241等比数列

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1、2.4.1等比数列等比数列432)21(10,)21(10,)21(10,211010，再看两个数列：再看两个数列：3，9，27，81，；1111,;24816它们的共同特点是：它们的共同特点是：从第二项起，每一项与它的前一项的比都从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，等于同一个常数，如果一个数列从第二项起，每一项与它如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做数列就叫做等比数列等比数列，这个常数叫做等比数列的这个常数叫做等比数列的公比公比。公比通常用字母公比通常用字母 q(q0)表示。表示。等比数列的定

2、义)2(nqaann12.)1(n1nnaqa或或1.qaaaaaaaaaann145342312例例1已知数列已知数列an的通项公式为的通项公式为an=32n，试，试问这个数列是等比数列吗？问这个数列是等比数列吗？解：因为当解：因为当n2时，时，113 223 2nnnnaa所以数列所以数列an是等比数列。是等比数列。等比数列的通项公式：等比数列的通项公式：v法一：递推法法一：递推法qaaqaa1212212323qaqaaqaa313434qaqaaqaa由此归纳等比数列的通项公式可得：由此归纳等比数列的通项公式可得：11nnqaa等等比比数数列列等等差差数数列列daa12daa213da

3、a314由此归纳等差数列由此归纳等差数列的通项公式可得：的通项公式可得：dnaan)1(1类比类比等比数列的通项公式：等比数列的通项公式：迭乘法迭乘法qaa12qaa23qaa3411nnqaaqaann1共共n 1 项项）等等比比数数列列v法二：迭加法法二：迭加法daa12daa23daa34dnaan)1(1daann1+）等等差差数数列列类比类比例例2 已知等比数列，已知等比数列，a3=20 a6=160,求求 q,an na 变变1：已知等比数列，：已知等比数列，a3=20 a5=80,求求 q,a4 变变2：已知等比数列，：已知等比数列，a3=20 a=320,求求 q,a5拓展：拓

4、展：11mmqaa11nnqaamnmnmnqqaqaaa1111mnmnqaa可得可得dmaam)1(1dnaan)1(1dmnaamn)(dmnaamn)(可得可得等差数列等差数列等比数列等比数列类比类比例例3已知等比数列已知等比数列an中，中，a5=20，a15=5，求求a20.解：由解：由a15=a5q10，得，得 1014q所以所以 512q 因此因此 5201552aa q或或 5201552aa q 等比中项等比中项 如果三个数如果三个数x，G，y组成等比数列，则组成等比数列，则G叫做叫做x和和y的等比中项的等比中项.如果如果G是是x和和y的等比中项，那么的等比中项，那么GyxG

5、即即G2=xy，显然两个正数显然两个正数(或两个负数或两个负数)的等比中项有的等比中项有两个，它们互为相反数，两个，它们互为相反数，一个正数和一个负数没有等比中项。一个正数和一个负数没有等比中项。例例4已知等比数列，已知等比数列，a3=20 a5=80,求求 a3 ,a5的等比中项 变：已知等比数列，变：已知等比数列，a3=20 a=320,求求 q,a5 求求 a3 ,a7的等比中项 在一个等比数列中，从第在一个等比数列中，从第2项起，每一项项起，每一项(有穷数列的末项除外有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后都是它的前一项与后一项的等比中项。一项的等比中项。等比数列的通项公式还可以写成等比

6、数列的通项公式还可以写成an=a1qn11nnaqcqq 当当q是不为是不为1的正数时，它是一个非零常的正数时，它是一个非零常数与一个数与一个指数函数指数函数的乘积的乘积.等比数列的图象（1）数列：）数列：1，2，4，8，16，201234567891024681012141618012nna等比数列的图象（2）数列：）数列：1234567891012345678910018,4,2,1,242nna等比数列的图象（3）数列：）数列：4，4，4，4，4，4，12345678910123456789100（4）数列：）数列：1，1，1，1，1，12345678910123456789100等比数

7、列的图象等比数列的图象例例3在在4与与 之间插入之间插入3个数，使这个数，使这5个数成等个数成等比数列，求插入的比数列，求插入的3个数。个数。41解：依题意，解：依题意，a1=4，514a 由等比数列通项公式得由等比数列通项公式得 451116aqa所以所以 12q 因此插入的因此插入的3个数依次是个数依次是2，1，21 或或2，1，211.一个等比数列的第一个等比数列的第3项与第项与第4项分别是项分别是12与与18，求它的第求它的第1项与第项与第2项项.练习：练习：1216,83aa2数列数列1，37，314，321，中，中，398是这个是这个数列的（数列的（）（A）第）第13项项 （B）第

8、）第14项项 （C）第）第15项项 （D）不在此数列中）不在此数列中C3.若数列若数列an是等比数列，公比为是等比数列，公比为q，则下列，则下列命题中是真命题的是（命题中是真命题的是（）（A）若）若q1,则则an+1an （B）若）若0q1,则则an+1an（C）若）若q=1,则则Sn+1=Sn （D）若）若1q0,则则nnaa1D4在在2与与6之间插入之间插入n个数，使它们组成等比个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为（数列，则这个数列的公比为（）（A）（B）（C）（D）n3n3113n23nC5若若x,2x+2,3x+3是一个等比数列的连续是一个等比数列的连续三项，则三项，则x的值为

9、（的值为（）（A）4 （B）1 （C）1或或4 （D）1或或4A6三个正数三个正数a,b,c成等比数列，且成等比数列，且 a+b+c=62,lga+lgb+lgc=3,则这三个正数为则这三个正数为 .50，10，2或或2，10，507在正项数列在正项数列an中，中，(an+3)2=an+1an+5,且且a3=2,a11=8,则则a7=.4小结小结v1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达、理解与掌握等比数列的定义及数学表达式：式：，（，（n 2，n N）；）；v2、要会推导等比数列的通项公式：、要会推导等比数列的通项公式：，并掌握其基本应用；，并掌握其基本应用；)0(1qqaann)0(111qaqaann