椭圆及其标准方程文分析

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1、会计学1椭圆及其标准方程文分析椭圆及其标准方程文分析那么数学中的椭圆到底是怎样一种曲线呢？让我们一起来探究！那么数学中的椭圆到底是怎样一种曲线呢？让我们一起来探究！情景二：情景二：行星运动第一定律：椭圆定律行星运动第一定律：椭圆定律第2页/共28页探究点探究点1 1 椭圆的定义椭圆的定义 动手操作：动手操作：将一条细绳的两端固定在同一个定将一条细绳的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷直，围绕定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷直，围绕定点旋转，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？点旋转，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆平面内到定点的距离等于定长

2、的点的轨迹是圆.提示：提示：圆圆鼠标点击鼠标点击小球滑动小球滑动第3页/共28页思考思考1 1 将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在不同的两点不同的两点F F1 1，F F2 2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？笔尖一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？1F2FM结论：结论：笔尖画出的轨迹笔尖画出的轨迹是椭圆是椭圆.第4页/共28页思考思考2 2 在画椭圆的过程中，在画椭圆的过程中，(1)(1)细绳的两端的位置是固定的还是运动的？细绳的两端的位置是固定的还是运动的？提示：提示：固定的固定的.(2

3、)(2)绳子的长度变了没有？为什么要拉紧绳子？绳子的长度变了没有？为什么要拉紧绳子？提示：提示：没变化没变化.保持笔尖到两定点的距离和不变保持笔尖到两定点的距离和不变.(3)(3)绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？提示：提示：三点三点M M，F F1，F F2不共线时，构成三角形不共线时，构成三角形 ，两边之和大于第三边长，可见绳子长度大于两定点两边之和大于第三边长，可见绳子长度大于两定点距离距离.第5页/共28页 122,FFc220 时,方程表示椭圆.ac1 12 2MMF FMMF F2 2a a,椭圆的定义：椭圆的定义：椭圆的定义的符号表示：椭

4、圆的定义的符号表示：我们把平面内到两个定点我们把平面内到两个定点F F1 1，F F2 2的距离之和的距离之和_（大于（大于|F|F1 1F F2 2|）的点的集合叫）的点的集合叫作作椭圆椭圆.这两个这两个_叫作椭圆的焦点，叫作椭圆的焦点，两个焦点两个焦点F F1 1，F F2 2间的距离叫作椭圆的间的距离叫作椭圆的_._.等于常数等于常数定点定点焦距焦距第6页/共28页思考思考3 3 椭圆定义中为什么要求常数大于椭圆定义中为什么要求常数大于|F|F1 1F F2 2|(|(即即2a2c)2a2c)？提示：提示：当当|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2a|F|=2a|F2a|F1

5、 1F F2 2|时动点时动点M M的的轨迹才是椭圆轨迹才是椭圆.第7页/共28页1F2FxyO),(yxMc c,0 0c c,0 0-探究点探究点2 2 椭圆的标准方程椭圆的标准方程如图，给定椭圆，它的焦点为如图，给定椭圆，它的焦点为F F1 1，F F2 2，焦距，焦距|F|F1 1F F2 2|=2c|=2c（c0c0）,椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于2a2a（acac）.以过焦点以过焦点F F1 1，F F2 2的直线为的直线为x x轴，线段轴，线段 F F1 1F F2 2 的中垂线为的中垂线为y y轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系

6、xOy,xOy,则焦点则焦点F F1 1，F F2 2的坐标分别是的坐标分别是(c,0)c,0)，(c,0)(c,0).第8页/共28页设设M M（x,y)x,y)是椭圆上任意一点，由椭圆的定义，是椭圆上任意一点，由椭圆的定义，椭圆上的点椭圆上的点M M 满足满足1212MFMF2a.MFMF2a.222212|(),|(),MFxcyMFxcy因因为为2222()()2.xcyx cya所以所以移项后两边平方、整理，得移项后两边平方、整理，得222(),acxax cy上式两边平方、整理，得上式两边平方、整理，得22222222()(),ac xa yac a第9页/共28页即即222221

