教案：棱锥的体积

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1、9.4 棱锥的体积教学目的：1. 理解等底等高的两个棱锥的体积相等2. 掌握棱锥的体积公式教学重点难点：重点：棱锥的体积公式难点：用割补法推导棱锥的体积公式教具：运用PowerPoint和几何画板制作课件教学过程：一、 复习、引入在生产实际中，人们常常遇到体积的计算问题，如古埃及人建造金字塔时，需要计算建材数量和体积。师：金字塔可以抽象地看作如何的多面体？学：可以看作棱锥。师：人们规定金字塔的体积这样的实际问题，可以抽象成如何的数学问题？学：可以看作是求棱锥的体积问题。师：这就是今天这节课所要研究的问题：如何计算棱锥的体积。二、 探求棱锥的体积公式（一） 三棱锥的体积公式三棱锥是最基本的棱锥，

2、其地位犹如多边形中的三角形，任意一种多边形总可以分解成若干个三角形，任意一种多面体总可以分解成若干个三棱锥，因此先探求三棱锥的体积公式。师：人们回忆一下，棱柱的体积可以如何求？学：棱柱的体积等于底面积乘以高。师：那么，棱柱的体积公式又是如何推得的？学：运用长方体体积公式和祖暅原理，可推得棱柱的体积公式。师：三棱锥的体积公式又可以如何推导呢？学：可以运用棱柱的体积公式来推导。师：较好。人们思考一下，如何将三棱锥与棱柱建立起一定的联系呢？学：可以添加某些辅助线。过A作ABD且A=BD,ABC且A=BC,连、，则将三棱锥补成一种三棱柱。师：人们观测一下，本来的三棱锥与目前的三棱柱之间体积有如何的关系

3、？学：这个三棱锥与三棱柱的底面积是相似的，高也是相等的。师：由三棱锥补成三棱柱，在这个过程中，补上了如何的一种多面体？学：四棱锥。师：既然四棱锥的体积公式是未知的，与否能将四棱锥进一步转化为三棱锥呢？学：可以连接，将四棱锥割成两个三棱锥。 师：较好。同窗们分析一下，这个三棱柱是由那些多面体构成的，这些多面体之间又有如何的联系？请人们画出这些多面体。学：在这个三棱柱中的多面体有：三棱锥、三棱锥、三棱锥。 师：它们有如何的关系？学：三棱锥与三棱锥是等底等高的三棱锥。师：那么它们的体积又有如何的关系呢？人们猜想一下。学：也许相等。（二）证明命题：等底等高的两个棱锥的体积相等。师：要证明两个几何体的体

4、积相等，我们可以运用什么原理来证明？学：祖暅原理。师：祖暅原理是如何表述的？学：祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。教师展示课件，请人们看两个截面面积会如何变化呢？ 学：在平面平行于平面运动的过程中，两个截面面积始终相等。师：已知：两个棱锥底面积都是S，高都是h求证：两个棱锥的体积相等证明：把两个棱锥的底面放在平面内。任意作平行于的平面去截两个棱锥，设平面与两个棱锥顶点都相距，所得截面面积为、人们想，可以如何证明两个截面面积相等呢？学：可以运用棱锥的性质：棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面面积和底

5、面面积之比，等于顶点到截面与顶点究竟面的距离平方之比。师：根据棱锥的性质，得，因此，。由祖暅原理可知两个棱锥体积相等。因此，等底等高的两个棱锥，它们的体积相等。（三）进一步探求三棱锥体积公式师：刚刚同窗已经发现三棱锥与三棱锥是等底等高的三棱锥，于是它们的体积如何？学：相等。师：其他几种三棱锥又有些什么关系？学：三棱锥和三棱锥有公共顶点A，它们的底面积相等，高都为点A到平面的距离，因此。由此这三个棱锥的体积相等。师：那么，一种棱锥的体积占这个棱柱体积的几分之几？学：三分之一。师：如果棱柱的底面积为S，高为h，那么棱柱体积为什么？学：V=Sh师：此时，棱柱体积为什么？学：师：这就是三棱锥的体积公式

6、（四）棱锥的体积公式师：通过推理，我们一起得到了三棱锥的体积公式，如何进一步推广，得到棱锥的体积公式？学：任意一种棱锥总能找到一种与其等底等高的三棱锥，又由于等底等高的两个棱锥，它们的体积相等，因此如果一种棱锥的底面积为S，高是h，那么它的体积是 （五）分析推导棱锥体积过程中的重要思路1.补多面体 最初但愿运用棱柱的体积来推导棱锥的体积，如何将棱锥转化为棱柱，就要恰当的补多面体。2.分割多面体 补上一种四棱锥，为进一步分析问题，可以再将其分割为两个三棱锥。3.可以从多种角度研究三棱锥 根据需要，可将点A看作顶点，也可将点C看作顶点。三、 棱锥体积公式的应用例解 设正方体的棱长为a，则正方体体积为 因此三棱锥B-EFG的体积占正方体体积的四、思考题例 已知正四周体的棱长为a，求正四周体的体积。五、小结1.等底等高的两个棱锥的体积相等2. 如果一种棱锥的底面积为S，高是h，那么它的体积是 3.在立体几何解决问题的重要思想 割、补法六、作业一课一练 棱锥的体积（1）