概率论与数理统计参考答案

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1、概率论与数理统计,主讲人理学院：周娟,第一章习题1.1(第7页),=1, 2, 3, 4, 5, 6, A=1, 3, 5.,1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A:,(1)抛一颗骰子, 观察向上一面的点数, A表示“出现奇数点”.,(2)对一个目标进行射击, 一旦击中便停止射击, 观察射击的次数, A表示“射击不超过3次”.,(3)把单位长度的一根细棒折成 三段, 观察各段的长度, A表示“三段细棒能构成一个三角形”.,=1, 2, 3, ，A=1, 2, 3,=(a, b, 1ab)|a, b0且a+b1,2. 把 表示成n个两两互不相容事件的和。,A=(a, b, 1a

2、b)|00.5,=(a, b, c)|a, b, c0且a+bc1,=(a, b, c)|0a, b, c0.5且a+bc1,解 n2时,n3时,一般地,3. 在某班学生中任选一个同学,以 A表示选到的是男同学, B表示选到的人不喜欢唱歌, C表示选到的人是运动员.,(1) 表述ABC及ABC;,(2) 什么条件下成立ABC=A?,ABC 表示: 选到的是不喜欢唱歌不是运动员的男同学.,成立的条件是: 男同学一定是不喜欢唱歌的运动员.,ABC 表示: 选到的是喜欢唱歌的男运动员同学.,(3) 何时成立,成立的条件是: 非运动员同学一定不喜欢唱歌.,(4) 何时同时成立A=B与 A=C ?,成立

3、的条件是: 男同学都不是运动员都不喜欢唱歌，女同学都是喜欢唱歌的运动员.,AB+AC+BC,ABC,A+B+C,4. 设A,B,C为三个随机事件, 用A,B,C的运算及关系表示下列各事件:,(1) A发生,B与C不发生;,(2) A和B都发生,而C不发生;,(4) A, B, C都发生;,(3) A, B, C至少有一个发生;,(8) A,B,C至少有二个发生;,(5) A, B, C都不发生;,(6) A,B,C不多于一个发生;,(7) A,B,C不多于两个发生;,第一章习题1.2(第12页),1. 某城市共发行三种报纸A, B, C, 已知城市居民订购A的占45%, 订购B的占35%, 订

4、购C的占30%, 同时订购A与B的占10%, 同时订购A与C的占8%, 同时订购B与C的占5%, 同时订购A, B, C的占3%, 求下列事件的概率:,(1) 只订购A;,(2) 只订购A与B;,P(A(B+C)=P(A)P(A(B+C),=P(A)P(AB)P(AC)+P(ABC),=0.450.10.08+0.03=0.3,P(ABC)=P(AB)P(ABC)=0.10.030.07,1. 某城市共发行三种报纸A, B, C, 已知城市居民订购A的占45%, 订购B的占35%, 订购C的占30%, 同时订购A与B的占10%, 同时订购A与C的占8%, 同时订购B与C的占5%, 同时订购A,

5、 B, C的占3%, 求下列事件的概率:,(3) 只订购一种报纸;,由(1)知: P只订购A=P(A)P(AB)P(AC)+P(ABC)0.3,同理, P只订购B=P(B)P(AB)P(BC)+P(ABC)0.23,或 P=P(A+B+C)P(AB)P(AC)P(BC)2P(ABC),P只订购C=P(C)P(AC)P(BC)+P(ABC)0.2,所以, P只订购一种报纸=0.30.230.20.73,=P(A)+P(B)+P(C)2P(AB)2P(AC)2P(BC)3P(ABC),=0.45+0.35+0.30.20.160.1+0.09=0.73,1. 某城市共发行三种报纸A, B, C,

6、已知城市居民订购A的占45%, 订购B的占35%, 订购C的占30%, 同时订购A与B的占10%, 同时订购A与C的占8%, 同时订购B与C的占5%, 同时订购A, B, C的占3%, 求下列事件的概率:,(4) 正好订购两种报纸;,P正好订购A,B=P(AB)P(ABC)0.07,所以, P正好订购两种报纸=0.14,=P(AB)+P(AC)+P(BC)3P(ABC),=0.10.080.050.090.14,P正好订购A,C=P(AC)P(ABC)0.05,P正好订购B,C=P(BC)P(ABC)0.02,或直接写出: P正好订购两种报纸,1. 某城市共发行三种报纸A, B, C, 已知城

7、市居民订购A的占45%, 订购B的占35%, 订购C的占30%, 同时订购A与B的占10%, 同时订购A与C的占8%, 同时订购B与C的占5%, 同时订购A, B, C的占3%, 求下列事件的概率:,(5) 至少订购一种报纸;,P至少订购一种报纸=P只订购一种报纸,+P(ABC)=0.9,P不订购任何报纸=1P至少订购一种报纸,=10.90.1,P正好订购两种报纸P订购三种报纸0.9,或 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC),(6) 不订购任何报纸;,1. 某城市共发行三种报纸A, B, C, 已知城市居民订购A的占45%, 订购B的占35%, 订购C的

8、占30%, 同时订购A与B的占10%, 同时订购A与C的占8%, 同时订购B与C的占5%, 同时订购A, B, C的占3%, 求下列事件的概率:,(7) 至多订购一种报纸;,P至多订购一种报纸,或 P至多订购一种报纸,=10.140.030.83,P不订购任何报纸P只订购一种报纸,=0.10.730.83,或 =1P正好订购二种报纸 P订购三种报纸,2. 设在统计课考试中, 学生A不及格的概率是0.5, 学生B不及格的概率是0.2, 两人同时不及格的概率是0.1, 求:,(1) 两人中至少有一人不及格的概率;,解 记A=“学生A不及格”, B=“学生B不及格”，则,(1) P(A+B)=P(A

