14全称量词与存在量词

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1、1.4 全称量词与存在量词全称量词与存在量词P21 思考：下列语句是命题吗？下列语句是命题吗？(1)与与(3)，(2)与与(4)之间有什么关系？之间有什么关系？(1)x3；(2)2x+1是整数；是整数；(3)对所有的对所有的xR，x3；(4)对任意一个对任意一个xZ，2x+1是整数是整数。语句语句(1)(2)(1)(2)不能判断真假，不是命题；不能判断真假，不是命题；语句语句(3)(4)(3)(4)可以判断真假，是命题。可以判断真假，是命题。全称量词、全称命题定义：全称量词、全称命题定义：短语短语“所有的所有的”“”“任意一个任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并在逻辑中通常叫做全称量词，并用

2、符号用符号“”表示。表示。含有全称量词的命题，叫做全称命题。含有全称量词的命题，叫做全称命题。常见的全称量词还有常见的全称量词还有“一切一切”“每一个每一个”“任给任给”“所有的所有的”等等。全称命题举例：全称命题举例：全称命题符号记法：全称命题符号记法：命题：对任意的nZ，2n+1是奇数；所有的正方形都是矩形。通常，将含有变量通常，将含有变量x的语句用的语句用p(x),q(x),r(x),表示，变量表示，变量x的取值范围用的取值范围用M表示，那么，表示，那么，(),xMp x，全称命题全称命题“对对M中任意一个中任意一个x，有，有p(x)成立成立”可用符号简记为：可用符号简记为：读作读作“对

3、任意对任意x属于属于M，有，有p(x)成立成立”。解：解：（1）假命题；）假命题；（2）真命题；）真命题；（3）假命题。）假命题。例例1 判断下列全称命题的真假：判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；所有的素数都是奇数；（2）（3）对每一个无理数）对每一个无理数x，x2也是无理数。也是无理数。2,1 1;xR x 小小 结：结：判断全称命题 xM,p(x)是真命题的方法：判断全称命题 xM,p(x)是假命题的方法：需要对集合需要对集合M中每个元素中每个元素x，证明，证明p(x)成立成立只需在集合只需在集合M中找到一个元素中找到一个元素x0，使得，使得p(x0)不成立即可不成立即可

4、（举反例）（举反例）P23 P23 练习：练习：1 判断下列全称命题的真假：判断下列全称命题的真假：（1）每个指数函数都是单调函数；）每个指数函数都是单调函数；（2）任何实数都有算术平方根）任何实数都有算术平方根；（3）2|xx xx 是无理数，是无理数。P22 思考：下列语句是命题吗？下列语句是命题吗？(1)与与(3)，(2)与与(4)之间有什么关系？之间有什么关系？(1)2x+1=3；(2)x能被能被2和和3整除；整除；(3)存在一个存在一个x0R，使，使2x+1=3；(4)至少有一个至少有一个x0Z，x能被能被2和和3整除。整除。语句语句(1)(2)(1)(2)不能判断真假，不是命题；不

5、能判断真假，不是命题；语句语句(3)(4)(3)(4)可以判断真假，是命题。可以判断真假，是命题。存在量词、特称命题定义：存在量词、特称命题定义：短语短语“存在一个存在一个”“”“至少有一个至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量在逻辑中通常叫做存在量词，词，并用符号并用符号“”表示。表示。含有存在量词的命题，叫做特称命题。含有存在量词的命题，叫做特称命题。常见的存在量词还有常见的存在量词还有“有些有些”“”“有一个有一个”“对某个对某个”“”“有的有的”等等。特称命题举例：特称命题举例：特称命题符号记法：特称命题符号记法：命题：有的平行四边形是菱形；命题：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是奇数。

6、有一个素数不是奇数。通常，将含有变量通常，将含有变量x的语句用的语句用p(x),q(x),r(x),表示，变量表示，变量x的取值范围用的取值范围用M表示，那么，表示，那么，00(),xMp x，特称命题特称命题“存在存在M中的一个中的一个x0，使，使p(x0)成立成立”可用符号简记为：可用符号简记为：读作读作“存在一个存在一个x0属于属于M，使，使p(x0)成立成立”。解：解：（1）假命题；）假命题；（2）假命题；）假命题；（3）真命题。）真命题。例例2 判断下列特称命题的真假：判断下列特称命题的真假：（1）有一个实数）有一个实数x0，使，使x02+2x0+3=0；（2）存在两个相交平面垂直于

7、同一条直线；）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（3）有些整数只有两个正因数。）有些整数只有两个正因数。小小 结：结：00判断特称命题 xM,p(x)是真命题的方法：00判断特称命题 xM,p(x)是假命题的方法：需要证明集合需要证明集合M中，使中，使p(x)成立的元素成立的元素x不存在。不存在。只需在集合只需在集合M中找到一个元素中找到一个元素x0，使得，使得p(x0)成立即可成立即可 （举例证明）（举例证明）P23 P23 练练 习：习：2 判断下列特称命题的真假：判断下列特称命题的真假：（1）（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3

8、）200|xx xx是无理数，是无理数。00,0;xR x解：解：（1）真命题；）真命题；（2）真命题；）真命题；（3）真命题。）真命题。练习练习 （2）存在这样的实数它的平方等于它本身。）存在这样的实数它的平方等于它本身。（3）任一个实数乘以）任一个实数乘以-1都等于它的相反数；都等于它的相反数；（4）存在实数）存在实数x，x3x2；3、用符号、用符号“”与与“”表达下列命表达下列命题：题：（1）实数都能写成小数形式；）实数都能写成小数形式；小结：2 2、全称命题的符号记法。、全称命题的符号记法。1、全称量词、全称命题的定义。、全称量词、全称命题的定义。3、判断全称命题真假性的方法。、判断全

9、称命题真假性的方法。4、存在量词、特称命题的定义。、存在量词、特称命题的定义。5、特称命题的符号记法。、特称命题的符号记法。6、判断特称命题真假性的方法。、判断特称命题真假性的方法。同一全称命题、特称命题，由于自然语言同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：的不同，可能有不同的表述方法：命题命题 全称命题全称命题特称命题特称命题所有的所有的xM，p(x)成立成立对一切对一切xM，p(x)成立成立对每一个对每一个xM，p(x)成成 立立任选一个任选一个xM，p(x)成成 立立凡凡xM，都有，都有p(x)成立成立存在存在x0M，使，使p(x)成立成立至少有一个至少有一个x0M，使，使 p(x)成立成立对有些对有些x0M，使，使p(x)成成 立立对某个对某个x0M，使，使p(x)成成 立立有一个有一个x0M，使，使p(x)成成 立立,()xM p x 0,()xM p x表述方法表述方法作业作业l1、P31第第5题。题。l2、设、设a、b、c均为非零实数，求证：方程均为非零实数，求证：方程 ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0中至少有一个有实数根。中至少有一个有实数根。