随机变量;离散型随机变量及其分布律模板学习教案

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1、会计学1随机变量随机变量;离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布(fnb)律模板律模板第一页，共52页。2022-7-1722.随机变量(su j bin lin)的引入实例(shl)1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.S=红色(hngs)、白色 非数量将 S 数量化?可采用下列方法 S红色红色白色白色)(eXR10第2页/共52页第二页，共52页。2022-7-173即有即有 X(红色红色(hngs)=1,.,0,1)(白色白色红色红色eeeXX(白色(bis)=0.这样(zhyng)便将非数量的 S=红色，白色 数量化了.第3页/共52页第三页，共52页。202

2、2-7-174实例2 抛掷(pozh)骰子,观察出现的点数.,3)3(,2)2(,1)1(XXX,6)6(,5)5(,4)4(XXX).6,5,4,3,2,1(,61 iiXPS=1，2，3，4，5，6样本点本身(bnshn)就是数量恒等变换恒等变换且有eeX)(则有第4页/共52页第四页，共52页。2022-7-175.)(),(,)(,.,为为随随机机变变量量称称上上的的单单值值实实值值函函数数这这样样就就得得到到一一个个定定义义在在与与之之对对应应有有一一个个实实数数果果对对于于每每一一个个如如它它的的样样本本空空间间是是是是随随机机试试验验设设eXeXSeXSeeSE 1.定义定义(d

3、ngy)第5页/共52页第五页，共52页。2022-7-176随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定(ydng)的概率,因此随机变量的取值也有一定(ydng)的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率(gil)规律随机变量是一个函数(hnsh),但它与普通的函数(hnsh)有着本质的差别,普通函数(hnsh)是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).2.说明(1)随机变量与普通的函数不同第6页/共52页第六页，共52页。2022-7-177随机(su j)事件包容在随机(su j)变量这个范围更广的概念之内.或者说:

4、随机(su j)事件是从静态的观点来研究随机(su j)现象,而随机(su j)变量则是从动态的观点来研究随机(su j)现象.(3)随机(su j)变量与随机(su j)事件的关系第7页/共52页第七页，共52页。2022-7-178实例3 掷一个硬币,观察出现的面,共有两个(lin)结果:),(1反面朝上反面朝上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用 X 表示(biosh)掷一个硬币出现正面的次数,则有)(eX)(1反面朝上反面朝上 e)(2正面朝上正面朝上 e100)(1 eX1)(2 eX即 X(e)是一个(y)随机变量.第8页/共52页第八页，共52页。2022-7-179实例实例4

5、在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中,考虑考虑(kol)其性别其性别,共有共有 4 个样本点个样本点:).,(),(,),(),(4321女女女女男男女女女女男男男男男男 eeee若用 X 表示(biosh)该家女孩子的个数时,则有,0)(1 eX,1)(2 eX,1)(3 eX,2)(4 eX可得随机变量(su j bin lin)X(e),.,2,1,0)(4321eeeeeeeeeX第9页/共52页第九页，共52页。2022-7-1710实例(shl)5 设盒中有5个球(2白3黑),从中任抽3个,则,)(抽得的白球数抽得的白球数 eX是一个(y)随机变量.实例6 设某射手(shshu

6、)每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手(shshu)射了30次,则,)(射中目标的次数射中目标的次数 eX是一个随机变量.且且 X(e)的所有可能取值为的所有可能取值为:,0,1.2且 X(e)的所有可能取值为:.30,3,2,1,0第10页/共52页第十页，共52页。2022-7-1711实例7 设某射手(shshu)每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手(shshu)不断向目标射击,直到击中目标为止,则,)(所需射击次数所需射击次数 eX是一个(y)随机变量.且 X(e)的所有(suyu)可能取值为:.,3,2,1第11页/共52页第十一页，共52页。2022-7-1712实例8 某

7、公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过(tnggu),如果某人到达该车站的时刻是随机的,则,)(此人的等车时间此人的等车时间 eX是一个(y)随机变量.且 X(e)的所有(suyu)可能取值为:.5,0第12页/共52页第十二页，共52页。2022-7-17133.随机变量(su j bin lin)的分类离散(lsn)型(1)离散型 随机变量(su j bin lin)所取的可能值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量(su j bin lin).观察掷一个骰子出现的点数.随机变量 X 的可能值是:随机变量连续型实例11,2,3,4,5,6.非离散型其它第13页/共52页第十三页，共52

8、页。2022-7-1714实例2 若随机变量 X 记为“连续射击(shj),直至命中时的射击(shj)次数”,则 X 的可能值是:.,3,2,1实例3 设某射手(shshu)每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手(shshu)射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标的次数”,则 X 的所有(suyu)可能取值为:.30,3,2,1,0第14页/共52页第十四页，共52页。2022-7-1715实例2 随机变量(su j bin lin)X 为“测量某零件尺寸时的测量误差”.则 X 的取值范围(fnwi)为(a,b).实例实例(shl)1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.

