资产定价理论之均值－方差前沿和beta表达式

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1、第一部分 资产定价理论第五章 均值方差前沿和 beta 表达式1本章要点n许多资产定价中的经验研究论文是用期望收益beta 表达式和均值方差前沿的语言来写的。这一章介绍期望收益beta 表达式和均值方差前沿。n我在这里讨论因子定价模型的 beta 表达式。第六章指出期望收益beta 模型是如何等价于一个折现因子为 m=bf 的线性模型。第九章讨论诸如 CAPM,ICAPM 和 APT 那样的流行因子模型的推导推导。2本章要点（续）n我对均值方差前沿概述了经典的 Lagrange 方法。然后，我引入由 Hansen and Richard(1987)提出的均值方差前沿的强有力而有用的表达式。这个

2、表达式由存在定理来运用熟知的状态空间几何。在无限维偿付空间(当我们再加上条件信息、动态交易或者期权时，我们将立即遇到这样的空间)中，它也成立，因而它也很有用。3 5.1 期望收益beta 表达式n因子定价模型的期望收益beta表达式为n该模型等价于一种限制：在时间序列回归中对于所有资产的截距是一样的。n许多金融学中的经验研究是用线性因子定价模型的期望收益beta 表达式来写的。其形式为4 项的计算n 项定义为下列收益关于因子的多重回归中的系数，n它通常称为时间序列回归时间序列回归。“因子”f 是边际效用增长的代理。第九章中将讨论它从哪里来。n这个回归式并不是用来预测收益，其目标是度量当前关系或

3、风险暴露。5 与 是公共的n在期望收益 beta 表达式中，与 是公共的。模型表明，越高，资产的平均收益就越高。也可解释为风险暴露。n模型可说成是：“每单位关于风险因子a 的暴露,你必须向投资者提供期望收益溢价 。”6怎样估计 与？n自由参数 与 的估计是通过平均收益关于 beta 的横截面回归横截面回归：n 是定价误差定价误差。模型的预测是 为零。因此，它应该在检验中统计上是不显著的，经济上很小。以后将专门讨论基于平方定价误差和的统计检验。7 的含义 n 是回归系数的事实极为重要。如果 也是自由参数，那么模型就没有任何内容。n更为重要的是，不可能是资产或公司专有的特征，例如公司规模，BTM比

4、，或者（取极端状况）其标记的第一个字母等等那样的特征。n期望收益确实联系或相关许多这样的特征，但是这种相关性必须用某些 回归系数来解释。n真正的 应该导出横截面回归中的特征。它刻划的是你的行为，而并非说你是谁。8某些公共的特殊情形某些公共的特殊情形n如果存在无风险利率，那么它相应的 都是零。因此，如果不存在无风险利率，通过横截面回归来估计，并称为零-利率。n对于一般的超额收益 ，有 这里没有 .9某些公共的特殊情形（续）某些公共的特殊情形（续）n在许多情况下，因子也是收益或超额收益。这时，等等成立。因此，n上式是横截面回归，而不是时间序列回归。应该注意其中的区别。这里尤其是截矩上的区别。“On

5、e can always run a regression of anything on anything.”105.2 均值方差前沿：直观刻划和 Lagrange 刻划n典型的均值方差前沿如图。注意：本书的“前沿”不要求“有效”。11均值方差前沿的存在定理n给定资产集的均值方差前沿是给定资产的所有组合上的收益的均值和方差的集合的边界。通过给定平均收益最小化收益方差可求得或定义这一边界。n定理：如果收益的方差协方差矩阵非定理：如果收益的方差协方差矩阵非异，那么均值方差前沿存在。异，那么均值方差前沿存在。12均值方差前沿的Lagrange方法n问题：问题：设 R 为资产收益向量。EE(R)为均值

