湖北省武汉市武汉二中2018-2019学年高二数学上学期期中试题 文（含解析）

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1、湖北省武汉市武汉二中2018-2019学年上学期高二期中数学（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.圆C：x2+y2-4x+8y+5=0的圆心坐标为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标【详解】圆C：x2+y2-4x+8y+5=0的标准方程为C：（x-2）2+（y+4）2=15，故圆心坐标为（2，-4）， 故选：B【点睛】本题主要考查圆的标准方程与一般方程的转化，属于基础题2.命题“若a2=b2，则|a|=|b|”的逆命题为（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据逆命题的定义写出它

2、的逆命题即可【详解】根据逆命题的定义可知逆命题为：若|a|=|b|，则a2=b2 故选：C【点睛】本题考查了逆命题的定义与应用问题，是基础题3.在空间直角坐标系中，点A（-1，2，0），B（1，3，2），则|AB|=（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】由两点间距离公式，可直接求得的值。详解】根据空间两点间距离公式可得 所以选A【点睛】本题考查了空间中两点间距离公式，属于基础题。4.抛物线的准线方程是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先把其转化为标准形式，求出p即可得到其准线方程【详解】由题得：，所以：，即所：故准线方程为：故选：D【点睛】本题主

3、要考查了抛物线的简单性质解决抛物线的题目时，一定要注意判断出焦点所在位置，避免出错5.已知双曲线的实轴的长度比虚轴的长度大2，焦距为10，则双曲线的方程为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】依题意可得，得，即可【详解】依题意可得，得，所以双曲线的方程为故选：B【点睛】本题考查了双曲线的方程及简单几何性质的运用，属于基础题6.设xR，ab，若“axb”是“x2+x-20”的充分不必要条件，则b-a的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式求得x的取值范围，根据充分不必要条件可求出a、b的范围即可。【详解】解不等式得因为“ ”是“ ”充分不必要条件

4、，且所以 所以选C【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，注意边界问题，属于基础题。7.若焦点在轴上的椭圆 的离心率为，则（ ）A. 31B. 28C. 25D. 23【答案】D【解析】【分析】根据椭圆定义，用m表示出和，再根据离心率求得m的值。【详解】焦点在x轴上，所以 所以离心率 ，所以 解方程得m=23所以选D【点睛】本题考查了椭圆定义及离心率，属于基础题。8.两圆（x-1）2+y2=2与x2+（y-2）2=4的公共弦所在直线的方程是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把两个圆化为一般式，根据性质，两个圆方程相减即可得到公共弦所在的直线方程。【详解】将两个圆的标准方程分别

5、化为一般式为 ，两式相减得所以选A【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及相交弦所在直线方程的求法，属于基础题。9.与双曲线的渐近线平行，且距离为1的直线方程为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据双曲线方程写出渐近线方程，再设与渐近线平行的直线方程为，由平行线间的距离公式求出t即可.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，设与渐近线平行的直线方程为，根据平行直线间的距离公式：，得.所求直线方程为.故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，渐近线，平行线间的距离，属于中档题.10.已知点F是抛物线y2=2px（p0）的焦点，点分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若|AF|=10

6、，则ABF的面积为（）A. 14B. 30C. 42D. 90【答案】C【解析】分析】根据抛物线定义，求得p的值，进而得到抛物线标准方程；将A、B的横坐标分别代入抛物线，得到A、B的坐标，即可求得AB的直线方程，进而得到直线与x轴交点坐标，即可利用三角形面积公式求得的面积。【详解】由抛物线定义可知，所以p=16，则抛物线方程为，焦点坐标为 因为点 分别是抛物线上位于第一、四象限的点，所以将A、B横坐标分别代入可求得 所以直线AB的方程为 直线AB与x轴交于点E（1,0）所以 所以选C【点睛】本题考查了抛物线定义及直线方程的求法，求三角形面积，属于基础题。11.若圆与相交，则m的取值范围是（）A

