2010-【4】子结构法

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1、15 5 结构振动分析的动态子结构法结构振动分析的动态子结构法基本思路基本思路 把把（不便分析实验的）（不便分析实验的）大型、复杂结构系统大型、复杂结构系统，引入广义引入广义进行进行，引入模态坐标的益处？引入模态坐标的益处？再把它们再把它们，从而达到可以从而达到可以、在小机器上在小机器上的目的。的目的。25 5 结构振动分析的动态子结构法结构振动分析的动态子结构法基本思路基本思路 把把（不便分析实验的）（不便分析实验的）大型、复杂结构系统大型、复杂结构系统，引入广义引入广义进行进行，引入模态坐标的益处？引入模态坐标的益处？再把它们再把它们，从而达到可以从而达到可以、在小机器上在小机器上的目的。

2、的目的。1 1、利用其正交性可以解耦；、利用其正交性可以解耦；2 2、略去高阶模态可以降阶略去高阶模态可以降阶 3总总 系系 统统子结构子结构1 1子结构子结构n n总总 系系 统统子结构子结构1 1子结构子结构n n：按工程观点、几何轮廓、设计分析等特性，：按工程观点、几何轮廓、设计分析等特性，将总系统分割成若干子结构；将总系统分割成若干子结构；：地进行各子结构的模态分析，地进行各子结构的模态分析，模态集及模态集及模态综合方法模态综合方法；：将各子结构的独立的模态方程，：将各子结构的独立的模态方程，成总的系统方程；成总的系统方程；：，在物理坐标中，在物理坐标中 全面描述各子结构的振动特性和动

3、态响应。全面描述各子结构的振动特性和动态响应。第二、四步是否重复？第二、四步是否重复？动态子结构法分析步骤：动态子结构法分析步骤：4总总 系系 统统子结构子结构1 1子结构子结构n n总总 系系 统统子结构子结构1 1子结构子结构n n：按工程观点、几何轮廓、设计分析等特性，：按工程观点、几何轮廓、设计分析等特性，将总系统分割成若干子结构；将总系统分割成若干子结构；：地进行各子结构的模态分析，地进行各子结构的模态分析，模态集及模态集及模态综合方法模态综合方法；：将各子结构的独立的模态方程，：将各子结构的独立的模态方程，成总的系统方程；成总的系统方程；：，在物理坐标中，在物理坐标中 全面描述各子

4、结构的振动特性和动态响应。全面描述各子结构的振动特性和动态响应。第二、四步是否重复？第二、四步是否重复？动态子结构法分析步骤：动态子结构法分析步骤：第二步第二步 是在模态坐标下对子结构进行独立分析；是在模态坐标下对子结构进行独立分析；第四步第四步 是综合临近子结构信息后，最终在物理坐标下描述子结构动态特性、动态响应。是综合临近子结构信息后，最终在物理坐标下描述子结构动态特性、动态响应。55.2 5.2 结构系统的结构系统的 5.2.1 5.2.1 引例引例 若图若图5.2-15.2-1所示为大型结构，欲测取任两点间所示为大型结构，欲测取任两点间(1(16 6）的传递函数；）的传递函数；其数据往

5、往不理想，其数据往往不理想，即对即对大型结构大型结构进行机械阻抗试验很麻烦进行机械阻抗试验很麻烦*把结构把结构为为 A A、B B 两个两个，联结点，联结点 C C 为界面；为界面；*先先AC AC 的的，再做，再做CBCB的传递函数；的传递函数；动柔度、位移导纳，即机械阻抗的倒数动柔度、位移导纳，即机械阻抗的倒数 *按结构力学位移法按结构力学位移法,有有：(5.2 1)uHF6将将结构结构分割成分割成 A A、B B 两子结构，两子结构，把把ABAB（1 1，6 6）两点的传递函数，用两点的传递函数，用ACAC，CBCB之间的信息传递来代替。之间的信息传递来代替。3132121111FHFH

6、FHuAAA)2(3232221212FHFHFHuAAA3332321313FHFHFHuAAA5454444FHFHuBB)3(5554545FHFHuBB5654646FHFHuBB子结构子结构B B有：有：3F5F4F1F2F6u5u4u3u2u1u子结构子结构A A有：有：7界面位移协调条件：界面位移协调条件：3524(4)uuuu界面力平衡方程：界面力平衡方程：35240(5)0FFFF以上以上1010个方程解出个方程解出1010个未知数个未知数 传递函数由试验测定传递函数由试验测定。)(5261FFuu、写成写成 是否可以？是否可以？35FF3F5F4F1F2F6u5u4u3u2

