多元复合函数和隐函数的求导法则PPT学习教案

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1、会计学1多元复合函数和隐函数的求导法则多元复合函数和隐函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxyddddddxxufuufyd)()(d)(d微分法则第1页/共28页)(),(ttfz定理定理.若,)(,)(可导在点ttvtu),(vufz 处具有连续的偏导数，),(vu在点在点t可导,tvvztuuztzddddddz则复合函数且有链式法则vutt1.复合函数的中间变量为一元函数的情形(1)函数(2)证证:设t取增量t,vvzuuzz)()(22vu)(o则相应中间变量有增量u,v,第2页/共28页,0t令,0,0v

2、u则有to)(全导数公全导数公式式 )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu)(o )()(22tvtu0(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd第3页/共28页中间变量多于两个的情形.,),(wvufz tzdd321fffzwvuttttuuzddtvvzddtwwzdd)(,)(,)(twtvtu例如,在相似条件下，第4页/共28页2.复合函数的中间变量为多元函数的情形定理定理.若),(vufz 处具有连续的偏导数，),(vu在点在点(x,y)的两个 则复合函数(1)函数(2)(,)(,)ux yvx y及都在点(x,y)具有

3、对x及y的偏导数；(,),(,)zfx yx y偏导数都存在，且有链式法则xz1211ff2221ffyzxuuzxvvzyuuzyvvzzvuyxyx第5页/共28页推广：(,),(,),(,),(,)ux y vx y wx y zf u v w在相似条件下，有xzyzxuuzxvvzyuuzyvvzxwwzywwz口诀口诀 :分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导第6页/共28页3.复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数定理定理.若),(vufz 处具有连续的偏导数，),(vu在点在点(x,y)的两个 则复合函数(1)函数(2)(,)ux y在点(x,

4、y)具有对x及(,),()zfx yy偏导数都存在，且有链式法则y的偏导数；()vy在点y可导，xzxuuzzzuz dvyuyv dy第7页/共28页,xfxuufxz .yfyuufyz 把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区两者的区别别区别类区别类似似对于(,),(,)zf u x y ux y第8页/共28页,sineyxvyxuvzu.,yzxz求解解:xzvusine)cos()sin(eyxyxyyxyz)cos()sin(eyxyxxy

5、xvusinexuuzxvvzvucoseyuuzyvvzvucosey1 x1 zvuyxyx第9页/共28页,sin,e),(2222yxzzyxfuzyxyuxu,求解解:xu222e2zyxxyxyxyxx2422sin22e)sin21(2zyxyxuyu222e2zyxyyxyxyyxy2422sin4e)cossin(2xfxzzf222e2zyxzyfyzzf222e2zyxzyxsin2yx cos2第10页/共28页,sintvuz.ddtzztvutttzddtvettttcos)sin(cosetuuzddtvvzddtz求全导数,etu,costv 解解:tusint

6、cos注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.第11页/共28页例例4.设 f 具有二阶连续偏导数,),(zyxzyxfw求.,2zxwxw 步骤：步骤：1.必须设中间变量；令,zyxvzyxu),(vufw 则2.简化偏导数记号；以12,ff分别表示f(u,v)对第一个，第二个中间变量的偏导数，以12f表示f(u,v)先对第一个再对第二个中间变量的二阶导数；第12页/共28页例例4.设 f 具有二阶连续偏导数,),(zyxzyxfw求.,2zxwxw 步骤：步骤：3.求2 wx z等二阶偏导数时，12,ff

7、仍看作是x，y的函数，求再高阶偏导时，以此类推。第13页/共28页为简便起见,引入记号,2121vuffuff),(1zyxzyxff 具有二阶连续偏导数,),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解:令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff第14页/共28页设函数),(,),(,),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u,v 是

8、自变量还是中间变量,)dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数)(fz),(,),(yxyxudvzvd都可微,其全微分表达 形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.4.全微分形式的不变性第15页/共28页例例1.,sineyxvyxuvzu.,yzxz求)cos()sin(e yxyxyx利用全微分形式不变性再解例1.解解:)(dd zuvudsine)cos()sin(eyxyxyyx)cos()sin(eyxyxyxzyx)cos()sin(eyxyxxyzyx所以vusinevvudcose)cos()sin(e yxyxyx)(dyx)(dyx)cos()si

9、n(eyxyxxyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy第16页/共28页定理定理1.1.设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程00),(xyxF在点单值连续函数 y=f(x),)(00 xfy 并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件导数000(,)P xy第17页/共28页0)(,(xfxF两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内则第18页/共

10、28页若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFFxydd)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF)(yxFFxxyxxydd则还可求隐函数的 第19页/共28页01esinyxyx在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数,)(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解:令,1esin),(yxyyxFx;0)0,0(F,eyFxx连续;由定理可知,1)0,0(yF,0,)(xfy 导的隐函数 则xyFy cos在 x=0 的某邻域内方程存在单值可且并求第20页/共28页,eyFxxxyFy c

11、os0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyxe0,0yx0dd22xxy)cose(ddxyyxx3100yyx)e(yx)(cosxy)(eyx)1sin(yy1,0,0yyx01sin),(yxeyyxFx2)cos(xy 第21页/共28页0 xy30dd22xxy)(,01esinxyyyxyxyycos两边对 x 求导1两边再对 x 求导yyyy cos)(sin2令x=0,注意此时1,0yy0e yxyyxxey0 yx)0,0(cosexyyx 方程两边对x求导也可利用全微分求解也可利用全微分求解第22页/共28页若函数),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFF

12、xz,的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ;则方程0),(zyxF在点),(00yx并有连续偏导数,),(000yxfz 定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足;0),(000zyxF,0),(000zyxFz 在点满足:某一邻域内可唯一确第23页/共28页0),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxFyxfz则zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在第24页/共28页,04222zzyx解法解法1 1 方程两边对x求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)(2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再对 x 求导第25页/共28页设zzyxzyxF4),(222则,2xFxzxFFxz两边对 x 求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz也可利用全微分求解也可利用全微分求解第26页/共28页总结方法：总结方法：1.求隐函数的导数或偏导数，有哪些方法：答:通常有三种方法(1)利用隐函数求导公式；(2)对所给方程两端求导,再解出所求的导数或偏导数；(3)利用全微分.第27页/共28页