复变函数12复数的几何表课件

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1、复变函数12复数的几何表课件1第二节 复数的几何表示一、复平面二、复球面三、小结与思考复变函数12复数的几何表课件2一、复平面一、复平面1.复平面的定义复平面的定义.,.),(面面面面叫叫复复平平这这种种用用来来表表示示复复数数的的平平轴轴叫叫虚虚轴轴或或纵纵轴轴轴轴通通常常把把横横轴轴叫叫实实轴轴或或用用来来表表示示复复数数的的平平面面可可以以一一个个建建立立了了直直角角坐坐标标系系因因此此对对应应成成一一一一与与有有序序实实数数对对复复数数yxyxiyxz .),(表表示示面面上上的的点点可可以以用用复复平平复复数数yxiyxz ),(yx xyxyoiyxz 复变函数12复数的几何表课件

2、32.复数的模复数的模(或绝对值或绝对值),的模或绝对值的模或绝对值向量的长度称为向量的长度称为 z ,表表示示可可以以用用复复平平面面上上的的向向量量复复数数OPiyxz .22yxrz 记为记为xyxyoiyxz Pr显然下列各式成立显然下列各式成立,zx ,zy ,yxz .22zzzz 复变函数12复数的几何表课件43.复数的辐角复数的辐角 .Arg,0 zzOPzz记记作作的的辐辐角角称称为为为为终终边边的的角角的的弧弧度度数数的的向向量量以以表表示示以以正正实实轴轴为为始始边边的的情情况况下下在在说明说明,0有无穷多个辐角有无穷多个辐角任何一个复数任何一个复数 z ,1是是其其中中

3、一一个个辐辐角角如如果果 ).(2Arg1为为任任意意整整数数kkz ,0,0 ,zz时时当当特特殊殊地地的全部辐角为的全部辐角为那么那么 z辐角不确定辐角不确定.复变函数12复数的几何表课件5辐角主值的定义辐角主值的定义:.arg ,Arg ,)0(000zzz 记记作作的的主主值值称称为为的的把把满满足足的的辐辐角角中中在在,0 x)2arctan2(xy其中其中辐角的主值辐角的主值0 z zarg,0,0 yx,0,0 yx.0,0 yx,arctanxy,2,arctan xy,复变函数12复数的几何表课件64.利用平行四边形法求复数的和差利用平行四边形法求复数的和差xyo1z2z21

4、zz xyo1z2z21zz 2z 两个复数的加减法运算与相应的向量的两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致加减法运算一致.复变函数12复数的几何表课件75.复数和差的模的性质复数和差的模的性质;)1(2121zzzz .)2(2121zzzz ,2121故故之之间间的的距距离离和和表表示示点点因因为为zzzz 1z2z21zz xyo1z2z.实轴对称的实轴对称的复平面内的位置是关于复平面内的位置是关于在在和和一对共轭复数一对共轭复数zzxyoiyxz iyxz 复变函数12复数的几何表课件8利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系 ,sin,cos ryrx复数可以表

5、示成复数可以表示成)sin(cos irz 复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式再利用欧拉公式,sincos iei 复数可以表示成复数可以表示成 irez 复数的指数表示式复数的指数表示式欧拉介绍欧拉介绍6.6.复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示复变函数12复数的几何表课件9例例1 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:;5cos5sin)2(;212)1(iziz解解zr )1(,4412 ,在第三象限在第三象限因为因为 z122arctan 所所以以 33arctan,65 故三角表示式为故三角表示式为,65sin65cos

6、4 iz复变函数12复数的几何表课件10指数表示式为指数表示式为.465iez 5cos5sin)2(iz 52cos5sin,103cos 52sin5cos,103sin 故三角表示式为故三角表示式为,103sin103cos iz指数表示式为指数表示式为.103iez 复变函数12复数的几何表课件11例例2 2.,0 ,sincos1 的的辐辐角角的的主主值值并并求求式式三三角角表表示示式式与与指指数数表表示示化化为为把把复复数数ziz 解解 sincos1iz 2cos2sin22sin22 i 2cos2sin2sin2 i 2sin2cos2sin2 i.2sin22ie (三角式