7、u1u8界面位移协调条件：界面位移协调条件：)4(4253uuuu界面力平衡方程：界面力平衡方程：)5(004253FFFF以上以上1010个方程解出个方程解出1010个未知数个未知数 传递函数由试验测定传递函数由试验测定本例子反映了阻抗法模态综合的基本思路。本例子反映了阻抗法模态综合的基本思路。)(5261FFuu、两点位移两点位移 大小相等、方向一致大小相等、方向一致 作用力、反作用力作用力、反作用力 大小相等，方向相反。大小相等，方向相反。95.2.3 5.2.3 动态子结构阻抗法综合的动态子结构阻抗法综合的 将未知项将未知项 内力向量内力向量 移至方程左侧：移至方程左侧：)34(sis

8、sesFHFHx (1 2)(35)iisssssssessissxHFIxHFxIHHFsnF、总系统总系统位移方程位移方程展开式：展开式：11112212220000(36)00eieinneinnnH FxFH FIHxIHFIHxH FF设系统划分为设系统划分为 n n 个子结构，对第个子结构，对第 S S 个子结构有：个子结构有：内力内力外力外力扩展合并101.1.阻抗法是阻抗法是基于基于实验实验的一种的一种方法方法，先先测出各测出各激振点、拾振激振点、拾振点点及界面坐标及界面坐标之间的传递函数之间的传递函数；2.2.当不计外载当不计外载 时，可时，可求解系统特征向量求解系统特征向量

9、（频率、振型）；（频率、振型）；3.3.当确定当确定系统响应系统响应时，可由（时，可由（3636）（）（3737）（）（3838）式联立求解。）式联立求解。)0(eF )38(021iniiFFF界面力平衡系数阵界面力平衡系数阵 界面力平衡方程：界面力平衡方程：位移连续方程：位移连续方程：)37(021njjjxxx位移连续系数阵位移连续系数阵 )36(002211221121enneeinniinFHFHFHFxFxFxHIHIHI11应用举例（建立系统方程）应用举例（建立系统方程）分析：本例分分析：本例分A A、B B两个子结构两个子结构 （只考虑（只考虑X X方向振动）方向振动）三个自由

10、度三个自由度未知数未知数:A A：5 5个个 B B：4 4个个 位位 移移 方方 程程 数数 :A:A：3 3个个 、B B：2 2个个 边界协调条件边界协调条件:位移连续方程：位移连续方程：2 2个个 力力 平衡平衡 方程：方程：2 2个个bbbbFFxx3232、aaaaaFFxxx32321、9个9个321xxx、)39(321333231232221131211321AAAFFFHHHHHHHHHxxx)40(323332232232BBBFFHHHHxx注意受力图的表述注意受力图的表述内力出现原则内力出现原则子结构位移方程：子结构位移方程：界面力界面力F F1 1 外加激励外加激励

11、界面力界面力12界面位移协调：界面位移协调：界面力平衡界面力平衡：将（将（4141）（）（4444）式综合，消去多余未知量，）式综合，消去多余未知量，得系统导纳矩阵方程（得系统导纳矩阵方程（4545）)43(3232BAxxxx)44(03232BAFFFF11112131222223311132332222333233100010(45)00100100001AAAAAAAAABBBBHxHHHxHHxHFHHFHHFHH )41(100010001113121132333223221312321FHHHFFHHHHHHxxxAAA)42(00100010323332232232BBBFFH

12、HHHxx13动态子结构法的特点：动态子结构法的特点：1 1子结构分析及综合系统方程时所子结构分析及综合系统方程时所，大大大大、;2 2可以在可以在；3 3进行结构进行结构 局部局部，仅对需改进的子结构进行优化设计，仅对需改进的子结构进行优化设计，其他子结构不必重算；其他子结构不必重算；4 4有利于改善、有利于改善、（按部件刚度差别划分子结构）；（按部件刚度差别划分子结构）；5 5用不同的子结构可分别用不同的子结构可分别（固体；液体）系统（固体；液体）系统（线性；非线性）的（线性；非线性）的。14 部件在特定约束下部件在特定约束下（有约束或无约束）（有约束或无约束），对应对应固有频率的固有频率

