑其利率。利用假设7将其值平均分给每个月，剩余养老保险金在下一年领取时需要计算其利率，一年内养老保险金领取的养老金在不同月份里领取不计其利率。平均缴费指数：，其中为该企业各年龄段职工工资，为该企业平均工资。第一年从个人账户领到的养老金为元，若对剩余的养老金需要考虑利率，则第二年从个人账户领到的养老金为元，第年从个人账户领到的养老金为元。因此，第一年即岁时可以领取到养老保险金元，其中为全省上年度在岗职工月平均工资。第二年可以领到养老金元，最后一

28、年即岁时可以领到养老金元，则该职工领到养老金总额元， （15）由该职工缴存养老金总额与该职工领到养老金总额元，可得出养老保险基金的缺口情况： （16）问题三模型的求解 本问题分为三种情况，分别求出缺口情况。第一种情况（从30岁开始缴养老保险一直缴到55岁退休75岁死亡）：将，参加养老保险第一年的月平均工资为，（14）式、（15）式代入（16）式可得缺口情况：元 同理可得： 第二种情况（从30岁开始缴养老保险一直缴到60岁退休，75岁死亡）：缺口情况：元第三种情况（从30岁开始缴养老保险一直缴到65岁退休，75岁死亡）：缺口情况：元注：若的值大于零则出现缺口情况，小于零则无缺口情况。若该职工缴存

29、养老金总额与该职工领到养老金总额元相等，则说明缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。令，由（14）式、（15）式求出年龄，此时的即为其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间的收支平衡点的年龄。由于这样计算计算复杂，难以求出结果。因此，运用试探的思想进行求解，将取一个值代入式子计算出缺口情况，若值为较大的正数则说明的值取小了，若值为较大的负数则说明的值取大了，若值为接近于0的正、负数则说明的值为所求。第一种情况（从30岁开始缴养老保险一直缴到55岁退休）：岁。第二种情况（从30岁开始缴养老保险一直缴到60岁退休）：岁。第三种情况（从30岁开始缴养老保险一直缴到65岁退休）：岁。结论

30、：由上面计算的结果得到三种情况的替代率见表9。表9 从30岁开始缴费三种情况的缺口情况及支收平衡点数表55岁退休60岁退休65岁退休缺口值平很年龄67岁71岁74岁由表9可知，当开始缴费年龄相同时，缺口情况随着缴费年限（退休年龄）的增长而减小。缺口情况减少说明职工缴存养老金总额与退休后领取养老金总额的差值缩小，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间易达到收支平衡。在当前我国人口老龄化日趋严重的社会背景下,只有不断进行养老保险制度创新,建立综合养老保险制度,才能应对养老保险供不应求的社会矛盾。如何完善我国的养老保险制度，根据上述分析，认为主要从以下几个方面着手进行解决：（1）延长职工退休年龄。

31、延长职工退休年龄即间接的增加缴费年限，可以缩短平均享用养老金年限，即使养老金的替代率增大，又减小了养老金的缺口情况。提高退休年龄就必然会遇到如何解决就业压力过大的“难题”，为解决这一矛盾和问题,应该延长年轻人的教育年限,限制就业的最低年龄（2）增加职工缴费年限。缴费年限越长,缴费额就越大,个人账户的总积累额就越多,退休后领取的基础养老金也就越多。（3）尽快改革现有的按工资指数化的管理方法。以相应的减轻养老金支付负担和转制成本，从而缓解养老基金收支不平衡的状况。（4）提高缴费基金。长期以来我国企业的缴费基数往往与实际上的工资总额不相符，主要表现在两个方面：一是由于企业工资计发口径、办法经常发生变

32、化，许多企业在申报工资总额，甚至出现“协议缴费”现像，导致申报数小于应缴数；二是由于企业经营困难，应为职工增长的工资不能兑现，导致保险基金缴费基数增长缓慢，基金收入相应减少。新政策实施后,以社会月平均工资与个人指数化月平均工资额的平均值作为计发基础养老金的基础。新政策利用利益机制解决了一些企业或个人少缴保险费的难题,有利于增加养老基金的收入。（5）实施家庭养老和社会养老相结合的养老方式。这就要一方面制定有利于家庭养老的政策措施,另一方面发展多种形式的养老机构,使养老服务社会化。（6）扩大基金来源渠道,建立多层次的养老保险体系 。提高养老金保值增值的能力,实行国有资产变现,发行社保长期债券,进入

