数学模型数学论文指导初等模型分配问题学习教案

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1、会计学1数学模型数学论文指导初等数学模型数学论文指导初等(chdng)模型模型分配问题分配问题第一页，共25页。某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表(dibio)会议设20个席位，问三系各有多少个席位？按惯例(gunl)分配席位方案，即按人数比例分配原则Npqm 表示某单位的席位数m 表示某单位的人数p 表示总人数N 表示总席位数q1 问题的提问题的提出出第1页/共25页第二页，共25页。2020个席位个席位(xwi)(xwi)的分配结果的分配结果现丙系有6名学生(xu sheng)分别转到甲、乙系各3名。10641064现象现象(xinxing)1 (xinx

2、ing)1 丙系虽少了丙系虽少了6 6人，但席位仍为人，但席位仍为4 4个。（个。（不公平！）不公平！）第2页/共25页第三页，共25页。为了(wi le)在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。2121个席位的分配个席位的分配(fnpi)(fnpi)结果结果1173现象现象2 2 总席位增加一席，丙系反而总席位增加一席，丙系反而(fn r)(fn r)减少一席。（不公平减少一席。（不公平！）！）惯例分配方法惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。按惯例分给小数部分较大者。存在不公平现象，能否给出更公平的分

3、配席位的方案存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？第3页/共25页第四页，共25页。2 建模分析建模分析(fnx)目标：建立公平的分配方案(fng n)。反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。第4页/共25页第五页，共25页。一般(ybn)地，1p2p1n2n11np22np当2211npnp席位(xwi)分配公平第5页/共25页第六页，共25页。但通常不一定相等，席位(xwi)分配的不公平程度用以下标准来判断。准。称为“绝对不公平”标 )12211npnp此值越小分配(fnpi)越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。C,DC,D的不公平程度的不公平程度(chngd)(

4、chngd)大为改善！大为改善！第6页/共25页第七页，共25页。2）相对(xingdu)不公平np表示每个席位(xwi)代表的人数，总人数一定时，此值越大，代表的人数就越多，分配的席位(xwi)就越少。2211npnp则A吃亏(ch ku),或对A 是不公平的。定义“相对不公平”则称，若 2211npnp1),(122122221121npnpnpnpnpnnrA对A 的相对不公平值；同理，可定义对B 的相对不公平值为：第7页/共25页第八页，共25页。则称，若 2211npnp1),(211211112221npnpnpnpnpnnrB对B 的相对(xingdu)不公平值；建立了衡量分配(

5、fnpi)不公平程度的数量指标BArr,制定席位(xwi)分配方案的原则是使它们的尽可能的小。3 3 建模建模模型模型1 1若A、B两方已占有席位数为,21nn用相对不公平值讨论当席位增加1 个时，应该给A 还是B 方。不失一般性，2211，若npnp有下面三种情形。第8页/共25页第九页，共25页。情形情形(qng(qng xing)1xing)1 1 2211，npnp说明即使(jsh)给A 单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。情形情形(qng(qng xing)2xing)2 1 2211，npnp说明当对A 不公平时，给A 单位增加1席，对B 又不公平。计算对B 的相

6、对不公平值1)1()1()1(),1(211211112221npnpnpnpnpnnrB情形情形3 3 1 2211，npnp说明当对A 不公平时，给B 单位增加1席，对A 不公平。计算对A 的相对不公平值1)1()1()1()1,(122122221121npnpnpnpnpnnrA第9页/共25页第十页，共25页。),1,(),1(2121nnrnnrAB若则这一席位给A 单位(dnwi)，否则给B 单位(dnwi)。1)1(),1(211221npnpnnrB1)1()1,(122121npnpnnrA12212112)1()1(npnpnpnp(*)1()1(11222212nnpn

7、np结论：当（结论：当（*）成立时，增加）成立时，增加(zngji)(zngji)的一个席位应分配给的一个席位应分配给A A 单位，单位，反之，应分配给反之，应分配给 B B 单位。单位。第10页/共25页第十一页，共25页。记记21 )1(2,innpQiiii则增加的一个席位应分配则增加的一个席位应分配(fnpi)(fnpi)给给Q Q值值 较大的一较大的一方。方。这样的分配席位(xwi)的方法称为Q值方法。若A、B两方已占有(zhnyu)席位数为,21nn4 4 推广推广 有m 方分配席位的情况设iA方人数为ip，已占有in个席位，mi,2,1当总席位增加1 席时，计算m,innpQii

8、ii,21 )1(2则1 席应分给Q值最大的一方。从1in开始，即每方至少应得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，则把它排除在外。）第11页/共25页第十二页，共25页。knnn,21),2,1(kipi ),2,1(kimnnqii ),2,1(kiqpii 第12页/共25页第十三页，共25页。kiqpqiii,2,1 iiqq或xx1xxxkinnnmpnnnmpkiki,2,1),1(),(2121 ipx第13页/共25页第十四页，共25页。设总人数设总人数(rn sh)(rn sh)为为n n，总席位，总席位数为数为m m，第，第个部门个部门(bmn)(bmn)的人数为的人数为

9、 ，令，令称其为对第称其为对第个部门个部门(bmn)(bmn)的绝对不公的绝对不公平值。令平值。令称其为对第称其为对第个部门的相对不公平值，或称为相对尾数。个部门的相对不公平值，或称为相对尾数。第14页/共25页第十五页，共25页。irir21nn 1q2q记记 ，即，即 为为的小数的小数(xiosh)(xiosh)部分部分。第15页/共25页第十六页，共25页。111mnnp21rr)()(21mnnmnn22mnnp 21rr 21rr 11mnnp 122mnnp第16页/共25页第十七页，共25页。第17页/共25页第十八页，共25页。321rrr321rrr第18页/共25页第十九页

10、，共25页。321rrr321rrr第19页/共25页第二十页，共25页。个部门。kkrrr,21 krrr 211ttrrkiimnnmt1t1ttrrkiimnnmt1t)(mnni）或1tti第20页/共25页第二十一页，共25页。X-X-表示相对尾数法分配表示相对尾数法分配(fnpi)(fnpi)结果，结果，B-B-表示比例加惯例分配表示比例加惯例分配(fnpi)(fnpi)结果，结果，Q-Q-表示表示Q-Q-值法分配值法分配(fnpi)(fnpi)结果，结果，H-H-表示表示dHondtdHondt法（文法（文11）分配）分配(fnpi)(fnpi)结果结果第21页/共25页第二十二

11、页，共25页。5 举例举例(j l)甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个席位(xwi)，如何分配？按按Q值方法值方法(fngf)：3,21 )1(2,innpQiiii1,1,1321nnn785)11(134,5.9841)11(163 5304.5,)11(1103232221QQQ785)11(134,5.9841)11(1632.7681)12(2103232221QQQ第22页/共25页第二十三页，共25页。练习练习(linx(linx)学校共1000学生，235人住在A楼，333人住在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人委员会，试用惯例分配方法(fngf)，dHondt方法(fngf)和Q值方法(fngf)分配各楼的委员数，并比较结果。第23页/共25页第二十四页，共25页。dHondt方法(fngf)有k个单位(dnwi)，每单位(dnwi)的人数为 pi，总席位数为n。做法(zuf)：用自然数1,2,3,分别除以每单位的人数，从所得的数中由大到小取前 n 个，（这n 个数来自各个单位人数用自然数相除的结果），这n 个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。第24页/共25页第二十五页，共25页。