9、)+P(B)P(AB)0.50.20.10.6,(2) P(AB)=P(A+B)=1P(A+B)=10.6=0.4,(2) 两人都及格的概率;,(3) 两人中只有一个人不及格的概率;,(3) P只有一人不及格,P至少有一人不及格P两人都不及格,0.60.10.5,3. 设A, B为两个随机事件, P(A)=0.7, P(AB)=0.3,求P(AB).,解 由于P(AB)=P(AAB)=P(A)P(AB),4. 设P(A)=P(B)=0.5, 证明: P(A B)=P(A B).,所以，P(AB)=1P(AB)=10.40.6,证明 P(AB)=P(A)+P(B)P(A+B)=1P(A+B),=

10、P(A+B)=P(A B),7. 人体血型的一个简化模型包括4种血型和2种抗体: A、B、AB与O型, 抗A与抗B. 抗体根据血型与人的血液以不同的形式发生作用. 抗A只与A、AB型血发生作用, 不与B、O型血作用, 抗B只与B、AB型血发生作用, 不与A、O型血作用, 假设一个人的血型是O型血的概率为0.5, 是A型血的概率为0.34, 是B型血的概率为0.12, 求:,(2) 一个人的血型与两种抗体都发生作用的概率.,(1) 抗A, 抗B分别与任意一人的血型发生作用的概率;,解 由已知可得: 一个人血型是AB型血的概率为0.04.,(1) PA=0.34+0.04=0.38, PB=0.1

11、2+0.04=0.16,(2) P=0.04,第一章章末习题1(第35页),1. 已知随机事件A, B满足P(AB)=P(A B), 且P(A)=p, 求P(B).,解 由于 P(AB)=P(A)P(B)P(AB),=P(A)P(B)1+P(AB),=P(A)P(B)1+P(A B),所以, P(A)P(B)1=0,即, P(B)1P(A)1p,第一章习题1.3(第19页),2. 在1500个产品中, 有400个次品, 1100个正品, 从中任取200个, 求: (1) 恰有90个次品的概率; (2) 至少有2个次品的概率.,解 (1) n,(2) P2=1P至多有一个次品,所以, P1n1/

12、n,=1P没有次品P恰有一个次品,3. 一个口袋里装有10只球, 分别编有号码1, 2, ,10, 随机地从这个口袋取三只球, 求:,解 (1) 组合法: n,(1) 最小号码是5的概率; (2) 最大号码是5的概率.,所以, P1=n1/n,或用排列法:,(2) P2=n2/n,(1) P1=n1/n,(2) P2=n2/n,5. 进行一个试验: 先抛一枚均匀的硬币, 然后抛一个均匀的骰子,解 (1) 设试验是观察硬币正反面和骰子的点数, 则,= (正面, 1点), (正面, 2点), (正面, 3点), (正面, 4点), (正面, 5点), (正面, 6点), (反面, 1点), (反面

13、, 2点), (反面, 3点), (反面, 4点), (反面, 5点), (反面, 6点), ,(2) P=3/12=1/40.25,(1) 描述该试验的样本空间；,(2) 硬币是正面且骰子点数是奇数的概率是多少？,6. 假设2个叫Davis的男孩, 3个叫Jones的男孩, 4个叫Smith的男孩随意地坐在一排9座的座位上. 那么叫Davis的男孩刚好坐在前两个座位上, 叫Jones的男孩坐在挨着的3个座位上, 叫Smith的男孩坐在最后4个座位上的概率是多少?,解 n,所以, P=nA/n=,解 记两艘船到达泊位的时间分别为x, y, 则样本空间为： (x, y)|0 x24, 0y24,

14、A=(x, y)|(x, y), 且4xy3,m()=242=576,m(A)=242212/2202/2,7. 某码头只能容纳一只船. 现知某日独立地来两只船, 且在24小时内各时刻来到的可能性相等. 若它们需要停靠的时间分别为3小时和4小时, 那么有一只船需要等待进入码头的概率是多少？,=155.5,所以, P(A)=155.5/576=0.27,9. 把长度为l的线段任意折成3段, 求它们能构成三角形的概率.,解 记3段长度为x, y, z 则有:,=(x, y,z)|x, y, z0且x+y+z=l,A=(x, y, z)|0 x, y, zl/2且x+y+z=l ,m()=,m(A)

15、=,所以, P(A)=1/4=0.25,或, 第i个部件强度太弱的概率为:,第一章章末习题1(第35页),4. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上, 其中有3个铆钉强度太弱. 每个部件用3只铆钉. 若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上, 则这个部件的强度就太弱. 问发生一个部件强度太弱的概率是多少?, k=,p=,解 n=,所以, 发生一个部件强度太弱的概率为:,8. 甲、乙两人轮流掷一颗骰子, 每轮掷一次, 谁先掷出6点谁取胜, 若从甲开始, 问甲乙取胜的概率各为多少？,解 由于每轮掷出6点的概率为1/6, 掷不出概率为5/6.,显然, 奇数轮掷出甲取胜, 所以甲取胜的概率为:,所以,

16、第i轮掷出6点的概率为:,乙取胜的概率为: p乙胜1p甲胜5/11.,第一章习题1.4(第23页),1. 已知P(A)=0.8, P(B)=0.7, P(A|B)=0.8, 求P(AB).,解 由于 P(AB)=P(B)P(A|B)=0.70.8=0.56,所以, P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.94,于是, P(AB)=P(A+B)=1P(A+B)=0.06,解 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.8,PB(AB)=P(BA+)=P(A)P(AB)=0.2,P(B|AB)=PB(AB)/P(AB) =0.25,3. 据以往资料,某一3口之家,患某种传染病的概率有以下

