《《近世代数》复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《近世代数》复习（2页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、近世代数复习一、群论：基本结构有循环群，对称群与商群。基本内容有：元素 的周期，置换的表示，子群，陪集，正规子群，同态(映射)，同 构(映射)，群的类方程，Lagrange定理。基本技术:o(a)=lval; o(ab)=o(ba), 特别,在交换群中, o(ab)=o(a), o(b); 置换的周期= 非交轮换周期的最小公倍数; 中心为正规子群; lG/Nl=lGl/lNl; 所 有不同的共轭类做成G的一个划分，故有类方程IGI* G:C(a)(其 中a取自不同的共轭类)=IC(G)I +Z G:C(a)(其中a取自不同的非 中心元素所在的共轭类即元素个数大于等于2的共轭类); o(a)l
2、lGl; 若血G则UIHI I IGI;对称群Sn中奇偶置换各占一半即n!/2;所有偶 置换组成交错群A且是S的非平凡的最大的正规子群；S中的nnnn-轮换b的中心化子(即能与b交换的所有元素构成的子群)就是它 生成的循环子群，由此可知与其共轭的元素共有(n-1)!个.二、环论:基本结构有交换环，无零因子环，整环，主理想整环， 唯一分解环，多项式环，域与商环。基本内容有:理想，环同态(映射)，环同构(映射)，不可约元，整环中的因子分解，多项 式环中的因子分解，多项式的根，孙子定理(中国剩余定理)，同 余方程。基本技术:特征；在有单位元的交换环R中，主理想 (a)=aR, (a)(b)=(ab)
3、;设R是主理想整环，则a是不可约元oa是 素元o(a)是极大的理想oR/(a)是域；主理想整环是唯一分解环; 欧氏环是主理想环；环同态，商环与理想分别一一对应，即f:RS 是环同态，则kerf是R的理想且商环R/kerfImf,故若f还是满 射，则R/kerfeS;多项式的欧几里德算法；二多项式的最大公因式; 不可约多项式及其判别 （Eisenstein 判别法）; 多项式的根的判别: a是多项式f（x）的根o（x-a）lf（x）;a是重根o（x-a）lf （x）;整环上的 n次多项式的根的个数不超过n;整系数多项式的有理数根的求法; 域上的不可约多项式f（x）有重根of （x）=0;域上的（
4、一元）多项式 环是欧氏环（从而是主理想环）;整数环上的多项式环是唯一分解环 （但非主理想环）.三、域论：基本结构有素域,分裂域与有限域。基本内容有:特征， 扩域，扩域的次数，代数元素，极小多项式，本原元素，分圆多 项式。基本技术:素域仅有有理数域Q和有限域 Z/（p）=Zp=Fp=GF（p）,其中p是素数；设a是（n次）代数元，则 F（a）=Fa=a0+a1a+-an_1an-i|aeF是 F 上的 n 维向量空间（=线性 空间）（故F（a）称为F的n次扩域），即1,a,an_i是F（a）的一组基, 故a的任何有理函数均可以写成a的小于n次的多项式一此即分母 有理化的过程）;代数元a的极小多项式是以a为根且次数最小的首 一多项式;多项式的分裂域是有限次扩域 ; 有限次扩域均为单扩 域即存在本原元素;特征为p（素数）的有限域均是某多项式 XP _ X的分裂域且元数等于pn；其子域的结构由其元素个数唯一 确定即对每个dln恰有一个元数为pd的子域;n阶分圆多项式与 Xn_1的关系;有限域的乘法群是循环群.四、考试:50（原题,极容易）+25（变数,容易）+15（变形,较容易）+10（综合,不难）
《近世代数》复习