13、的。*主模态具有正交性主模态具有正交性；*构成构成相应约束下的相应约束下的完备模态集完备模态集；*对于不完全约束的部件，对于不完全约束的部件，主模态中包括零频率的主模态中包括零频率的刚体模态刚体模态；*除去刚体模态后的主模态除去刚体模态后的主模态 为为弹性主模态弹性主模态 15部件在部件在的的。0 0 刚体模态坐标数刚体模态坐标数 r 6 r 6？16部件在部件在的的。33个直线坐标，个直线坐标，3 3个转动坐标。个转动坐标。本例在平面内，略去水平方向本例在平面内，略去水平方向 有有2 2个。个。17*将部件将部件界面固定界面固定，*然后然后依次释放依次释放某一界面某一界面约束约束，令其产生令

14、其产生单位位移单位位移 （其余界面约束仍固定），（其余界面约束仍固定），*使使 固定界面约束模态数固定界面约束模态数 界面自由度数；（图界面自由度数；（图5.35.32 d2 d）部件的约束模态就是刚体模态，部件的约束模态就是刚体模态，因为部件无其它外界约束（特例）因为部件无其它外界约束（特例）【约束模态传递相邻子结构界面的什么信息？】18：，依次施依次施时，时，（其余界面自由度上不受力）（其余界面自由度上不受力）部件产生的部件产生的（实为弹性模态）（实为弹性模态）附着模态【附着模态传递相邻子结构界面的什么信息？】19不同的分析方法，其模态集的构成有所不同不同的分析方法，其模态集的构成有所不同

15、 见图中悬臂梁中间段处理见图中悬臂梁中间段处理：在所选取的一组模态中，若各模态在所选取的一组模态中，若各模态线性独立线性独立，数目等于数目等于系统系统自由度数目自由度数目，则称之为完备模态集。则称之为完备模态集。可以是主模态，也可以是主模态与其他模态的组合可以是主模态，也可以是主模态与其他模态的组合【如何理解主模态本身即为完备模态集？】20对于子结构对于子结构 G G 其运动方程可写成：其运动方程可写成：以下标以下标 j j 记为界面坐标，记为界面坐标，I I 记为非界面坐标，则位移写成：记为非界面坐标，则位移写成：界面力：界面力：外力：外力：一般需构造一个一般需构造一个指示矩阵指示矩阵 LL

16、（由由1 1、0 0元素构成）元素构成）才能把才能把 与与 加以划分加以划分,即即将将 3 3 式展开写成：式展开写成：（各系数矩阵、列阵是经指示矩阵变换后的值，见（各系数矩阵、列阵是经指示矩阵变换后的值，见（P344P344）上半页。）上半页。）()()(5.33)ggggggggmxcxkxfr(4)TTgggTijxxx 0(5)TTggTjff (6)TTgggTijrrr (7)gigggjxxLx 0(5.38)ggggggggggiiijiiijiiijiiiigggggggggggjjjjjjijjjijjjijjmmcckkxxxrfxxxrmmcckkixjx？21 先将部

17、件界面全部视为固定约束，取先将部件界面全部视为固定约束，取 ，求出求出在此约束条件下的主模态在此约束条件下的主模态 与与 对应。对应。（固定界面弹性变形主模态）（固定界面弹性变形主模态）再定义一组刚体模态再定义一组刚体模态 和约束模态和约束模态 与界面坐标与界面坐标 对应。对应。由上述模态构成完备模态集。由上述模态构成完备模态集。略去高阶模态，以便缩减系统自由度。略去高阶模态，以便缩减系统自由度。通过界面坐标位移协调来构成系统运动方程。通过界面坐标位移协调来构成系统运动方程。ix jx 0jx N、cj r221 1固定界面主模态固定界面主模态 （N N为自由度数），当界面固定时为自由度数），

18、当界面固定时 ，则（则（8 8）式）式（当无阻尼、无外力时）（当无阻尼、无外力时）变成：变成：由（由（9 9）式求出子结构的主模态）式求出子结构的主模态 :设设 已正则化，即：已正则化，即：式中：式中：i i 为内部坐标数为内部坐标数 0jx N )9(0iiiiiixkxm (10)Nkh )11(hkiNiiTNIIIm)12(hkdiagkiNiiTN)(2k2221pppdiagk、)(2i2221pppdiaghKk、N 0(8)ggggggggggiiijiiijiiijiiiigggggggggggjjjjjjijjjijjjijjmmcckkxxxrfxxxrmmcckk233