17、规律:P孩子得病=0.6, P母亲得病|孩子得病= 0.5, P父亲得病|母亲及孩子得病=0.4. 求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率.,解 P母亲及孩子得病,P母亲及孩子得病但父亲未得病,P父亲未得病|母亲及孩子得病=10.4=0.6,=0.30.6=0.18,=P孩子得病P母亲得病|孩子得病=0.3,=P母亲及孩子得病P父亲未得病|母亲及孩子得病,4. 若M件产品中有m件废品, 今在其中任区两件,(1) 已知取出的两件中至少有一件是废品, 求另一件也是废品的概率;,解 记Ai=“取出的两件中有i件废品”，i=0, 1, 2. 则,(2) 已知取出的两件中至少有一件不是废品, 求另一件是废品

18、的概率;,(3) 求取出的两件中至少有一件是废品的概率.,(1) P1=P(A2|A1+A2)=P(A2)/P(A1+A2),(2) P2=P(A1|A0+A1)=P(A1)/P(A0+A1),(3) P3=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2),所以, P(AB都有效)=P(B有效)P(A失灵B有效)=0.862,5. 为防止意外事故, 矿井内同时安装了两个警报系统A与B, 每个系统单独使用时, 有效率A为0.92, B为0.93, 在A失灵条件下B的有效率为0.85, 求,解 (1) P(A失灵B有效)=P(A失灵)P(B有效|A失灵)=0.068,(2) 在B失灵的条件下, A有效的概

19、率.,(1)发生事故时, 这两个警报系统至少有一个有效的概率.,因此, P(AB至少有一个有效)=P(A有效)+P(B有效)P(AB都有效)=0.92+0.930.8636=0.988,(2) P(A有效B失灵)=P(A有效)P(AB都有效)0.058,P(A有效|B失灵)=P(A有效B失灵)/P(B失灵)0.829,6. 一顾客每次购买牙膏都选择品牌A或B, 假定初次购买后, 以后每次购买时他仍选择上一次品牌的概率为1/3, 设该顾客第一次购买时选择A或B的概率相等, 求他第一次和第二次都购买A牌牙膏而第三次和第四次都购买B牌牙膏的概率.,解记Ai=“第i次购买A牌牙膏”,Bi=“第i次购买

20、B牌牙膏”.,P(A1A2B3B4)=P(A1)P(A2|A1)P(B3|A1A2)P(B4|A1A2B3),=1/21/32/31/3=1/27,(2) 若已知至少取出一个红色卡片,求两个卡片都是红色的概率.,(1) 若已知卡片A被抽出, 求两个卡片都是红色的概率;,解(1) P(两个红色|A被取出)=P(A+一红)/P(A被取出),7. 假定一个箱子里共装有一个蓝色卡片和四个分别记为A, B, C, D的红色卡片. 设从箱子中一次随机地抽出两个卡片.,=(21/53/4)/(2/5)=3/4,(2) P(两个红色|至少一红)=P(两个红色)/P(至少一红),=P(两个红色)=4/53/43

21、/5,8. 某人忘了电话号码的最后一个数字, 因而他随意地拨号. 求他拨号不超过三次就接通所要拨打的电话的概率.若已知最后一个数字是奇数, 那么此概率又是多少？,解 P11/10+9/101/9+9/108/91/8=3/10=0.3,P21/5+4/51/4+4/53/41/3=3/5=0.6,1. 已知产品中96是合格的, 现有一种简化的检查方法. 它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98, 而误认废品为合格品的概率为0.05, 求以简化法检查为合格品的一个产品确实是合格品的概率。,解 记A=“检查为合格品”, B=“确实是合格品” , 则,第一章习题1.5(第27页),P(B|A)=

22、,= 0.9979,解 记A=“目标被击毁”, B1=“距目标250米处发射”, B2=“距目标200米处发射”, B3=“距目标150米处发射”.,P(B1|A)=,2. 炮战中, 在距目标250米, 200米, 150米处发射的概率分别为0.1, 0.7, 0.2, 命中目标的概率分别为0.05, 0.1，0.2, 现在已知目标被击毁, 求击毁目标的炮弹是由距目标250米处发射的概率.,0.04348,解 记A=“色盲患者”, B1=“男性”, B2=“女性”.,P(B1|A)=,0.9524,3. 已知男性有5%是色盲患者, 女性有0.25%是色盲患者. 今从男女人数相等的人群中随机地挑

23、选一人, 恰好是色盲患者, 问此人是男性的概率是多少?,解 记A=“收到A”, B1=“发送A”, B2=“发送B”.,P(B1|A)=,0.9949,5. 将两条信息分别编码为A和B传递出去, 接收站收到时, A被误收作B的概率为0.02, 而B被误收作A的概率为0.01. 信息A与信息B传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A, 问原发信息是A的概率是多少?,7. 有两箱同种类的零件. 第一箱装50只, 其中10只一等品;第二箱装30只, 其中18只一等品. 今从两箱中任挑出一箱,然后从该箱中不放回地抽取零件两次. 每次任取一只. 求： (1)第一次取到的零件是一等品的概率. (2

24、)第一次取到的零件是一等品的条件下, 第二次取到的也是一等品的概率.,解 (1) p1=0.510/50+0.518/30,(2) P都一等=0.510/509/49+0.518/3017/29,=1/10+3/10=4/10=0.4,=9/490+51/290=0.194,p2=P都一等/p1=0.4856,第一章章末习题1(第35页),5. 一打靶场备有5支某种型号的枪, 其中3支已经校正, 2只未经校正. 某人使用已校正的枪击中目标的概率为p1,使用未经校正的枪击中目标的概率为p2, 现在他随机地取了一支枪, 射击5次都未击中, 求他使用的是已校正的枪的概率(设各次射击的结果相互独立).

