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1、:批审矢量分析与场论期末考查A卷试题答案:题审一、名词解析（含定义、算法、物理意义等个，每小题5分，共20分）1通量|7线泉思廖：题命7-.AdS3分S物理意义：矢量通过闭合面的通量反映了闭合面内源的性质。5分2矢量的旋度定义：在矢量场A中，围绕Q点做一闭合回路，所围面积为AS,A的旋度是矢量，其大小为.S0时环流面密度的最大值，其方向为使环流面密度取最大值时面元的法线方:号学封密出-土扫向，即rotA二CurlA八Amax能不物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。5分3.标量的梯度定义：标量场u在某点的梯度是一个矢量，其方向为u增加最大的方向，即等值面法线方向；其大小等
2、于u在该方向上的增加率，即最大增加率。3分物理意义：标量的梯度表示了标量u增加率的最大值及方向。答-二密:名姓gradu=u=gradun0&u0n：n5写填生学级4、保守场u沿线积分与路径无关，沿闭合回路的积分为零。P2即Iudl=u（P2）_u（pj3分P1则Iu称为保守场，u称为保守位场。5分二、计算题（每小题10分，共70分）231、数量场u=Xyz在点M（2,1,-1）处沿哪个方向的方向导数最大？这个最大值是多少？（本小题10分）定义：矢量A沿某一有向曲面S的面积分为A通过S的通量，即TUT况T旬TTTT解：gadu=寸寸4i-4j12k最大值为411。2（本小题10分）2、求矢量场
3、A=4xi-2xyjzk在点M（1,1,3）处的散度。解:x；y兰=4_2y2z.:z=4-2*1，23=8.3、求矢量场A-yixj*ck沿曲线：x2y2=R2,z=0的环量。(本小题10分)解：丨-ydxxdycdz二-ydxxdy二1-(-1)dxdy=211dxdy二2二R2llDD方法2：令X=Rcos，则圆周X2y2=R2,z=0的方程成为x=Rcost,y=Rsin),z=0，于是环量-=A*dl-ydxxdyCdz=ll22220(R2sin2dR2COST”-2R4、求矢量场a=x3iy3jz3k从内穿出闭曲面S:x2y2z=a2的通量。（本小题10分）解：=dS=川divA
4、dV=川3（x2+y2+z2）dVs门门其中I】为S所围之球域x2y2Z-a2今用极坐标兀aA12csindr4dra5005x=rsinvcos,y=rsinvsin,z=rcoS计算，有2二=3r2r2sindrdd=3d0Q2r2r25、求矢量场A=yzizxjxyk的散度和旋度。(本小题10分)解：_0z22yzT2DA=2xz0x2y2xy0tdivA=000=02r2r2rotA=(2xy-x2)i(2yz-y)j(2xz-z2)k6、已知平面调和场的力函数u=x2-y2xy，求场的势函数v及场矢量。(本小题15分)解：Ux=2xy,Uy=-2yxiVy=U2xy,两边对y求不定积
5、分得12V=(2xy)dy=2xyy2(x).两边对x求导得：Vx=2(x),而Vx二-Uy二-(-2yx)=2y-x,1:(x)=-x,(x)x2C122V=2xy(y-x)C.场矢量A=PiQj,P二Uy.A=(x-2y)i(2xy)j.一2yX,Q=-U-(2xy),TTTT7、证明矢量场A=(2xy)i(4yx2z)j(2y-6z)k为调和场，并求其调和函数。(本小题15分)_210证明：(1)由于DA=142卫2-6一TTTTTTdivA=246=0,rotA=(2-2)i(0-0)j(1-1)k=0.所以矢量场A为调和场.(2)调和函数为:XyZ222u(x,y,z)=o2xdx亠i(4yx)dy亠i(2z-6z)dz=x2yxy2yz-3zC三、问答题(共10分)1根据自身专业，列举一专业实例说明学习本课程的作用。(略)
矢量分析与场论A卷答案
