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1、求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如an = pan+qan（p,q是常数）的数列形如ai =m1,a2 =m2,an芈=pan甲+qan（p,q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an ,其特征方程为x2 = px+q若有二异根a,P ,则可令an =ciotn+c2Pn（ci,C2是待定常数）若有二重根a = P ,则可令an =（。+nc2）un（G,C2是待定常数）再利用ai =门岛=m2,可求得G。，进而求得an .例 1.已知数列an酒足 ai =2,a2 =3,an_2 =3an+-2an（n W N ）,求数列an的通项 an .解：其特征方程为x2=3x-2,解
2、得为=1*2=2,令2。=0 in+. 2n ,_ c = i上 a1 =c, 2c2 =2 /日 c1 1n由，得 i ,，an =i+2 士a2 =G 4c2 =3c2 二2例2.已知数歹1an酒足a =1,a2 =2,4an_2 =4an4an（nw N ）,求数列an的通项an .一 c,一i .ii T斛：其特征方程为 4x =4x -i,解得 x =x2 =a ,令 an =(g +nc2 )1 | ,，、i ,3n-2- an = -2nl-ai =9 a) -c = -4由 I ，得厂Jic = 6a2=C 2c2)x =224、形如an 2=丛二的数列Can D Aa. B对
3、于数列 an七=-n一， ai =m,n= N （A,B,C,D是常数且 C=0,AD BC。）Can DAx B . .2其特征万程为x =,变形为Cx +（D-A）x-B=0Cx D若有二异根 50，则可令包=彳=5电胃（其中c是待定常数），代入的值可 an i - -an - -求得c值.这样数列4 y是首项为an-ai,公比为c的等比数列，于是这样可求得an若有二重根a =P ,则可令十c （其中c是待定常数），代入a1,a2的值 an 1 ?an -：可求得c值., 1 1、，一,公差为c的等差数列，于是这样可求得 an 一 :an这样数列1,是首项为an -：此方法又称不动点法.例
4、3.已知数列an满足a1=2,anan+2 （n之2）,求数歹Ian的通项an .2an1解：其特征方程为x = *2x 1=can 1,化简得 2x2 2 = 0 ,解得 X1 = 1,X2 = 1,令 an* 1an 114由 a1 = 2, 行 a2 =, 5a 一，数列兔,是以an 11 -1为公比的等比数歹I,3an -11an 1r 1”I I 3)3n -(-1)n一 3n (-1)nN ）,求数列an的通项an .例4.已知数列an满足a=2,an书=%?(nw4an - 6解：其特征方程为x=2二14x 6,即 4x2 +4x +1=0,11解得x1=x2=-1，令一J21an 1 .一2,can -2由ai3=2,得 a2=V，求得 c=1,是 anfai5为首项，以1为公差的等差数列，:2(n -1) 1 =a 15a -n 2_13-5n an _10n-6
求递推数列通项的特征根法与不动点法