7、三角式)(指数式指数式).2arg z复变函数12复数的几何表课件12例例4 4.(2);(1):,2121212121zzzzzzzzzz 证证明明为为两两个个任任意意复复数数设设证证21(1)zz)()(2121zzzz)(2121zzzz)(2211zzzz.21zz 221(2)zz )()(2121zzzz )(2121zzzz 21212211zzzzzzzz 21212221zzzzzz 复变函数12复数的几何表课件13 221zz 2221zz )Re(221zz2122212zzzz 2122212zzzz ,)(221zz ,)Re(2 212121zzzzzz 因因为为两

8、边同时开方得两边同时开方得.2121zzzz 复变函数12复数的几何表课件14例例6 6.222111表示表示线用复数形式的方程来线用复数形式的方程来的直的直与与将通过两点将通过两点iyxziyxz 解解 ),(),(2211的直线的方程的直线的方程与与通过两点通过两点yxyx )()(121121 yytyyxxtxx),(t参参数数所以它的复数形式的参数方程为所以它的复数形式的参数方程为)(121zztzz ),(t参参数数复变函数12复数的几何表课件15 ,21的直线段的参数方程为的直线段的参数方程为到到由由故故zz 10)(121 tzztzz,21 t若取若取 21的的中中点点坐坐标

9、标为为得得线线段段zz.221zzz 复变函数12复数的几何表课件16例例8 8求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:.4)Im()3(;22)2(;2)1(ziziziz解解.2 2)1(的的点点的的轨轨迹迹为为距距离离表表示示所所有有与与点点方方程程iiz .2,的的圆圆半半径径为为即即表表示示中中心心为为i ,iyxz 设设,2)1(iyx,2)1(22 yx.4)1(22 yx圆圆方方程程复变函数12复数的几何表课件1722)2(ziz.22距离相等的点的轨迹距离相等的点的轨迹和和表示所有与点表示所有与点 i.22段段的的垂垂直直平平分分线线的的线线和和连连接接点点故故方方程程

10、表表示示的的曲曲线线就就是是 i ,iyxz 设设,22 yixiyix化简后得化简后得.xy 4)Im()3(zi ,iyxz 设设,)1(iyxzi ,41)Im(yzi.3 y所求曲线方程为所求曲线方程为复变函数12复数的几何表课件18二、复球面二、复球面1.南极、北极的定义南极、北极的定义 ,0 的的球球面面点点取取一一个个与与复复平平面面切切于于原原 z ,与原点重合与原点重合球面上一点球面上一点 S,NS点点直线与球面相交于另一直线与球面相交于另一作垂直于复平面的作垂直于复平面的通过通过 .,为为南南极极为为北北极极我我们们称称SNxyPNOS复变函数12复数的几何表课件19 球面

11、上的点球面上的点,除去北极除去北极 N 外外,与复平面内与复平面内的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用我们可以用球面上的点来表示复数球面上的点来表示复数.我们规定我们规定:复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与与复平面上的无穷远点相对应复平面上的无穷远点相对应,记作记作.因而球面因而球面上的北极上的北极 N 就是复数无穷大就是复数无穷大的几何表示的几何表示.球面上的每一个点都有唯一的复数与之球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应对应,这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面.2.复球面的定义复球面的定义复变函数12复数的几何表课件203.扩充复平

12、面的定义扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面或简称复平面.对于复数对于复数来说来说,实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无意辐角等概念均无意义义,它的模规定为正无穷大它的模规定为正无穷大.复球面的优越处复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.复变函数12复数的几何表课件21 :的四则运算规定如下的四则运算规定如下关于关于 )(,:)1(加加法法)(,:)2(减法减法)0(,:)3(乘法乘法)0(

13、,0),(,0 :)4(除除法法复变函数12复数的几何表课件22三、小结与思考三、小结与思考 学习的主要内容有复数的模、辐角学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的复数的各种表示法各种表示法.并且介绍了复平面、复球面和扩充并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面复平面.注意注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大无穷远点无穷远点与无穷大这个复数相对应这个复数相对应,所谓所谓无穷大无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大无穷大或或正、负正、负无穷大无穷大混为一谈混为一谈复变函数12复数的几何表课件23思考题思考题是否任意复数都有辐角是否任意复数都有辐角?复变函数12复数的几何表课件24思考题答案思考题答案否否.,0 的的情情况况特特殊殊唯唯有有 z它的模为零而辐角不确定它的模为零而辐角不确定.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.复变函数12复数的几何表课件25Leonhard EulerBorn:15 April 1707 in Basel,SwitzerlandDied:18 Sept 1783 in St Petersburg,Russia欧拉资料欧拉资料