25、,解 记A“5次都未击中”, B=“使用的是已校正的枪”.,P(B|A)=P(B)P(A|B)/P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B),=3/5(1p1)5/3/5(1p1)5+2/5(1p2)5,=3(1p1)5/3(1p1)5+2(1p2)5,7. 设甲, 乙, 丙三门炮同时独立地向某目标射击, 命中率分别为0.2, 0.3, 0.5, 目标被命中一发而击毁的概率为0.2 , 被命中两发而击毁的概率为0.6 , 被命中三发而被击毁的概率为0.9. 求: (1) 三门炮在一次射击中击毁目标的概率; (2) 若已知目标被击毁, 求只由甲炮击中的概率.,P(B1)=0.2(10.3)(10.

26、5)+(10.2)0.3(10.5),+(10.2)(10.3)0.5=0.47,P(B2)=0.20.3(10.5)+ 0.2(10.3)0.5,解 记A=“目标被击毁”, Bi=“被命中i发” , (i=1,2,3),+(10.2)0.30.5=0.22,P(B3)=0.20.30.5=0.03,=0.470.2+0.220.6+0.030.9=0.253,(2) 记C=“只有甲命中”. 则,P(C)=0.2(10.3)(10.5)=0.07, 于是,(1) P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3),P(C|A)=P(AC)/P(A)=P(C)

27、P(A|C)/P(A),=0.070.2/0.253,=0.0553,11. 假设一厂家生产的每台仪器, 以概率0.7直接出厂,以概率0.3需进一步调试, 经调试以后以概率0.8出厂, 以概率0.2定为不合格不能出厂, 现该厂新生产了n ( n2 )台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立), 求: (1)全部能出厂的概率; (2)其中恰好有两台不能出厂的概率; (3)其中至少有两台不能出厂的概率 .,解 每台仪器能出厂的概率p0.70.30.80.94.,(1) =0.94n ;,(2) =Cn2(0.06)2(0.94)n20.0018n(n1)(0.94)n2,(3) =10.94n0.0

28、6n(0.94)n1,解 n个卵变为k个成虫的概率为: Cnkpk(1p)nk,(1) 每蚕养出k个成虫的概率为:,12. 若每蚕产n个卵的概率为 ,每个卵变为成虫的概率为p,且各卵是否变为成虫是相互独立的, (1) 求每蚕养出k个成虫的概率; (2) 若某蚕养出k个成虫, 求它产了n个卵的概率.,(2) P产n个卵|养出k个成虫,P产n个卵P养出k个虫|产n个卵/P养出k个虫,=P产n个卵且养出k个成虫/P养出k个成虫,2. 一旦危险情况C发生, 报警电路会闭合发出警报. 借助两个或更多开关并联的报警电路可以增强报警系统的可靠性. 现在有两个开关并联的报警电路, 每个开关有0.96的可靠性,

29、 问这个报警系统的可靠性是多少？如果要求报警系统的可靠性至少为0.9999, 则至少需要多少只开关并联？假设各开关的闭合与否是相互独立的.,解 记Ai=“i个开关并联的系统发出警报”, 则,第一章习题1.6(第34页),P(A2)=1P(A2)=10.042=0.9984,P(An)=1P(An)=10.04n0.9999,解得: nln0.0001/ln0.04=2.86. 故至少需要3只开关并联.,3. 求下图所示的两个系统的可靠性, 假设元件i的可靠性为pi, 各元件正常工作与否相互独立。,解 (a) 易得: 2-3子系统的可靠性是p2p3.,2-3-4子系统的可靠性是:,1(1p4)(

30、1p2p3)p4+p2p3p2p3p4,系统的可靠性为:.,系统的可靠性为: p1(p4+p2p3p2p3p4) .,PA1A2A3A4A5,pPA1A2+A1A3A5+A4A5+A2A3A4,(b) 若以Ai表示“第i个元件正常工作”, i=1, 2, n. 则系统的可靠性为:,PA1A2+PA1A3A5+PA4A5+PA2A3A4,PA1A2A3A5PA1A2A4A5PA1A2A3A4,PA1A3A4A5PA1A2A3A4A5PA2A3A4A5,+4PA1A2A3A4A5,PA1A2+PA1A3A5+PA4A5+PA2A3A4,PA1A2A3A5PA1A2A4A5PA1A2A3A4,PA1

31、A3A4A5PA2A3A4A52PA1A2A3A4A5,p1p2p4p5+p1p3p5+p2p3p4p1p2p3p4p1p2p3p5,p1p2p4p5p1p3p4p5p2p3p4p52p1p2p3p4p5,4. 根据以往记录的数据分析, 某船只运送某种物资损坏的情况共有三种: 损坏2%(记为A1), 损坏10%(记为A2), 损坏90%(记为A3), 且P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A3)=0.05, 现从已被运送物资中随机取3件, 发现3件都是好的(记为B), 求: P(A1|B), P(A2|B), P(A3|B). (假设物资件数很多).,解 P(B|A1)=(10.