9、).,0 (2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.则 X 的取值范围为第15页/共52页第十五页，共52页。2022-7-1716一、离散型随机变量(su j bin lin)的分布律二、常见(chn jin)离散型随机变量的概率分布第16页/共52页第十六页，共52页。2022-7-1717说明说明(shumng);,2,1,0)1(kpk.1)2(1 kkp.,2,1,),2,1(的的分分布布律律称称此此为为离离散散型型随随机机变变量量为为的的概概率率即即事事件件取取各各个个可可能能值值的的概概率率所所有有可可能能取取的的值值为为设设离离散散型型随随机

10、机变变量量XkpxXPxXXkxXkkkk 定义定义(dngy)第17页/共52页第十七页，共52页。2022-7-1718离散(lsn)型随机变量的分布律也可表示为 nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp21第18页/共52页第十八页，共52页。2022-7-1719.),(,.21,的的分分布布律律求求相相互互独独立立的的设设各各组组信信号号灯灯的的工工作作是是号号灯灯的的组组数数它它已已通通过过的的信信表表示示汽汽车车首首次次停停下下时时以以车车通通过过的的概概率率允允许许或或禁禁止止汽汽每每组组信信号号灯灯以以组组信信号号灯灯的的道道路路上上需需经经过过四四设设一一汽汽车

11、车在在开开往往目目的的地地XX解,通过的概率通过的概率为每组信号灯禁止汽车为每组信号灯禁止汽车设设 p则有则有kpX43210ppp)1(pp2)1(pp3)1(4)1(p 例1第19页/共52页第十九页，共52页。2022-7-1720代入得代入得将将21 pXkp432105.025.0 125.0 0625.0 0625.0第20页/共52页第二十页，共52页。2022-7-1721设随机变量(su j bin lin)X 只可能取0与1两个值,它的分布律为Xkp0p 11p则称 X 服从(fcng)(01)分布或两点分布.1.两点分布 第21页/共52页第二十一页，共52页。2022-

12、7-1722实例实例(shl)1 “抛硬币抛硬币”试验试验,观察正、反两面情况观察正、反两面情况.随机变量 X 服从(fcng)(01)分布.,1)(eXX ,0,正面正面当当 e.反面反面当当 eXkp012121其分布律为第22页/共52页第二十二页，共52页。2022-7-1723实例实例2 200件产品中件产品中,有有190件合格品件合格品,10件不合格品件不合格品,现现从中随机从中随机(su j)抽取一件抽取一件,那么那么,若规定若规定 ,0,1X取得不合格品,取得合格品.则随机变量(su j bin lin)X 服从(0 1)分布.Xkp0120019020010第23页/共52页

13、第二十三页，共52页。2022-7-1724 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两任何一个只有两种可能结果的随机现象种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还是(hi shi)女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两都属于两点分布点分布.说明(shumng)第24页/共52页第二十四页，共52页。2022-7-17252.等可能(knng)分布如果如果(rgu)随机变量随机变量 X 的分布律为的分布律为实例(shl)抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,Xkp161234566161616161则有.,)(),

14、(服服从从等等可可能能分分布布则则称称其其中中Xjiaaji Xkpnaaa21nnn111第25页/共52页第二十五页，共52页。2022-7-1726将试验将试验 E 重复进行重复进行 n 次次,若各次试验的结果互若各次试验的结果互不影响不影响,即每次试验结果出现即每次试验结果出现(chxin)的概率都不依赖于其的概率都不依赖于其它各次试验的结果它各次试验的结果,则称这则称这 n 次试验是相互独立的次试验是相互独立的,或称为或称为 n 次重复独立试验次重复独立试验.(1)重复(chngf)独立试验3.二项分布第26页/共52页第二十六页，共52页。2022-7-1727(2)n 重伯努利试

