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1、 一般高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学试题一选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目规定的.【陕西卷（理01）】已知集合，则（ ） 【答案】 B【解析】【陕西卷（理02）】函数的最小正周期是（ ） 【答案】 B【解析】【陕西卷（理03）】定积分的值为（ ） 【答案】 C【解析】【陕西卷（理04）】根据右边框图，对不小于2的整数，输出数列的通项公式是（ ） 【答案】 C【解析】【陕西卷（理05）】已知底面边长为1，侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一种球面上，则该球的体积为（ ） 【答案】 D【解析】【陕西卷（理06）】从正方形四个顶点及其
2、中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不不不小于该正方形边长的概率为（ ） 【答案】 C【解析】【陕西卷（理07）】下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）（A） （B） （C）（D）【答案】 D【解析】【陕西卷（理08）】原命题为“若互为共轭复数，则”，有关逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，对的的是（ ）（A）真，假，真 （B）假，假，真 （C）真，真，假 （D）假，假，假【答案】 B【解析】【陕西卷（理09）】设样本数据的均值和方差分别为1和4，若（为非零常数， ），则的均值和方差分别为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】 A【解析】【陕西卷（理10）】如图，某
3、飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ） （A） （B）（C） （D）【答案】 A【解析】第二部分（共100分）二、 填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每题5分，共25分）.【陕西卷（理11）】已知则=_.【答案】 【解析】【陕西卷（理12）】若圆的半径为1，其圆心与点有关直线对称，则圆的原则方程为_.【答案】 【解析】【陕西卷（理13）】设，向量，若，则_.【答案】 【解析】 【陕西卷（理14）】观测分析下表中的数据： 多面体 面数（） 顶点数（) 棱数（) 三棱锥 5 6 9
4、 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_.【答案】 【解析】【陕西卷（理15）】（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）(不等式选做题)设，且，则的最小值为 （几何证明选做题）如图，中，觉得直径的半圆分别交于点，若,则 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线的距离是 【答案】 A B 3 C 1【解析】ABC三、解答题：解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节（本大题共6小题，共75分）【陕西卷（理16）】 （本小题满分12分） 的内角所对的边分别为.（I）若成等差数列，证明：；（II）若成等比数列，求的最小值.
5、（1） a、b、c成等数列， a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB. sinB=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin(A+C) sinA+sinC=2sin（A+C）.(II) a,b,c成等比例， b2=2c. 由余弦定理得 cosB=， 当且仅当a=c时等号成立. cosB的最小值为.【陕西卷（理17）】（本小题满分12分）四周体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于，的平面分别交四周体的棱于点.（I）证明：四边形是矩形；（II）求直线与平面夹角的正弦值.解 （I）由该四周体的三视图可知，BDDC, BDAD , ADDC,BD=DC=2，AD = 1.由题设
6、，BC/平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=EH, BC/ FG, BC/EH, FG/EH.同理EF/AD,HG/AD, EF/HG,四边形EFGH是平行四边形。又 ADDC , ADBD, AD平面BDC，ADBC, EFFG,四边形EFGH是矩形.（II）解法一 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D（0,0,0）,A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0), DA =(0,0,1), BC =(-2,2,0), BA =(-2 , 0, 1). 设平面EFGH的法向量n=（x , y , z）， EF/AD,FG/BC, n DA =0,
7、 n BC =0，得取n=（1,1,0）.sin=解法二 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D（0,0,0），A（0,0,1），B（2,0,0）,C (0,2,0).E,F(1,0,0),G(0,1,0). 设平面EFGH的法向量n=（x，y，z），则 得取n=（1,1,0），【陕西卷（理18）】（本小题满分12分） 在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的 区域（含边界）上 （1）若，求； （2）设，用表达，并求的最大值.【答案】 解（I）解法一 又 =（6-3x，6-3y）， 解得x=2，y=2， 即 解法二 则 (II) (x,y)=(m+2n,2m+n), 两式相减得，m-n=y
8、-x，令y-x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2,3）时，t获得最大值1，故m-n的最大值为1. 【陕西卷（理19）】（本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体状况如下表：作物市场价格（元/kg）610概率0.40.6作物产量（kg）300500概率0.50.5 （1）设表达在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列； （2）若在这块地上持续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于元 的概率. 解（I）设A表达事件“作物产量为300kg”，B表达事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P
9、(A)=0.5，P(B)=0.4 利润=产量市场价格 - 成本， X所有也许地取值为 500 X 10 - 1000 = 4000，500 X 6 - 1000 = . 300 X 10 - 1000 = ， 300 X 6 - 1000=800. P(X = 4000) =P = (1 - 0.5) X (1 - 0.4) = 0.3. P(X = ) =P + P = (1- 0.5) X 0.4 X 0.5 X (1 - 0.4) = 0.5. P(X = 800) =P = 0.5 X 0.4 = 0.2. 因此X 的分布列为 （II）设C1，C2 ，C3互相独立，由（I）知， P（G
10、）= P(X = 4000) + P(X = ) = 0.3+0.5 = 0.8 (= 1,2,3), 3季的利润均不少于元的概率为 P()+P()+P()=3X0.82X0.2=0.384, 因此，这3季中至少有2季的利润不少于元的概率为 0.512+0.384=0.896.【陕西卷（理20）】（本小题满分13分）如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.（1） 求的值；（2） 过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.解 （I）在C1,C2 的方程中，令y=0，可得b=1，且A（- 1 ，0），B(1，0)是上班椭圆C1的左右顶点。设C1 的半焦距为C
11、，由得a=2. a=2，b=1.（II）解法一 由（I）知，上半椭圆C1 方程为易知，直线与x轴不重叠也不垂直，设其方程为y=代入C1的方程，整顿得 （*）设点p的坐标为（xp，yp）， 直线过点B， x=1是方程（*）的一种根 .由求根公式，得 xp= 点P的坐标为（）.同理，由得点的的坐标为（- k - 1，- k2 - 2k ）. AP, .经检查，符合题意，故直线的方程为解法二 若设直线的方程为，比照解法一部分。【陕西卷（理21）】（本小题满分14分）设函数，其中是的导函数.（1） ，求的体现式；（2） 若恒成立，求实数的取值范畴；（3）设，比较与的大小，并加以证明. 解 由题设得，g
12、(x) = （I）由已知，g1（x）= 下面用数学归纳证明. 当n= 1时，g1（x）=，结论成立. 假设n=k时结论成立，即gk（x）=. 那么，当n=k+1时. 即结论成立. 由可知，结论对nN,成立. （II）已知 设 则 a1时，对 即a1时存在x0,使 综上可知，a的取值范畴是（. （III）由题设知g(1)+g(2)+.+g(n)= 比较成果为 证明如下：证法一上述不等式等价于 在（II）中取a=1，可得1n（1+x） 令. 下面用数学归纳证明. 当n=1时，结论成立. 假设当n=k时结论成立，即 那么，当n=k+1时， 即结论成立. 由可知，结论对成立.证法二 上述不等式等价于 在（II）中取a=1，可得 令 故有1n2-1n1, , . , 上述各式相加可得， 结论得证. 证法三 如图，是由曲线 及x轴所围成的曲边梯形 的面积，而是图中所示 各矩形的面积和， ， 结论得证.
陕西高考理科数学试题及答案详解