19、 3约束模态：约束模态：HurtyHurty法：法：，固定全部界面固定全部界面；若部件原来不处于自由状态，现在便为静不定系统若部件原来不处于自由状态，现在便为静不定系统；逐一释放逐一释放赘余度，赘余度，使其使其产生单位位移而得到的各组静态位移产生单位位移而得到的各组静态位移 约束模态约束模态。（c=c=j jr r）j j 为界面自由度、为界面自由度、r r为刚体运动自由度。为刚体运动自由度。CraigCraig法：法：固定全部界面，逐一释放固定全部界面，逐一释放界面自由度界面自由度，使其产生单位位移，使其产生单位位移，所所得到的各组静态位移得到的各组静态位移 约束模态约束模态 ,j j为界面

20、自由度数为界面自由度数。（包括刚体模态在内，统称为约束模态）（包括刚体模态在内，统称为约束模态）cj2 2刚体模态：刚体模态：由于完全放松界面，部件处于无约束由于完全放松界面，部件处于无约束或或不完全约束状态，不完全约束状态，因而使因而使部件产生刚体运动部件产生刚体运动，所对应的各自由度位移所对应的各自由度位移。)60(r r r24对对子结构（子结构（g g）：，其展开式为：其展开式为：简写成：简写成：由（由（1414）式可知：）式可知：是子结构是子结构 g g 的的固定界面主模态固定界面主模态；是子结构是子结构 g g 的的约束模态约束模态；子结构子结构 g g 与子结构与子结构 连接时的

21、约束模态连接时的约束模态 界面坐标界面坐标 被列入模态坐标被列入模态坐标；界面坐标满足位移协调条件界面坐标满足位移协调条件 )13(gggqx()(,)(,),(,)(,)(,),(,)0(14)0gggg hg sNiNjjg hg hs hjjg sg sg sjjqxxxIxxI )15(gggqxgN).().(sgjhgjsh).().(sgjhgjxx)16().().().().(gsjsgjghjhgjxxxx4 4、一般情况的综合（综合子结构）、一般情况的综合（综合子结构）描述界面坐标与内部坐标的关系描述界面坐标与内部坐标的关系25式中各系数阵由（式中各系数阵由（1 18 8

22、）式给出）式给出 ：()()()()Tggggcc ；()()()()Tggggmm ；()()(18)Tgggrr()()()()Tggggkk (,)(,)()00Tgg hg s TTjjgjffff (17)ggggggggmqcqkqfr（3 3）按（）按（1414）式）式有：有：()()(5.33)ggggggggmxcxkxfr()(,)(,),(,)(,)(,),(,)0(14)0gggg hg sNiNjjg hg hs hjjg sg sg sjjqxxxIxxI26（1717）式）式，：式中各系数阵由（式中各系数阵由（2020）式给出）式给出:(19)MqcqkqfR )

23、()2()1(sMMMdiagM)()2()1(scccdiagc(1)(2)()(20)skdiag kkk TTsTTffff)()2()1(TTsTTrrrR)()2()1(17)ggggggggmqcqkqfr 0(8)ggggggggggiiijiiijiiijiiiigggggggggggjjjjjjijjjijjjijjmmcckkxxxrfxxxrmmcckk27因为因为界面坐标中有界面坐标中有 ：，所以所以 中各界面坐标不完全独立，中各界面坐标不完全独立，由位移协调条件写出转换矩阵由位移协调条件写出转换矩阵 ：即独立模态坐标即独立模态坐标 与与 的转换阵，的转换阵，阵由阵由

24、0 0、1 1 元素构成元素构成 为：为：其中：其中：),(),(ghjhgjxx )21(qq q q )22(RqKqcqM RRkkccMMTTTT)23(q28注：注：1 1界面力据平衡方程已消除，即界面力据平衡方程已消除，即2 2若子结构与系统的结构坐标不一致时，若子结构与系统的结构坐标不一致时，装配时还需包括局部坐标与总体坐标的变换。装配时还需包括局部坐标与总体坐标的变换。3 3子结构的高阶模态坐标往往被略去，以便缩减整体系统的自由度，子结构的高阶模态坐标往往被略去，以便缩减整体系统的自由度，对整体系统求解。对整体系统求解。4 4当当 时，求系统特征对时，求系统特征对 ；当当 时，

