函数极限的性质05334PPT学习教案

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1、会计学1函数极限的性质函数极限的性质053342 2 函数极限的性函数极限的性质质 在在1 1中我中我们们 引入了下述六引入了下述六种类种类型的函数极限：型的函数极限：1 1）()xfx+lim；2 2）()xfx-lim；3 3）()xfx lim；4 4）()xfxx+0lim；5 5）()xfxx-0lim；6 6）()xfxx0lim 它它们们具有与数列极限相具有与数列极限相类类似的一些性似的一些性质，质，下面以第下面以第6 6）种类种类型的极限型的极限为为代表来叙述代表来叙述 并并证证明明这这些性些性质质。至于其他。至于其他类类 型极限的性型极限的性质质及其及其证证明，只要相明，只要

2、相应应的作些修改即可。的作些修改即可。第1页/共18页过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x+x-xNNn Nx Nx Nx-)(xf -Axf)(0 xx -00 xx+0 xx-0 xx -00 xx00-xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf -Axf)(第2页/共18页v定理1(函数极限的唯一性)如果当xx0时f(x)的极限存在,那么这极限是唯一的 证明，x x f B A 时的极限 当 都是 设 0,(1)(0,0,0 1 0 1 -$A x f x x 时有 当 则,(2)(0,0 2 0 2 -$B x f x x 时有 当 故有 同时成立 时

3、则当 取，x x)2(),1(0),min(0 2 1 -=.2)()()()(-+-=-B x f A x f B x f A x f B A.即其极限唯一 的任意性得 由 B A=第3页/共18页v定理1(函数极限的唯一性)v定理2(函数极限的局部有界性)如果f(x)A(xx0),那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界 如果当xx0时f(x)的极限存在,那么这极限是唯一的 证明有 使得 则 取 设);(,0,1,)(lim 0 0 x U x A x f x x o$=.1)(1)(+-A x f A x f.);()(0 内有界 在 即 x U x f o 第4页/共18页v定理3(函数

4、极限的局部保号性)如果f(x)A(xx0),而且A0(或A0),那么对任何正数rA(或 r 0(或f(x)-r 0)证明);(,0,),A,0(,0 0 x U x r A r A$-=使得 则 取 设.)(r A x f=-有.0 的情形类似可证 对于 r 推论 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0),而且 f(x)A(xx0),那么A0(或A0)第5页/共18页v定理4(函数极限的保不等式性)证明).(lim)(lim),()();()(),(0 0 0 0 x g x f x g x f x U x g x f x x x x x x 则 内有 极限都存在且在 时 如果 o

5、,)(lim,)(lim 0 0 B x g A x f x x x x=设)1(),(0,0,0 1 0 1 x f A x x -$时有 当 则)2(.)(0,0 2 0 2 +-$B x g x x 时有 当 于是有 同时成立 与 不等式 时 则当 令，x g x f x x)2(),1()()(,0,min 0 2 1 -=,)()(+-B x g x f A.,2 B A B A +的任意性知 由 从而 第6页/共18页v定理5(函数极限的迫敛性)如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1)f(x)h(x)g(x),(2)lim f(x)=A,limg(x)=A,那么li

6、mh(x)存在,且lim h(x)=A 证明),(0,0,0 1 0 1 x f A x x，-$时有 当 按假设.)(0,0 2 0 2 +-$A x g x x 时有 当 故有 同时成立 时上两不等式与 则当 令,)()()(0,min 0 2 1 x g x h x f x x -=,)()()(+-A x g x h x f A.)(lim)(0 A x h，A x h x x=-即 由此得 0 xx0 xx0 xx0 xx第7页/共18页此性质又称为此性质又称为夹逼准则夹逼准则.注意注意:()()()fxh xg x夹逼定理示意图夹逼定理示意图A.的极限是容易求的的极限是容易求的与与