32、02)3=0.941,P(B|A2)=(10.1)3=0.729,P(B|A3)=(10.9)3=0.001,所以 P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)/P(A1)P(B|A1),+P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3),=0.80.941/0.80.941+0.150.729+0.050.001,=0.7528/0.7528+0.10935+0.00005=0.873,P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)/P(A1)P(B|A1),+P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3),=0.150.729/0.80.941+0.150.729+0.050.001,=0

33、.10935/0.7528+0.10935+0.00005=0.127,P(A3|B)=P(A3)P(B|A3)/P(A1)P(B|A1),+P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3),=0.050.001/0.80.941+0.150.729+0.050.001,=0.00005/0.7528+0.10935+0.00005=0.000058,概率为,而输出为其它一字母的概率都是(1)/2. 今将字母串AAAA,BBBB,CCCC之一输入信道, 输入AAAA, BBBB, CCCC的概率分别为p1,p2,p3(p1+p2+p3=1), 已知输出为ABC A, 问输入的是AAAA的概

34、率是多少? (设信道传输各个字母的工作是相互独立的.),解 P=,=2p1/(1p13p1),5. 将A,B,C三个字母之一输入信道, 输出为原字母的,解 P=0.720.830.2509,6. 设在第一台车床上制造一级品零件的概率为0.7, 在第二台车床上制造一级品零件的概率为0.8, 第一台车床制造了2个零件, 第二台车床制造了3个零件, 求这5个零件均为一级品的概率.,解 (1) P1=1(0.5)2n,7. 设实验室产生甲类细菌和乙类细菌的机会是相等的,若某次产生了2n个细菌, 求: (1) 至少有一个是甲类细菌的概率; (2) 甲, 乙两类细菌各占一半的概率.,(2) P2=C2nn

35、(0.5)2n,解 P至少击中两弹=1P一弹未中P只中一弹,8. 设每次射击打中目标的概率是0.001, 射击5000次, 求至少击中两弹的概率.,10.999500050000.0010.9994999,0.9596,第一章章末习题1(第35页),3. 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9, A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等, 求P(A).,解 由于 P(A)P(B)=P(AB)=P(AB)=P(A)P(B),所以 P(A)1P(B)=1P(A)P(B),故 P(A)=P(B),又由于 P(AB)=1P(A)1P(B)=1/9,所以 1P(A)=1/3,故 P(A)

36、=2/3,解 (1) P(A)=2/6=1/3; P(B)=21/36=7/12,6. 将一颗骰子掷两次, 考虑两事件A, B: A=“第一次掷得点数为2或5” , B=“两次点数之和至少为7”, (1) 求P(A), P(B); (2) 判断A, B是否相互独立.,(2) P(AB)=7/36=P(A)P(B),所以，事件A, B相互独立.,10. 一射手对同一目标独立地进行四次射击后, 至少命中一次的概率为80/81, 求该射手的命中率.,解 设该射手的命中率为p, 则有:,1(1p)4=80/81,所以，(1p)4=1/81,故，该射手的命中率为: p=2/3.,第二章习题2.1(第38

37、页),随机抽出一同学，他成绩在90分以上的课程数。,举出几个你所熟悉的能用随机变量来描述的社会或生活现象.,抛掷5枚硬币，正面朝上的个数。,买10张彩票，中奖情况.,在一些人中随机找一人测其身高。等等。,1. 问c取何值才能使下列数列成为分布律:,(1),第二章习题2.2(第49页),解 (1) 由 , 得：c=1.,(2) 由于,(2) (0为常数).,所以, c=1/(e1).,2.已知随机变量X只取1, 0,1, 2四个值,相应概率依次为1/2c, 3/4c, 5/8c, 7/16c,试确定常数c, 并求PX1|X0.,解 由分布律的性质有：,1/2c+3/4c+5/8c+7/16c=3

38、7/16c=1,所以, c=37/16.,PX1|X0=PX1且X0/PX0,=PX=1/1PX0,=(8/37)/112/37,=8/25,3. 一批产品分一、二、三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半. 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 试用随机变量描述检验的可能结果, 并写出其分布律.,解 记Xi为检验结果为i级品, 则X只能取1, 2, 3.,若设PX=2=p, 则PX=12p, PX=3 =0.5P, 于是p+2p+0.5p=1, 即p=2/7.,即X的分布律为:,PX=1=4/7.,PX=2=2/7.,PX=3=1/7.,或写成:,4. 某运动员的投篮命中率为

39、0.4, 写出他一次投篮命中数X的分布律.,解 显然, X只能取0，1，其分布律为：,PX=0=0.6, PX=1=0.4.,或写成: , 或,5. 上抛两枚硬币, 写出正面朝上的个数Y的分布律.,解 显然, Y只能取0, 1, 2, 其分布律为：,PY=0=0.25, PY=1=0.5, PY=2=0.25.,7. 设随机变量XB(6, p), 已知PX=1=PX=5, 求PX=2的值.,解 由于XB(6, p), 所以, PX=k=C6kpk(1-p)6-k,由已知有：6p(1-p)5=6p5(1-p), 所以, p=0.5.,因此, PX=2=150.520.54=15/640.2344

40、,8. 已知事件A在一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于三次时, 指示灯将发出信号, 若按一下两种方式进行试验, 分别求指示灯发出信号的概率.,解 (1) PX3=,(2) PX3=1PX3=,(1) 进行5次重复独立试验;(2) 进行7次重复独立试验.,9 某实验室有自动控制的仪器10台, 相互独立地运行,发生故障的概率都是0.03, 在一般情况下, 一台仪器的故障需要一个技师处理. 问配备多少技师可以保证在设备发生故障时不能及时处理的概率小于0.05.,解 记X=“同时发生故障仪器的台数”, 则XB(10, 0.03),令 pXN0.05, 则 PXN0.95,因为:,所以, PX

41、1=0.7374+0.2281=0.96550.95,因此，取N=1便满足条件。,即, 配备一名技师便可以保证设备发生故障.,11. 某救援站在长度为t的时间(单位:h)内收到救援信号的次数X服从P(t/2)分布且与时间的起点无关, 试求某天下午救援站在1点至6点间至少收到一次救援信号的概率.,解 由已知, 1点至6点收到救援信号的次数XP(5/2),所以, PX1=1PX=0=1e-2.50.9179,12. 若XP()且PX=2=PX=3, 求PX=5.,解 由已知有: 2e/2=3e/6, 所以, =3,所以, PX5=5e/5!35e3/5!0.1008,13. 设步枪射击飞机的命中率