15、验(shyn).1)(),10()(.,:pAPppAPEAAE 此时此时设设为伯努利试验为伯努利试验则称则称及及只有两个可能结果只有两个可能结果设试验设试验.,重重伯伯努努利利试试验验 nnE复复的的独独立立试试验验为为则则称称这这一一串串重重次次独独立立地地重重复复地地进进行行将将实例实例1 1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬若将硬币抛币抛 n n 次次,就是就是(jish)n(jish)n重伯努利试验重伯努利试验.实例2 抛一颗骰子n次,观察(gunch)是否“出现 1 点”,就是 n重伯努利试验.第27页/共52页第二十七页，共52页。2022-7-1

16、728Jacob BernoulliBorn:27 Dec 1654 in Basel,SwitzerlandDied:16 Aug 1705 in Basel,Switzerland第28页/共52页第二十八页，共52页。2022-7-1729,)0(时时当当nkkX .次次次次试试验验中中发发生生了了在在即即knA 次次kAAA,次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA次的方式共有次的方式共有次试验中发生次试验中发生在在得得knA,种种 kn且两两互不相容且两两互不相容(xin rn).(3)二项概率(gil)公式,发生的次数发生的次数重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件

17、表示表示若若AnX所有可能取的值为所有可能取的值为则则 X.,2,1,0n第29页/共52页第二十九页，共52页。2022-7-1730nknknnkpqpknpqnqpnkX 1110称这样(zhyng)的分布为二项分布.记为).,(pnbX次次的的概概率率为为次次试试验验中中发发生生在在因因此此knAknkppkn )1(pq 1记记knkqpkn 的的分分布布律律为为得得 X二项分布二项分布1 n两点分布两点分布第30页/共52页第三十页，共52页。2022-7-1731二项分布的图形(txng)第31页/共52页第三十一页，共52页。2022-7-1732例如例如 在相同条件下相互独立

18、地进行在相同条件下相互独立地进行 5 次射击次射击,每次射击每次射击时击中目标的概率时击中目标的概率(gil)为为 0.6,则击中目标的次数则击中目标的次数 X 服服从从 b(5,0.6)的二项分布的二项分布.5)4.0(44.06.015 324.06.025 234.06.035 4.06.0454 56.0Xkp012345第32页/共52页第三十二页，共52页。2022-7-1733?)20,1,0(20.20,2.0.1500,一一级级品品的的概概率率是是多多少少只只中中恰恰有有只只元元件件问问只只现现在在从从中中随随机机地地抽抽查查品品率率为为级级已已知知某某一一大大批批产产品品的

19、的一一小小时时的的为为一一级级品品用用寿寿命命超超过过某某种种型型号号电电子子元元件件的的使使按按规规定定 kk分析(fnx)这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对(xingdu)于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.2020,重重伯伯努努利利试试验验只只元元件件相相当当于于做做检检查查验验一一级级品品看看成成是是一一次次试试把把检检查查一一只只元元件件是是否否为为例2第33页/共52页第三十三页，共52页。2022-7-1734解,20 只只元元件件中中一一级级品品的的只只数数记记以以 X),2.0,20(bX则则因此所求概率为因此所求概率为.2

20、0,1,0,)8.0()2.0(2020 kkkXPkk012.00 XP058.01 XP137.02 XP205.03 XP218.04 XP175.05 XP109.06 XP055.07 XP022.08 XP007.09 XP002.010 XP时时当当11,001.0 kkXP第34页/共52页第三十四页，共52页。2022-7-1735图示概率分布图示概率分布第35页/共52页第三十五页，共52页。2022-7-1736.,400,02.0,率率试试求求至至少少击击中中两两次次的的概概次次独独立立射射击击设设每每次次射射击击的的命命中中率率为为某某人人进进行行射射击击解,X设击中

21、的次数为设击中的次数为).02.0,400(bX则则的分布律为的分布律为X,)98.0()02.0(400400 kkkkXP .400,1,0 k因此因此(ync)1012 XPXPXP399400)98.0)(02.0(400)98.0(1 .9972.0 例3第36页/共52页第三十六页，共52页。2022-7-1737 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站,每天有大量每天有大量(dling)汽车汽车通过通过,设每辆汽车在一天的某段时间内设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率出事故的概率为为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过辆汽车通过,问出事故的次

22、数不小于问出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?),0001.0,1000(bX99910009999.00001.0110009999.01 设设 1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X,则则解例4故所求概率为1012 XPXPXP二项分布二项分布 泊松分布泊松分布)(nnp 第37页/共52页第三十七页，共52页。2022-7-17384.泊松分布(fnb).(,.0,2,1,0,!e,2,1,0 XXkkkXPk记为记为布布的泊松分的泊松分服从参数为服从参数为则称则称是常数是常数其中其中值的概率为值的概率为而取各个而取各个的值为的值为设随机变量所有可能取设随