7、. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据两个圆相交，可得圆心距与半径间满足关系，用m表示出不等式，解不等式即可。【详解】将两个圆化为标准方程可得设两个圆的半径分别为 ，则两个圆心距离 因为两个圆相交，所以满足 ，即化简得 解不等式得 .所以选B【点睛】本题考查了圆与圆相交满足的半径与圆心距关系，计算量较为复杂，属于中档题。12.椭圆C：+=1（ab0）的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，F（3，0）为椭圆C的右焦点，则的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，为

8、椭圆的右焦点及椭圆中解方程组求得a、b、c，得到椭圆方程。设出点P，根据向量数量积转化为关于横坐标m的二次函数，即可求得取值范围。【详解】因为椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列所以 ，即为椭圆的右焦点，所以c=3椭圆中，所以，解方程组得所以椭圆方程为设 则，则 = 因为，所以当时，取得最大值为 当m趋近于0时，的值趋近于-16 所以的取值范围为所以选C【点睛】本题考查了椭圆性质的综合应用，向量在解析几何中的用法，属于中档题。二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设命题：，则为_ .【答案】，【解析】【分析】由全称命题的否定即可得到答案。【详解】根据全称命题的否定，可得为，【点睛】本

9、题考查了含有量词的命题否定，属于基础题。14.P为椭圆C：的一个动点，F为椭圆C的一个焦点，|PF|的最大值为5，最小值为1，则椭圆C的短轴长为_【答案】【解析】【分析】根据点在椭圆上的位置关系，判断出最大值与最小值的位置，即可求得a、c，进而求得短轴长。【详解】为椭圆的一个焦点，所以的最大值为a+c=5的最小值为a-c=1所以a=3，c=2所以短轴长为【点睛】本题考查了椭圆的基本性质，注意短轴长为2b，属于基础题。15.若直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据曲线y的方程，画出图像；直线l过定点，进而通过直线与半圆的位置关系求得由两个公共点时k的取值范围。【详

10、解】根据题意，画出曲线y的图象 设直线l2的方程为 则圆心到直线距离为r=1，所以 解方程得 由图像可知，有两个交点的斜率范围为两条直线之间所以的取值范围是即k【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，注意圆的方程表示的图形只有上半个圆，属于中档题。16.设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点若在双曲线左支上存在点P，满足|PF1|=|F1F2|，且F1到直线PF2的距离为，则该双曲线的离心率e=_【答案】2【解析】【分析】根据题意，可用a、c表示出，结合等腰三角形及双曲线定义即可求得a、c的等量关系，进而求得离心率。【详解】设到直线的垂足为M，因为，所以M为的中点由题意可知， 根据双曲线定义，所以

11、即化简可得，整理得因为解得【点睛】本题考查了双曲线的性质及综合应用，清楚各边之间的数量关系是解决本题的关键，属于中档题。三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知：表示焦点在轴上的椭圆，：方程表示一个圆.（1）若是真命题，求的取值范围；（2）若是真命题，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质及焦点位置，可求得m的取值范围。（2）根据二元二次方程表示圆的条件，可求得m的取值范围，结合命题p也为真命题，即可求得m的取值范围。【详解】解：（1）因为表示焦点在x轴上的椭圆所以， 解得，即的取值范围为 （2）因为所以 由于表示一个圆，所以，解得或，因为是真命题，

12、所以，解得 所以的取值范围为【点睛】本题考查了圆与椭圆的方程及其简单性质，属于基础题。18.已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，焦距为8（1）求该椭圆的标准方程；（2）若点M（x0，2）是该椭圆上的一点，且它位于第一象限，点N是椭圆的下顶点，求四边形F1MF2N的面积【答案】（1）（2）20【解析】【分析】（1）根据离心率和焦距，可求得a、c，进而利用椭圆中a、b、c的关系求得b，可得椭圆标准方程。（2）根据点M的坐标，表示出三角形的面积，根据N是下顶点，即可求得。【详解】解：（1）因为，所以， 所以， 所以该椭圆的标准方程为， （2）因为点的坐标为，所以， 又因为点的坐标轴为