33、资本市场等措施,把社保基金做大。（7）鼓励个人缴费与退休待遇挂钩,实施积极的促进劳动和就业的养老保险制度。推行缴费与待遇相关联的养老保险制度,强调养老保险提供中权利与义务的对等关系,对于调动个人工作积极性,带来更多的社会产出以应对老龄人口的需求具有更积极的意义。6 模型评价1、阻滞增长模型从一定的程度上克服了指数增长模型的不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测。2、问题三中改进的模型，对剩余养老金考虑考虑了利息，建立的模型与实际紧密联系，从而使模型更贴近实际，通用性、推广性较强。3、问题一的模型中图表的结合应用真实，直观地反映了预测情况。4、所建立的模型有成熟的理论基础，可信度较高，基本假设

34、具有合理性，结果具有正确性、准确性，语言简洁，具有可读性。5、利用数学工具，通过MATLAB，EXCEL，C语言编程的方法，严格地对模型来求解，具有科学性。 本模型为方便建立模型，因此简化了一些条件，如：求该职工退休后领取养老金总额时，假设一年中每个月领到的养老金是相等的，每年领取的养老金不同，一年中未领取的养老金额其利息不进行计算；其实际情况不会这样，每个月领到的养老金是不相等的。7模型的改进和推广问题三中建立的模型是在理想条件下建立的，其假设一年中每个月领到的养老金是相等的，每年领到的养老金不同，在上一年中会领取的养老金不计算其部分没有领取养老金的利息，如：在2025年要领取养老金元，20

35、25年每个月领取养老金为元，其第一个月领取养老金为元，剩余的养老金为元不会计算其利息。实际情况并非如此，据部分资料可知，职工退休后每个月领到的养老金是不相等的，且未被领走的养老金的利息需要计算。因此，对问题三中的模型进行改进。该职工退休前缴存的养老金总额是不变的，该职工退休后领取养老金总额需要改进。计算退休职工每月领取养老金，第一个月从个人账户领到的养老金为元，若对剩余的养老金需要考虑利率，则第二个月从个人账户领到的养老金为元，第各月从个人账户领到的养老金为元。因此，第一年即岁的第一个月时可以领取到养老保险金元，第一年即岁的第二个月时可以领取到养老保险金元，以此类推，第一年即岁的第十二个月时可

36、以领取到养老保险金元，第二年第一个月可以领到养老金元，第年第个月可以领到养老金元，则该职工领到养老金总额元，由该职工缴存养老金总额与该职工领到养老金总额元可得出养老保险基金的缺口情况： 模型的推广 企业退休职工养老金制度的改革模型，不仅用于养老保险这方面，还可以用于老人买社保问题，买医保等问题。此外，模型中的灰色预测还可以应用到对旱灾、洪涝等预测问题中。8 参考文献1 曾纪洁，养老保险精算模型研究J，华东师范大学硕士论文，第18页，2005年6月。2 李雪，理想与现实：延长退休年龄解决养老金空帐的可行性研究J，吉林大学，第15页到第17页，2008年。3 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型M，北京

37、：高等教育出版社，2003。4 吕志勇，王霞，张良，新政策下养老保险基金收支平衡精算模型的相关因素分析J以山东省为例，山东大学学报，2009年第1期：第2页至第9页，2008.7.1。5 吴建国，数学建模案例精编M，北京：中国水利水电出版社，2005。6 ER/OI，访问时间：2011年9月9日至11日。7 Wayne L. Winston，运筹学概率模型应用范例与解法M（第4版），北京：清华大学出版社，2006。8 赵静，但琦，数学建模与数学实验M，北京：高等教育出版社，2002。9 艾冬梅，李艳晴，张丽静，MATLAB与数学实验M，北京：机械工业出版社，2010.4。9 附录1、相关数据表

38、：附表1 山东省职工历年平均工资统计表年份19781979198019811982198319841985198619871988平均工资5666327457557697899851110131314281782年份19891990199119921993199419951996199719981999平均工资19202150229226013149433851455809624168547656年份20002001200220032004200520062007200820092010平均工资87721000711374125671433216614192282284426404296883

39、2074附表2 2009年山东省某企业各年龄段工资分布表年龄段月收入范围（元）1000-14991500-19992000-24992500-29993000-34993500-39994000-49995000-800020-24岁职工数741652616100025-29岁职工数36829442630030-34岁职工数03283952462035-39岁职工数011748336164240-44岁职工数004386552113345-49岁职工数033232644118450-54岁职工数07232944218355-59岁职工数06172737770附表3 个人账户养老金计发月数表退休

40、年龄计发月数退休年龄计发月数402335616441230571584222658152432235914544220601394521661132462126212547208631174820464109491996510150195669351190678452185687553180696554175705655170附表4 山东省历年职工平均工资的增长率表年份19791980198119821983198419851986增长率0.17880.1269年份19871988198919901991199219931994增长率年份1995199619971998199920002001

41、2002增长率88年份20032004200520062007200820092010增长率32、程序问题一的程序：程序一：clc,clearx0=566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074;n=length(x0);lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n)range=minmax(lamda)x1