7、xyaac由椭圆定义可知由椭圆定义可知,ac所以所以220.ac令令222,bac其中其中0,b代入上式，得代入上式，得22221(0).xyabab这说明椭圆上点的坐标满足以上方程这说明椭圆上点的坐标满足以上方程.我们还可我们还可以证明，这个方程每一组解对应的点都在椭圆上以证明，这个方程每一组解对应的点都在椭圆上.第10页/共28页抽象概括：抽象概括：椭圆上任意一点的坐标都是方程椭圆上任意一点的坐标都是方程22221(0)xyabab的解；的解；都在椭圆上都在椭圆上.以方程以方程22221 (0)xyabab的解为坐标的点的解为坐标的点我们将方程我们将方程22221(0)xyabab叫作椭圆

8、的标准方程，叫作椭圆的标准方程，22212(,0),(,0),.FcF ccab其中焦点坐标是焦点坐标是第11页/共28页如果椭圆的焦点在如果椭圆的焦点在y y轴上，如图，其焦点坐标为轴上，如图，其焦点坐标为12(0,),(0,),Fc Fc用同样的方法可以推出用同样的方法可以推出它的标准方程为它的标准方程为22221(0),yxabab其中其中222.bacyOxF1F2M(0,-c)(0,c)第12页/共28页OxyF1F2M(-c,0)(c,0)思考思考1 1 如何用几何图形解释如何用几何图形解释222?bac,a b c在椭圆中分别表示哪些线段的长？在椭圆中分别表示哪些线段的长？12,

9、MFMFa12.OFOFc在直角三角形在直角三角形OMFOMF2中，由勾股定理得中，由勾股定理得=a=a2 2-c-c2 2=b=b2 2,提示：提示：如图，点如图，点M M是椭圆是椭圆与与y y轴的交点，此时轴的交点，此时22222OMMFOF可见，可见，.OMb第13页/共28页思考思考2 2 当当a a为定值时，椭圆形状的变化与为定值时，椭圆形状的变化与c c有怎样的有怎样的关系？关系？OxyF1F2M(-c,0)(c,0)22222,OMMFOF提示：提示：如图，如图，222,bac即即可见，当可见，当a a为定值时，随为定值时，随c c的增大，的增大，b b减小，椭圆变扁；减小，椭圆

10、变扁；随随c c的减小，的减小，b b增大，椭圆越接近于圆增大，椭圆越接近于圆.第14页/共28页例例1 1 已知已知B,CB,C是两个定点，是两个定点，8,BC 且且ABC的周长等于的周长等于1818，求顶点，求顶点A A满足的轨迹方程满足的轨迹方程.解解:由已知由已知18,8,ABACBCBC得得10.ABAC由定义可知点由定义可知点A A的轨迹是一个椭圆，且的轨迹是一个椭圆，且28,210,ca即即4,5.ca所以所以2229.bac第15页/共28页如图，建立平面直角坐标系，如图，建立平面直角坐标系，使使x x轴经过轴经过B,CB,C两点，原点两点，原点O O为为BCBC的中点的中点.

11、当点当点A A在直线在直线BCBC上，即上，即y=0y=0时，时，A A，B B，C C三三点不能构成三角形，因此点不能构成三角形，因此,点点A A满足的轨迹方程是满足的轨迹方程是221(0).259xyy提醒：提醒：求点的轨迹问题，要结合具体的情况剔除不满求点的轨迹问题，要结合具体的情况剔除不满足条件的点足条件的点.xyOB B C C A A点点A A不能不能在在x x轴上轴上第16页/共28页例例2:2:求满足下列条件的椭圆的标准方程：求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)(1)两个焦点的坐标分别是（两个焦点的坐标分别是（-3,0-3,0），（），（3,03,0），椭圆），椭圆上一点上一

12、点P P到两焦点的距离之和等于到两焦点的距离之和等于10.10.解解:因为因为椭圆的焦点在椭圆的焦点在x x轴上，所以设椭圆的标准方轴上，所以设椭圆的标准方程为程为22221(0).xyabab221.2516xy由题意，由题意，210,26,5,3,acac即所以所以2222253=16.bac所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为第17页/共28页(2)(2)过点过点(3,2),P 且与椭圆且与椭圆有相同的焦点有相同的焦点.22194xy设所求椭圆的标准方程为设所求椭圆的标准方程为解：解：因为所求的椭圆与椭圆因为所求的椭圆与椭圆22194xy的焦点相同，的焦点相同，所以所以其焦点在其焦点

