D111对弧长曲线积分学习教案

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1、会计学1D111对弧长曲线对弧长曲线(qxin)积分积分第一页，共30页。AB弧段为AB,其线密度(md)为“大化小,常代变,近似和,求极限”可得为计算此构件的质量,ks1kMkM1.1.引例引例:曲线形构件的质量采用第1页/共30页第二页，共30页。设 是空间中一条(y tio)有限长的光滑曲线,义在 上的一个(y)有界函数,都存在(cnzi),上对弧长的曲线积分,记作若通过对 的任意分割局部的任意取点,下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.),(zyxf称为被积函数，称为积分弧段.曲线形构件的质量nk 1ks1kMkM和对第2页/共30页第三页，共30页。如果(rgu

2、)L 是闭曲线,则记为则定义(dngy)对弧长的曲线积分为思考思考:(1)若在 L 上 f(x,y)1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求 ds 0,但定积分中dx 可能为负.第3页/共30页第四页，共30页。（,为常数(chngsh)(由 组成)21,(l 为曲线(qxin)弧 的长度)第4页/共30页第五页，共30页。基本思路基本思路:计算(j sun)定积分转 化定理定理(dngl):且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分说明说明:积分限必须满足第5页/共30页第六页，共30页。则有如果(rgu)方程为极坐标形式:则syxfLd),(推广

3、推广:设空间曲线弧的参数设空间曲线弧的参数(cnsh)方程为方程为则第6页/共30页第七页，共30页。其中(qzhng)L 是抛物线与点 B(1,1)之间的一段弧.解解:上点 O(0,0)O1Lxy2xy)1,1(B第7页/共30页第八页，共30页。解解第8页/共30页第九页，共30页。L 为图示三角形周界(zhu ji)解：解：第9页/共30页第十页，共30页。其中(qzhng)为螺旋的一段弧.解解:线第10页/共30页第十一页，共30页。其中(qzhng)曲线 L 为单位圆从点A(0,1)到点解法解法(ji f)一：一：解法二：解法二：231,0A0,1C23,21B0 xy第11页/共3

4、0页第十二页，共30页。23解法解法(ji f)三：三：1,0A0,1C23,21B0 xy第12页/共30页第十三页，共30页。其中(qzhng)为球面解解:化为参数(cnsh)方程 则第13页/共30页第十四页，共30页。1.定义定义(dngy)2.性质性质(xngzh)(l 曲线弧 的长度)第14页/共30页第十五页，共30页。对光滑(gung hu)曲线弧Lsyxfd),(对光滑(gung hu)曲线弧Lsyxfd),(对光滑曲线弧第15页/共30页第十六页，共30页。作业作业(zuy)P190 3(1),(3),(4),(6),(7)第16页/共30页第十七页，共30页。1.已知椭圆

5、(tuyun)周长(zhu chn)为a,求提示提示:原式=O22yx3利用对称性xyd1222分析分析:第17页/共30页第十八页，共30页。(1)求它关于(guny)z 轴的转动惯量(2)求它的质心(zh xn).解解:设其密度为 (常数).(2)L的质量而(1)第18页/共30页第十九页，共30页。0故重心坐标为第二节 第19页/共30页第二十页，共30页。1.设设 C 是由极坐标系下曲线是由极坐标系下曲线(qxin)及所围区域(qy)的边界,求提示提示:分段积分xyO4ddas 第20页/共30页第二十一页，共30页。标面的交线,求其形心坐标.在第一(dy)卦限与三个坐解解:如图所示如

6、图所示,交线长度交线长度(chngd)为为ORzyxRR1L3L2L由对称性,形心坐标为第21页/共30页第二十二页，共30页。tttttfsyxfLd)()()(,)(d),(22基本思路基本思路:计算(j sun)定积分转 化定理定理(dngl):),(yxf设且)()(tty上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲线积分根据定义 kknkksf),(lim10第22页/共30页第二十三页，共30页。kknkksf),(lim10Lsyxfd),(点设各分点对应(duyng)参数为对应(duyng)参数为 则nk 10lim第23页/共30

7、页第二十四页，共30页。xyOxdydsdLsyxfd),(说明说明(shumng):因此积分(jfn)限必须满足!(2)注意(zh y)到 x因此上述计算公式相当于“换元法”.因此第24页/共30页第二十五页，共30页。的圆弧 L 对于(duy)它的对称轴的转动惯量 I (设线密度(md)=1).解解:建立坐标系如图,R xyOL则 第25页/共30页第二十六页，共30页。其线密度(md)解解:ORRxy故所求引力(ynl)为),(yx求它对原点处单位质量质点的引力.RkRkF2,4第26页/共30页第二十七页，共30页。计算(j sun)解解:令,则圆 的形心在原点,故,如何(rh)利用形心公式第27页/共30页第二十八页，共30页。其中(qzhng)L为双纽线解解:在极坐标系下它在第一(dy)象限部分为利用对称性,得Oyx第28页/共30页第二十九页，共30页。其中(qzhng)为球面 被平面 所截的圆周.0zyx解解:由对称性可知由对称性可知(k zh)332a第29页/共30页第三十页，共30页。