42、为0.001, 今射击6000次,试按泊松分布近似计算步枪至少击中飞机两弹的概率, 并求最可能击中数.,解 记X为击中弹数, 则XB(6000, 0.001),所以, PX2=1PX=0PX=1,1e66e60.9826,实际上,PX2=10.999600060000.0010.9995999,0.9827,X的最可能数为: (n+1)p=6.001=6,即, 最可能击中数为6。,15. 在有8件正品, 2件次品的10件产品中随机地取3件,写出取出的次品数X的分布律.,解 XH(10, 2, 3)，其分布律为:,PX=0=8/107/96/8=7/15,PX=1=38/107/92/8=7/1

43、5,PX=2=38/102/91/8=1/15,16. 在一副扑克牌中(按54张计)随机地抽出5张, 求抽出黑桃张数的概率分布.,解 黑桃张数XH(54, 13, 5)，其分布律为:,17. 一批产品的次品率为0.02, 从中任取20件, 现已初步查出2件次品, 求20件中次品数不小于3的概率.,解 20件中次品数XB(20, 0.02)，于是,PX3|X2=PX3/PX2,=1-PX3/1-PX2,=1-0.9820-200.020.9819-1900.0220.9818/,1-0.9820-200.020.98190.1185,18. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p, 且生产过程中

44、一旦出现废品即刻重新进行调整. 求在两次调整之间生产的合格品数的分布律.,解 合格品数X1G(P)，于是, 其分布律为:,PX=k=(1-p)kp，k=0, 1, 2, ,19. 某射手有5发子弹,每射一发子弹的命中率都是0.7,如果命中目标就停止射击, 不中目标就一直射击到子弹用完为止, 试求所用子弹数X的分布律.,解 显然, X只能取1, 2, 3, 4, 5, X的分布律为:,PX=1=0.7;,PX=2=0.30.7=0.21;,PX=3=0.320.7=0.063;,PX=4=0.330.7=0.0189;,PX=5=0.34=0.0081.,20. 从有10件正品, 3件次品的产品

45、中一件一件地抽取,每次抽取时, 各件产品被抽到的可能性相等. 在下列三种情形下,分别写出直到取得正品为止所需抽取次数X的分布律.,(1) 每次取出的产品不再放回;,(2) 每次取出的产品立即放回;,(3) 每次取出一件产品后随即放回一件正品.,解 (1) X只能取1, 2, 3, 4, 其分布律为:,PX=3=3/132/1210/11=5/143;,PX=4=3/132/121/11=1/286.,PX=1=10/13;,PX=2=3/1310/12=5/26;,解 (2) XG(10/13), 其分布律为:,PX=1=10/13;,PX=2=3/1311/13=33/169.,PX=k=(

46、3/13)k1(10/13), k=1, 2, 3, ;,(3) X只能取1, 2, 3, 4，其分布律为:,PX=3=3/132/1312/13=72/2197.,PX=4=3/132/131/13=6/2197.,5. 火炮向某目标独立射击, 每发炮弹命中目标的概率为0.6, 且只要命中一发目标就被摧毁. 今发射4发, 求摧毁目标的概率. 若使目标被摧毁的概率达到0.999以上, 则至少要发射多少发炮弹？,第二章章末习题2(第72页),解 4法炮弹中命中目标数XB(4, 0.6), 所以,若记N发炮弹命中目标数Y, 则Y(N, 0.6), 于是,PX1=1PX=0=10.44=0.9744

47、,PX1=1PX=0=10.4N0.999,则, Nln0.001/ln0.47.539.,故,至少要发射8发炮弹,可使目标被摧毁的概率达到0.999.,7. 某种动物出现畸形概率为0.001, 如果在相同的环境中观察5000例, 试按泊松分布近似计算其中至多有两例是畸形的概率, 并求最可能畸形例数.,解 记X为畸形例数, 则XB(5000, 0.001),所以, PX2=PX=0PX=1PX=2,e5+5e5+52e5/20.1247,X的最可能数为: (n+1)p=5.001=5,即, 最可能畸形例数为5。,9. 袋中装有1个白球, 4个红球, 每次从中任取一球, 直到取出白球为止, 试写

48、出取球次数X的分布律. 假定取球方式为每次取出的红球不再放回, 或者每次取出的红球放回.,解 取出的红球不放回, 则X的分布律为:,PX=1=1/5, PX=2=4/51/4=1/5,PX=3=4/53/41/3=1/5,PX=4=4/53/42/31/2=1/5,每次取出的红球再放回, 则XG(1/5), 其分布律为:,PX=5=4/53/42/31/2=1/5,PX=k=(4/5)k11/5=22k2/5k , k=1, 2, 3,第二章习题2.3(第58页),解 (1) 由于 , 所以, c=1/9.,1. 已知随机变量X , 求(1) 常数c;,(2) P1X2, PX1, PX=2.

49、,(2),PX=2=0.,证明 显然f(x)0, 且,2. 证明函数 (c为正的常数)为密度函数.,所以, f(x)是密度函数.,证明 密度函数为:,3. 设XU(2, 3), 写出X的密度函数.,证明 (1) X的密度函数为:,6. 设XE(2), (1)写出X的密度函数; (2)求P14.,(2) P1X2=P0X2=1e40.9817,p1x3=e2e60.1329,px5=1e100.99995,px4=e80.0003355,10. 设XN(1, 16), 求PX1.5, PX1.,解 PX2.44=(2.44+1)/4)=(0.86)=0.8051,PX1.5=1(1.5+1)/4