13、，所以， 所以，【点睛】本题考查了椭圆的基本性质，根据椭圆上各点求面积，属于基础题。19.求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程：（1）椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，且经过点A（3，2）；（2）双曲线的焦点在x轴上，右焦点为F，过F作重直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，且|AB|=3，离心率为【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出椭圆的标准方程，根据下焦点即可得知上焦点坐标，由椭圆定义即可求得a，结合焦距即可求得b，进而得到椭圆的标准方程。（2）因为过右焦点F作垂直，即可表示出A、B两点的坐标及长度，进而根据求得a、b的关系，结合双曲线中a、b、c的关系即可求得a、b的值，进而求得双

14、曲线的标准方程。【详解】解：（1）设椭圆的标准方程为， 上焦点为，下焦点为， 根据椭圆的定义知，即， 所以，因此，椭圆的标准方程为（2）设双曲线的标准方程为， 把带入双曲线方程，得，所以. 由，得. 所以， 所以双曲线的标准方程为.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义及标准方程的求法，属于基础题。20.已知直线l过点A（2，2），圆C：x2+y2-6x+8=0（1）当直线l与圆相切时，求直线l的一般方程；（2）若直线与圆相交，且弦长为，求直线l的一般方程【答案】（1）或（2）； 【解析】【分析】（1）把圆的一般式化为标准方程，讨论直线斜率存在或不存在时是否与圆相切的情况。当不存在时，可直接判断

15、相切；当斜率存在时，利用点斜式表示出直线方程，结合点到直线的距离即可求得斜率k，进而得到直线方程。（2）根据弦长与半径，求得圆心到直线的距离；利用点斜式设出直线方程，根据点到直线距离即可求得斜率k，进而得到直线方程。【详解】解：（1）将圆的一般方程化为标准方程得，所以圆的圆心为，半径为1， 因为直线过点，所以当直线的斜率不存在时，直线与圆相切，此时直线的方程为；当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，化为一般式为。因为直线与圆相切，所以，得，此时直线的方程为 综上所述，直线方程为或（2）因为弦长为，所以圆心到直线的距离为， 此时直线的斜率一定存在，设直线的方程为，圆心到直线的距离， 由，

16、得，所以 当时，直线的一般方程为；当时，直线的一般方程为【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线距离公式的用法，注意讨论斜率是否存在，属于基础题。21.已知动圆C过定点F（2，0），且与直线x=-2相切，圆心C的轨迹为E，（1）求圆心C的轨迹E的方程；（2）若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标（1，1），求|PQ|【答案】（1）y2=8x（2）【解析】【分析】根据题意，动圆圆心C到定点F距离等于圆心C到直线的距离，可判断圆心C的轨迹为抛物线，由抛物线定义即可求得E的轨迹方程。设出直线斜率，及P、Q的坐标，根据中点坐标利用点差法求出斜率，可得直线方程，联立抛物线方程，利用弦长公

17、式即可求出。【详解】解：（1）由题设知，点C到点F的距离等于它到直线x=-2的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点x=-2为基准线的抛物线，所以所求E的轨迹方程为y2=8x（2）由题意已知，直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为k， 则有，两式作差得即得，因为线段PQ的中点的坐标为（1，1），所以k=4，则直线l的方程为y-1=4（x-1），即y=4x-3，与y2=8x联立得16x2-32x+9=0，得，【点睛】在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。将直线代

18、入曲线方程，化为关于（或关于）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。22.已知椭圆C：的离心率为，焦距为，A，B分别为椭圆C的上、下顶点，点M（t，2）（t0）（1）求椭圆C的方程；（2）若直线MA，MB与椭圆C的另一交点分别为P，Q，证明PQ过定点【答案】（1）（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据离心率、焦距及椭圆中a、b、c的关系，求得a、b、c的值，得到椭圆的标准方程。（2）表示出MA、MB的直线方程，分别联立方程表示出P、Q的坐标，进而用t表示出两条直线的斜率，根据斜率相等即可求得过的定点坐标。【详解】（1）解：由题意知， 解得， 所以椭圆的方程为 （2）证明：易知，则直线的方程为，直线的方程为 联立，得，于是， 同理可得， 所以直线的斜率，直线的斜率 因为，所以直线过定点【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆位置关系的综合应用，属于难题。- 15 -