7、并且并且键是构造出键是构造出利用夹逼准则求极限关利用夹逼准则求极限关fgf(x)g(x)与与第8页/共18页 推论1 如果lim f(x)存在,而c为常数,则 limcf(x)=climf(x)推论2 如果limf(x)存在,而n是正整数,则 limf(x)n=limf(x)n 定理6.极限的四则运算法则 00lim(),lim()xxxxf xAg xB=如果那么000(2)lim()()lim()lim()xxxxxxf x g xf xg x=000(1)lim()()lim()lim()xxxxxxf xg xf xg x=0000lim()()(3)lim,lim()0()lim()

8、xxxxxxxxf xf xg xg xg x=其中0 xx0 xx0 xx0 xx0 xx0 xx第9页/共18页 利用函数极限的性质和运算法则，我们可以计算一些利用函数极限的性质和运算法则，我们可以计算一些较复杂的极限较复杂的极限例例1 1 求求解解 由第一章第由第一章第3 3节习题节习题1212，知当，知当时有时有而而故由迫敛性得故由迫敛性得另一方面，当另一方面，当时有时有综上，我们得到综上，我们得到01lim1.xxx=0 x 111,xxx-0lim(1)1,xx-=01lim1.xxx+=111,xxx -01lim1.xxx-=01lim.xxx 故由迫敛性又可得故由迫敛性又可得

9、0 x 第10页/共18页例例2 2 求求解解由由及第一节例及第一节例4 4所得的所得的并按四则运算法则有并按四则运算法则有4lim(tan1).xxx-sintancosxxxxx=4limsinsin4xx=22=4limcos,xx=4444limsinlim(tan1)lim1limcosxxxxxxxxx-=-1.4=-第11页/共18页例3求极限解对任意正整数k，当时有故111lim.1nxxxnx+-1x 2311111111111nnxxnxxxxxxxxx+-=+-11(1)(1)11kkxxxxxx-+=-2311111111limlim()11111nnxxxxnxxxx

10、xxxxx+-=+-111lim(1)nkxkxx-=+1nkk=(1).2n n+=第12页/共18页例4 证明证任给为使（9）即利用对数函数时的严格增性,只要0lim1(1).xxaa=0（不妨设1),1,xa-11,xa-+logxa(1)(1)loglog.axa-+于是，令则当时，就有（9）式成立。(1)(1)min log,log,aa+-=-0 x（当1)a 第13页/共18页 解 例5 例例 3 求93lim2 3-xxx 解解 31lim)3)(3(3lim93lim 3 32 3+=+-=-xxxxxxxxx61)3(lim1lim 3 3=+=xxx31lim)3)(3(

11、3lim93lim 3 32 3+=+-=-xxxxxxxxx31lim)3)(3(3lim93lim 3 32 3+=+-=-xxxxxxxxx 61)3(lim1lim 3 3=+=xxx 解 先用x3去除分子及分母,然后取极限 例6 例例 5 求357243lim2323-+xxxxx 73357243lim357243lim332323=-+=-+xxxxxxxxxx73357243lim357243lim332323=-+=-+xxxxxxxxxx73357243lim357243lim332323=-+=-+xxxxxxxxxx 第14页/共18页讨论提示 有理函数的极限?lim1

12、10110=+-mmmnnnxbxbxbaxaxa=+-mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx 0 lim00110110=+-mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx 0 lim00110110 先用x3去除分子及分母,然后取极限 解:例7 例例 6 求52123lim232+-xxxxx 020512123lim52123lim332232=+-=+-xxxxxxxxxxx020512123lim52123lim332232=+-=+-xxxxxxxxxxx020512123lim52123lim332232=+-=+-xxxxxxxxxxx 第15页/共18页 解 当x时,分子及分母的极限都不存在,故关于商的极限的运算法则不能应用 我们将在下节讨论.例7 例例 8 求xxxsinlim 第16页/共18页 (1),唯一性;作业 小结 (2),局部有界性;(3),局部保号性;(4),保不等式性;(5),迫敛性;P51:1(2)(4)(6)(8),6 (6),四则运算法则.第17页/共18页