50、)=(0.125)0.55,PX2.8=(2.8+1)/4)=1(0.45)=0.3264,P|X|4=(4+1)/4)(4+1)/4),=(1.25)+(0.75)1=0.6678,P|X1|1=PX2,=(0.25)+1(0.75)=0.8253,解 由于方程无实根, 所以4X0, 于是有,11. 设XN(, 2), 方程y2+4y+X=0无实根的概率为0.5, 求.,P4X4=0.5,px4=1(4)/)=(4)/)=0.5,所以, (4)/=0, 即, =4.,解 由已知, P2X4=(2/)(0)=0.3,12. 设XN(2, 2), 且P2X4=0.3, 求PX0.,所以, (2/

51、)=0.8.,PX0=(2/)=1(2/)=0.2.,(A) 单调增大;(B) 单调减小; (C) 保持不变;(D) 增减不定.,13.设XN(, 2), 则随着增大, P|X|必然 .,解 由于p|X|=P|X|/1=2(1)1,所以, 应选(C).,(A) 12; (C) 12.,14. 随机变量XN(1, 12), YN(2, 22), 且P|X1| P|Y2|1, 则正确的是 .,解 p|X1|1=P|X1|/11/1=2(1/1)1,p|Y2|1=P|Y2|/21/2=2(1/2)1,所以, (1/1)(1/2), 故, 12, 即应选(A).,15.某机器生产的螺栓的长度(cm)服

52、从参数为10.05, =0.06的正态分布, 规定长度在范围10.050.12内为合格品, 求一只螺栓为不合格品的概率.,解 P|X10.05|0.12=P|X10.05|/0.062,=22(2)=0.0456,解 P120X200=P|X160|/40/,16. 设XN(160, 2), 若P120X2000.8, 求.,=2(40/)10.8.,所以, (40/)0.9.,查表得: 40/1.29. 即31.008.,第二章章末习题2(第72页),6. 已知随机变量X的概率密度 , 现对X进行n次独立的重复观测, 并以Vn表示观测值不大于0.1的次数, 求Vn的概率分布.,解 由于PX0

53、.1=,所以, VnB(n, 0.01), 故, Vn的分布律为:,PVn=k=Cnk0.01k0.99nk，k=0, 1, 2, , n,11. 设X是区间(0,1)中的随机数, 试确定满足条件0a1的数a, 使得随机抽取且可以重复的4个数的数值中至少有一个超过a的概率为0.9.,解 由于PXa=PaX1=1a.,记Y为4个数中超过a的个数, 则YB(4, 1a),PY1=1PY=0=1a4=0.9,所以, a=0.11/40.5623,13. 某军事掩体的高度是按战士与掩体门顶撞头的概率在0.01以下设计的. 设战士身高服从165cm, =5cm的正态分布, 试确定掩体门的高度。,解 设门

54、的高度为H，战士身高为X，由已知有:,PXH=1(H165)/5)0.01,所以, (H165)/5)0.99,于是, (H165)/5)2.33,即, H176.65cm,14. 设XN(, 36), YN(, 64), 记p1=PX6, p2 =PY+8, 则对任何实数都有 .,(A) p1=p2; (B) p1p2; (C) p1p2; (D) p1p2.,解 PX6=(1)=1(1), PY+8=1(1),所以, p1=p2. 故应选(A).,15. 设XN(0, 1), 对给定的(0, 1)数u满足PXu= , 若P|X|x=, 则x等于 .,(A) u/2; (B) u1/2; (

55、C) u(1)/2; (D) u1.,解 P|X|x=12PXx,所以, PXx=(1)/2.,于是, x=u(1)/2 . 故, 应选(C).,第二章习题2.4(第65页),解 定义式为: F(x)=PXx.,1. 写出分布函数的定义式以及离散与连续两种类型随机变量的分布函数计算公式.,离散型随机变量:,连续型随机变量:,2. 写出习题2.2第3题中随机变量的分布函数.,解 由于X的分布律为:,x1时, F(x)=0;,1x2时, F(x)=PXx=PX=1=4/7;,2x3时, F(x)=PXx=PX=1+PX=2=6/7;,x3时, F(x)=PXx=PX=1+PX=2+PX=3=1.,

56、即,(2) x0时, F(x)=,4. 设随机变量X的密度函数为 , 求,(1) 常数A; (2) X的分布函数.,解 (1) 由于 , 所以A=1.,0 x1时, F(x)=,x1时, F(x)=,即,7. 求与密度函数 对应的分布函数.,0 x2时, F(x)=,解 x0时, F(x)=,x2时, F(x)=,所以,= 0.5+0.25x,8. 随机变量X的分布函数为F(x)=,(1) 求常数A, B; (2) 求P ; (3) X是连续型随机变量吗? 如果是则求X的密度函数.,解 (1) 由于，F(+)=1, 所以A=1.,(3) 由于F(x)是连续的, 所以X是连续型随机变量.,X的密

57、度函数为:,又由F(0+)=F(0)得B=1.,(2) P =,11. 设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使F(x)=aF1(x)bF2(x)是某一随机变量的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取 .,(A) a=3/5, b=2/5; (B) a=2/3, b=2/3;,(C) a=1/2, b=3/2; (D) a=3/2, b=3/2.,解 由于(B)中有F(+)=0, (D)中有F(+)=3, (C)中有F(x)0. 所以，只能选(A).,实际上, (A)中的F(x)满足: 0F(x)1, 单调不减, 右连续,且F()=0, F(+)=1. 所以F(x)是分

58、布函数.,12. 设随机变量X的密度函数为(x), (x)=(x), F(x)是X的分布函数, 则对任意实数a, 下列选项正确的是 .,解 由于,(C) F(a)=F(a) ; (D) F(a)=2F(a)1.,PXa=1PXa=1F(a),(A) F(a)=1 ; (B) F(a)=1/2 ;,可见, (C), (D)都不对. 取a=0可得: F(0)=1/2. 于是,所以, 应选(B).,13. 设X1和X2是任意两个连续型随机变量, 它们的密度函数分别为f1(x)和f2(x), 分布函数分别为F1(x)和F2(x), 则下列选项正确的是 .,(A) f1(x)+f2(x)必为某一随机变量