42、=cumsum(x0)for i=2:nz(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1);endB=-z(2:n),ones(n-1,1);Y=x0(2:n);u=BYx=dsolve(Dx+a*x=b,x(0)=x0);x=subs(x,a,b,x0,u(1),u(2),x1(1);yuce1=subs(x,t,0:n-1);digits(6),y=vpa(x) %为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解yuce=x0(1),diff(yuce1)epsilon=x0-yuce %计算残差delta=abs(epsilon./x0) %计算相对误差rho=1-(1-0.5*u(1)/(

43、1+0.5*u(1)*lamda %计算级比偏差值yy=ones(n,1);yy(1)=x0(1);for i=2:n yy(i)=yy(i-1)+x0(i);endB=ones(n-1,2);for i=1:(n-1) B(i,1)=-(yy(i)+yy(i+1)/2; B(i,2)=1;endBT=B;for j=1:n-1 YN(j)=x0(j+1);endYN=YN;A=inv(BT*B)*BT*YN;a=A(1);u=A(2);t=u/a;t_test=25;i=1:t_test+n;yys(i+1)=(x0(1)-t).*exp(-a.*i)+t;yys(1)=x0(1);for

44、j=n+t_test:-1:2 ys(j)=yys(j)-yys(j-1);endx=1:n;xs=2:n+t_test;yn=ys(2:n+t_test);plot(x,x0,r,xs,yn,*-b);title(山东省1978-2035年平均工资预测值)ylabel(生产总值（万元）)xlabel(年份（以1978年为起点）)det=0;for i=2:n det=det+abs(yn(i)-x0(i);enddisp(2011-2035年预测值为： ,num2str(ys(n+1:n+t_test); 程序二：clc,cleart=1978:2009;y=566 632 745 755

45、769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688;r=size(y,2);dy=y(2:r)-y(1:r-1);dt=t(2:r)-t(1:r-1);dydtx=(dy./dt)./y(2:r)%计算（dy/dx）/xp=polyfit(y(2:r),dydtx,1);disp(1、求增长率 r:),r=p(2)disp(2、求最大工资 xm:),s=p(

46、1);xm=r/s程序三：for x=0:1:57;%表示年份从1979到2009年y=116290/(1+204.4594*exp(-0.1112*x)%山东省每年职工平均工资 end程序四：clc,clearx1=566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688;x2=566 632.6 706.6 788.6 880.

47、6 983.6 1100 1230 1370 1530 1070 1900 2120 2370 2640 2940 3280 3650 4060 4520 5030 5590 6220 6900 7660 8500 9420 10400 11500 12700 14054 15500;t=1978:2009;plot(t,x1,o-)hold on,plot(t,x2,+m)title(山东省平均工资拟合图（以1978年为起点）)xlabel(年份),ylabel(平均工资（元）)legend(x1为实际值,x2为计算值) 问题三的程序：程序五：/计算企业共缴纳额#includevoid ma

48、in()int i,n=23;double w=2534.6,sum=0.0,t=1.0,p2;for(i=0;i=n;i+)t=1.1112*t;sum=sum+t;p2=0.2*w*12*(sum+1);printf(p2 is:%fn,p2);/个人共缴纳额#includedouble chengfang(double a)double s,p;p=a*a;for(int i=0;i2;i+)p=p*p;s=p*p*p;return s-1;void main()double aa=1.144536,s1,s2;double ss,q;s1=chengfang(aa);ss=0.08*1

49、2*2534.6;q=s1/0.144536*1.03+1;ss=ss*q;/ss=0.08*2534.6*(1-s1)(1-s2)*1.03/(0.1112*0.03);printf(ss is %fn,ss);程序七：/计算一生共领取到得养老金（55岁退休）#include void main() int i,n;double t1=1.1798,t2=1.03,sum1=0.0,sum2=0.0;double k1,k2,p;for(i=24;i=43;i+)t1=1.1798*t1;sum1=sum1+t1;for(n=0;n=19;n+)t2=1.03*t2;sum2=sum2+t2

50、;k1=180.682*sum1;k2=251.67*sum2;p=12*(k1+k2+79591);/总共领取的养老金printf(p=%fn,p);程序八/计算职工领取养老金到什么岁数/用代入数据法#include void main()int i,n;double t1=1.1112,t2=1.03,sum1=0.0,sum2=0.0;double k1,k2,p;for(i=24;i=35;i+)/c为岁数35=c-32t1=1.1112*t1;sum1=sum1+t1;for(n=0;n=11;n+)t2=1.03*t2;sum2=sum2+t2;k1=sum1;k2=7.943*sum2;p=12*(k1+k2+150.7284);/总共领取的养老金printf(p=%fn,p);