23、机变量所有可能取 第38页/共52页第三十八页，共52页。2022-7-1739Born:21 June 1781 in Pithiviers,FranceDied:25 April 1840 in Sceaux(near Paris),FranceSimon Poisson第39页/共52页第三十九页，共52页。2022-7-1740泊松分布(fnb)的图形第40页/共52页第四十页，共52页。2022-7-1741泊松分布(fnb)的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时粒子个数的

24、情况时,他他们做了们做了2608次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5秒秒)发现放射发现放射性物质在规定的一段时间内性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数其放射的粒子数X 服从泊松分布服从泊松分布.第41页/共52页第四十一页，共52页。2022-7-1742 在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布(fnb)是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布(fnb).第42页/共52页第四十二页，共52页。2022-7-1743电话(dinhu)呼唤次数交通事故次数(csh)商场接待(jidi)的顾客数地震火山爆发特大洪水第43页

25、/共52页第四十三页，共52页。2022-7-1744上面上面(shng min)我们提到我们提到二项分布二项分布 泊松分布泊松分布)(nnp 分布分布(fnb)(fnb)演示演示第44页/共52页第四十四页，共52页。2022-7-1745 设设1000 辆车通过辆车通过(tnggu),出事故的次数为出事故的次数为 X,则则可利用(lyng)泊松定理计算,1.00001.01000 所求概率(gil)为99910009999.00001.0110009999.01 .0047.0!1e1.0!0e11.01.0 解2 XP1012 XPXPXP),0001.0,1000(bX例例4 有一繁忙

26、的汽车站有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设每辆汽车设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率在一天的某段时间内出事故的概率为为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?第45页/共52页第四十五页，共52页。2022-7-1746例5 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是由四人(s rn)维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备

27、发生故障时不能及时维修的概率的大小.解按第一种方法台中台中人维护的人维护的表示事件“第表示事件“第20i,201数”数”的台的台台中同一时刻发生故障台中同一时刻发生故障人维护的人维护的记“第记“第以以X)4,3,2,1(iAi以以发生故障时不能及时维修”,而不能及时维修的概率为则知80台中发生故障第46页/共52页第四十六页，共52页。2022-7-1747)()(14321APAAAAP.2 XP),01.0,20(bX而而np 又又,2.0 故有 22.0!)2.0(2kkkeXP.0175.0 即有.0175.0)(4321 AAAAP第47页/共52页第四十七页，共52页。2022-7

28、-1748 按第二种方法(fngf).80障的台数障的台数台中同一时刻发生故台中同一时刻发生故记记以以Y),01.0,80(bY则有则有np 又又,8.0 故 80 台中发生故障(gzhng)而不能及时维修的概率为 48.0!)8.0(4kkkeYP.0091.0 我们我们(w men)(w men)发现，在后一种情况尽管发现，在后一种情况尽管任务重了（平均每人维护任务重了（平均每人维护2727台），但工作效台），但工作效率不仅没有降低，反而提高了。率不仅没有降低，反而提高了。第48页/共52页第四十八页，共52页。2022-7-17495.几何(j h)分布 若随机变量若随机变量(su j

29、bin lin)X 的分布律为的分布律为则称 X 服从(fcng)几何分布.实例实例 设某批产品的次品率为设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回对该批产品做有放回的抽样检查的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止直到第一次抽到一只次品为止(在此之前在此之前抽到的全是正品抽到的全是正品),那么所抽到的产品数那么所抽到的产品数 X 是一个随是一个随机变量机变量,求求X 的分布律的分布律.,1,qpXkpk21pqppqk 1 第49页/共52页第四十九页，共52页。2022-7-1750)(121kkAAAAPkXP )()()()(121kkAPAPAPAP ppppk )1()1()1)(

30、1(.1pqk ),2,1(k所以 X 服从(fcng)几何分布.说明说明 几何分布几何分布(fnb)可作为描述某个试验可作为描述某个试验“首次成功首次成功”的概率模型的概率模型.解.,3,2,1所取的可能值是所取的可能值是X,个产品是正品”个产品是正品”表示“抽到的第表示“抽到的第设设iAi第50页/共52页第五十页，共52页。2022-7-1751作业作业(zuy)(zuy)：书面书面(shmin)：P55:2,3,6,8,12.看看:P30:例例1,2。P37 泊松分布泊松分布(fnb)第51页/共52页第五十一页，共52页。2022-7-1752感谢您的观看(gunkn)！第52页/共52页第五十二页，共52页。