59、的密度函数;,(A)中有 , (C)中F1()+F2()=2.,解 (D)中的F(x)F1F2满足: 0F(x)1, 单调不减, 右连续, 且F()=0, F(+)=1. 所以F(x)是分布函数. 选D.,(B) f1(x)f2(x)必为某一随机变量的密度函数;,(C) F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数;,(D) F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数;,(B)中若取X1U(0,1), X2U(2,3), 则f1(x)f2(x)=0.,第二章章末习题2(第72页),18. 设X的分布函数为 ,(1) 求常数A, B, C; (2) 求PX1/2; (3) X是连续型随机

60、变量吗？若是则求X的密度函数.,解 (1) 由F()=0得A=0,由F(2+)=F(2)得C=2, 再由F(1+)=F(1)得B=1/2.,(2) PX1/2=1F(1/2)=11/8=7/8.,由于F(x)是连续函数, 所以X是连续型随机变量, 密度函数为:,19. 设随机变量X的分布函数为 ,若PX30.1, 求常数c. 这时X是连续型随机变量吗？说明理由.,解 由于PX=3=F(3)F(3)127c=0.1,所以, c=1/30 .,X不是连续型随机变量. 下列任何理由都可说明:,F(x)在x=3处不连续，,PX=3=0.10.,1. 已知随机变量X的概率分布为,习题2.5(第58页),

61、解 Y和Z的分布律分别为:,求随机变量Y=2X1和Z=X2的分布律.,FY(x)=PYx=PXx/2=,解 对任意0 x2, 有,3. 设X的密度函数为 , 求Y=2X,Z=X+1和U=X2的密度函数.,所以, fY(x)= FY(x)=x/2. 即Y的密度函数为:,FZ(x)=PZx=PX1x=,对任意0 x1, 有,所以, fZ(x)= FZ(x)=2(1x). 即Z的密度为:,FU(x)=PUx=Px1/2Xx1/2=,对任意0 x1, 有,所以, fU(x)= FU(x)=1. 即U的密度函数为:,解 (1) FY(y)=PYy=pX3y=PXy1/3,5. (1) 设Xf(x), 求

62、Y=X3的密度函数；(2) 设XE(), 求Y=X3的密度函数; (3) 设XE(1), 求Y=eX的密度函数.,所以, Y的密度函数为:,(2) 由(1)得, Y的密度函数为:,FY(y)=PYy=peXy=PXlny,(3) 对任意y1有,所以, FY(y)=1/y2, 于是Y的密度函数为:,解 (1) 对任意1y4有:,6. 设XU(0, 1), 求: (1)Y=3X+1的密度函数; (2) Y=2lnX的密度函数; (3) Y=eX的密度函数.,所以, Y的密度函数为,YU(1, 4).,FY(y)=PYy=p3X+1y=PX(y1)/3,(2) 对任意y0, 有,FY(y)=PYy=

63、p2lnXy=PXey/2,所以, Y的密度函数为,YE(1/2).,(3) 对任意1ye, 有,所以, Y的密度函数为,FY(y)=PYy=peXy=PXlny,10. 设XU(1, 2), 随机变量Y= , 试求随机变量Y的分布律.,解 Y只能取1, 0, 1三个值, Y的分布律为:,PY=1=PX0=P1X0=1/3,PY=0=PX=0=0,PY=1=pX0=P0X2=2/3.,或写成:,11. 假设由自动线加工的某种零件的内径(单位mm)服从正态分布N(11, 1),内径小于10或大于12的为不合格品, 其余为合格品, 销售每件合格品获利, 销售每件不合格品则亏损. 已知销售利润Y(单

64、位:元)与销售零件的内径X有关系:,求Y的分布律.,PY=1=PX10=(1)=1(1)=0.1587,PY=20=P10X12=2(1)10.6826,PY=5=pX12=1(1)=0.1587,解 Y只能取5, 1, 20三个值, Y的分布律为:,第二章章末习题2(第72页),20. 已知随机变量X的分布律为：,求X+2, X+1与X2的分布律.,解 分布律分别为:,21. 设随机变量XE(2), 证明: Y=1e2XU(0, 1).,证明 对任意0y1, 有,FY(y)=PYy=P1e2Xy=P2Xln(1y),=PXln(1y)/2,所以，Y的密度函数为:,即, YU(0, 1).,解

65、 F(y)=PYy=PlnXy=PXey,22. 设随机变量X , 求Y=lnX的密度函数.,所以, FY(y)=,即Y的密度函数为:,(A) 连续函数； (B) 至少有两个间断点；,24. 设随机变量XE(5), 则随机变量Y=minX, 2的分布函数是 .,(C) 阶跃函数； (D) 恰好有一个间断点.,解 由于X2时Y=X, X2时Y=2. 所以,可见, FY(y)不是阶跃函数, 也不连续, 只有y=2一个间断点.故，应选(D).,第三章习题3.1(第75页),例如:,举出几个你所熟悉的能用多维随机变量来描述的社会或生活现象.,描述某种器件的长度H和重量M;,描述某学生各科考试的成绩Xi;,描述平面上随机点的坐标(X, Y)等等。,2. 袋中装有1个红球, 2个黑球与3个白球, 现从袋中取两次, 每次取一个球, 以X, Y, Z分别表示两次取球所取得的红球, 黑球与白球的个数. 若每次取出的球(1)立即放回袋中,再取下一个, 或者(2)不再放回袋中接着便取下一个, 就这两种取球方式, 写出(X, Y)的概率分布, 求PX=1|Z=0