13、在x x轴上，且轴上，且25.c22221 (0).xyabab所以有所以有22941.ab因为所求的椭圆过点因为所求的椭圆过点(3,2),P 第18页/共28页又因为又因为2225,abc由由 得得2215,10.ab221.1510 xy所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为第19页/共28页【变式练习变式练习】求经过点求经过点1 11(,),(0,)3 32AB的椭圆的标准方程的椭圆的标准方程.解析：解析：当椭圆的焦点在当椭圆的焦点在x x轴上时，设椭圆方程为轴上时，设椭圆方程为.2222+=1 0 xyababab 2 22 21 11 13 33 3+=1 1,2 22 2b b2

14、 21 1-2 2=1 1,2 2将将1 11(,),(0,)3 32AB的坐标代入椭圆方程，得的坐标代入椭圆方程，得第20页/共28页解得解得11=b=.5422，a与与 0ab矛盾，舍去矛盾，舍去.当椭圆的焦点在当椭圆的焦点在y y轴上时，设椭圆方程为轴上时，设椭圆方程为.2222+=1 0yxabab将将1 11(,),(0,)3 32AB的坐标代入椭圆方程，得的坐标代入椭圆方程，得第21页/共28页解得解得11=b=.4522，a故所求的椭圆方程为故所求的椭圆方程为114522+=1.yxaa 2 22 21 11 13 33 3+=1 1,2 22 2b b2 21 1-2 2=1

15、1,2 2第22页/共28页【提升总结提升总结】求椭圆标准方程的解题步骤：求椭圆标准方程的解题步骤：（1 1）确定焦点的位置）确定焦点的位置.（2 2）设出椭圆的标准方程）设出椭圆的标准方程.（3 3）用待定系数法确定）用待定系数法确定a a，b b的值，写出椭圆的标准方程的值，写出椭圆的标准方程.第23页/共28页1.1.动点动点P P到两定点到两定点F F1(-4,0)(-4,0)，F F2(4,0)(4,0)的距离和是的距离和是8 8，则动点则动点P P的轨迹为（的轨迹为（）A.A.椭圆椭圆 B.B.线段线段F F1 1F F2 2 C.C.直线直线F F1 1F F2 2 D.D.无轨

16、迹无轨迹B B第24页/共28页2.2.已知椭圆的标准方程为已知椭圆的标准方程为 ,则焦点坐标则焦点坐标为为()()A.(1,0)B.(0,1)A.(1,0)B.(0,1)C.(C.(1,0)D.(0,1,0)D.(0,1)1)解析：解析：由标准方程由标准方程 得得a a2 2=4,b=4,b2 2=3,=3,所以所以c c2 2=a=a2 2-b-b2 2=1=1，所以焦点坐标为，所以焦点坐标为(1,0).1,0).22xy14322xy143C C第25页/共28页3.3.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0,-3)(0,-3)，(0,3)(0,3)，椭圆上的点

17、，椭圆上的点P P到两焦点距离的和等于到两焦点距离的和等于8.8.求椭圆的标准求椭圆的标准方程方程.解析解析:因椭圆的焦点在因椭圆的焦点在y y轴上，轴上，故可设椭圆的标准方程为故可设椭圆的标准方程为22221(0).yxabab221.167yx由题意，由题意，3,284,caa所以，所以，2227,bac椭圆的标准方程为椭圆的标准方程为第26页/共28页2222+=1 0 xyabab2222+=1 0yxabab分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离之和等的距离之和等于常数（大于于常数（大于|F1F2|）的点的集合）的点的集合12-,0,0FcFc，120,-0,FcFc，标准方程标准方程不不 同同 点点相相 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a,b,c 的关系的关系焦点位置的判焦点位置的判断断xyF1 1F2 2MOxyF1 1F2 2MOxyF1 1F2 2MO第27页/共28页感谢您的观看！感谢您的观看！第28页/共28页