6、收益向量，E(R-E)(R-E)为协方差矩阵。组合向量定义为满足 w1=1的 w.于是“对于给定均值选取组合，是方差最小”的问题为13组合选择问题的解n解：解：令 那么对于给定的平均组合收益，最小方差组合的方差为 （抛物线）组合权重为14最小方差组合和“二基金分离”n把前面得到的方差对 求最小值，可得 其相应的最小方差为 ,而相应的组合权重为n由于 w 是 的线性函数，整个前沿可由两个前沿收益生成（二基金分离定理）。15组合选择问题求解的推导n对两个约束条件引入 Lagrange 乘子 2 和 2，由一阶条件可得n再由约束条件可得16组合选择问题求解的推导（续）n它也可以写成因此，175.3

7、均值方差前沿的正交特征n上面介绍的是经典的均值方差前沿理论。除 Markowitz(1952)的开创性研究外，主要是 Merton(1972),Roll(1977)等所作的贡献。这种方法很直接，但比较笨拙。nHansen and Richard(1987)提出了一种均值方差前沿的新的讨论方法，它甚至适用于无限维偿付空间。18 和 的定义n 的定义n 的定义19为什么要选取这两个收益？n 是代表折现因子的收益。n 是代表超额收益。n它们的主要性质可由下式看出：20正交分解定理n定理：每个收益定理：每个收益 可表达为可表达为 其中其中 是一个数，是一个数，是有下列性质的是有下列性质的超额收益超额收

8、益 三个分量是正交的：三个分量是正交的：21均值方差前沿定理n定理：定理：在均值方差前沿上当且仅当在均值方差前沿上当且仅当 对于某个实数对于某个实数 w 成立。成立。n这是一种新形式的二基金分离定理。22定理的几何构造n我们要注意的是：任何收益的价格等于1！23定理的代数论证n一种直截了当的证明是取n另一种证明是注意到对于任何收益 ，有 1.于是问题就转化为一个超额收益超平面上的向量的正交分解问题。此外，还要注意到 =0.24在均值标准差空间中的分解。n均值标准差空间与状态空间不一样，无法显示正交关系，但是可以看出“异质风险”。注意 R*的特殊地位。255.4 生成均值方差前沿n用 和 来表示

9、的均值方差前沿的特征在我们的框架中是最自然的。然而，你也可以用任何两个前沿上的组合，即任何两个 和 的不同线性组合，来生成均值方差前沿。但是这时权重的系数将有所变化。n特别是在无风险利率存在时，可利用它来生成均值方差前沿。265.5 ,和 x*的性质汇总n(1)n(2)n(3)27n(4)n(5)n(6)n(7)n(8)是方差最小的收益。5.5 ,和 x*的性质汇总285.5 ,和 x*的性质汇总n(9)n(10)如果存在无风险利率，那么n(11)29n(12)n(13)n(14)5.5 ,和 x*的性质汇总305.6 对于折现因子的均值方差前 沿:Hansen-Jagannathan 界限n

10、对给定的资产集定价的所有折现因子的均值方差前沿通过 Sharpe 比来构造。即由 可得31Hansen-Jagannathan 界限n这个等式就称为Hansen-Jagannathan 界限。它对于理解和克服股权溢价之谜来说，是一个重要 的工具。它也可以通过左面的图来理解。32折现因子波动率和 Sharpe 比关系n由此可得到一个美妙的对偶关系：n对此，我们可求得明确的计算。我们曾经求得 其中33Hansen-Jagannathan 界限公式n由此可导得n为进一步进行估计，记折现因子 m 全体为 M.类似与以前的讨论，m 也可有下列分解：其中34分解式的图解35 折现因子的均值方差前沿 n与均值方差前沿的讨论一样，由 可得其折现因子的均值方差前沿为n这就是说，下列关系成立：36进一步计算n我们仍可利用以前的计算：n再由 可得n这样折现因子的均值方差前沿为37进一步计算（续）n由此可得n再由 我们再次导得38 Hansen-Jagannathan 界限的意义n从数学上来看，Hansen-Jagannathan 界限的讨论是一种对偶关系的讨论。这在讨论框架条件变更时，非常有用。例如，增加一种证券对均值方差前沿的影响，就可通过讨论对 Hansen-Jagannathan 界限的影响来进行。n更深入的讨论，还可要求折现因子为正：39