25、求解系统动态响应时，求解系统动态响应。1111122222TTTTTijijdiagLmLLmL 各系数阵是经过各系数阵是经过而成的而成的如：如：协调系数阵协调系数阵消除非独立坐标消除非独立坐标 0R、0R 0f T模态阵模态阵模态变换模态变换 指示阵指示阵划分界面坐标划分界面坐标 12sTdiagMMM 111222TTTdiagmm TmMM29例例1 1 两端铰支等直梁，两端铰支等直梁，分为两个子结构，分为两个子结构，共共2222个节点，个节点，6666个自由度；个自由度；每个子结构每个子结构1111个节点，个节点，11113 33333个自由度，个自由度，每个子结构取每个子结构取3 3

26、个弹性主模态，个弹性主模态，3 3个约束模态个约束模态 为什么是为什么是3 3个？个？，系统独立广义坐标：系统独立广义坐标：降阶比例？降阶比例？3 32 23 39 93 3 3 30例例1 1 两端铰支等直梁，两端铰支等直梁，分为两个子结构，分为两个子结构，共共2222个节点，个节点，6666个自由度；个自由度；每个子结构每个子结构1111个节点，个节点，11113 33333个自由度，个自由度，每个子结构取每个子结构取3 3个弹性主模态，个弹性主模态，3 3个约束模态个约束模态 因为只有因为只有3 3个界面坐标个界面坐标 ，系统独立广义坐标：系统独立广义坐标：6666：9 9 3 32 2

27、3 39 93 33 331划分为两个子结构；划分为两个子结构；有限元网格划分有限元网格划分：（不包括约束端）（不包括约束端）72 72个单元，个单元，7878个节点，个节点，234234个个自由度自由度;固定界面法模态综合：固定界面法模态综合：6 6个界面节点，每节点个界面节点，每节点3 3个自由度，个自由度，3 36 61818个界面自由度，个界面自由度，1818个约束模态，个约束模态，每个子结构取每个子结构取5 5 阶主模态，共阶主模态，共1010个弹性主模态；个弹性主模态；系统独立广义坐标：系统独立广义坐标：5 52 218182828 子结构模态综合法的求解频率子结构模态综合法的求解

28、频率 均大于有限元法的求解频率均大于有限元法的求解频率 说明什么？说明什么？32 固定界面法实验困难固定界面法实验困难产生自由界面法产生自由界面法 将子结构界面自由度全部放松，取消约束模态；将子结构界面自由度全部放松，取消约束模态；全部采用主模态；全部采用主模态；独立研究部件的动力特性；独立研究部件的动力特性；综合时强制要求界面的位移协调综合时强制要求界面的位移协调 以便满足以便满足RitzRitz法近似假设振型的要求法近似假设振型的要求其假设振型需满足边界条件其假设振型需满足边界条件 ；子结构自由界面主模态子结构自由界面主模态 和和。33设设:部件部件（无阻尼）（无阻尼）方程方程为为其其自由

29、界面主模态自由界面主模态可解为可解为高阶、低阶高阶、低阶两部分两部分：设：模态矩阵设：模态矩阵 已正规化已正规化，则有：则有：式中：式中：是完备模态集是完备模态集 5.4.1 5.4.1 基本方程推导基本方程推导 HouHou&Goldman&Goldman方法方法 )14.5(0 xkxm )2(hkNN (3)TkNNghkTNNghImIIk 22212221()(4)()kkhkgdiag pppdiag pp22pN34子结构子结构G G的的模态坐标变换模态坐标变换关系为关系为 省略了上标省略了上标(g)(g)为了缩减系统自由度，为了缩减系统自由度，略去高阶主模态略去高阶主模态 )5

30、(hkhkNNjiqqqxxx )6(kkqx在实际问题上，在实际问题上，保留完备的主模态集是没有意义的，保留完备的主模态集是没有意义的，因为必须靠使用截断主模态集来实现降阶，因为必须靠使用截断主模态集来实现降阶，同时，也带来了较大的误差。同时，也带来了较大的误差。35将略去高阶模态的将略去高阶模态的（6 6）式式带入带入子结构运动方程子结构运动方程（5.3-35.3-3）：）：式中：式中：)7(gggkggkggkgrfqkqcqm(8)gTTgggggggkkkkTTTgggggggggggkkkkmmcckkrrff ()()(5.33)ggggggggmxcxkxfr将各子结构的运动方

31、程组装起来将各子结构的运动方程组装起来：略去子结构上标略去子结构上标 式中：式中：方程及式中各系数阵表达式形式上与固定界面法相同，见（方程及式中各系数阵表达式形式上与固定界面法相同，见（5.35.31919、2020）但实质上有所区别但实质上有所区别 （？（？）(9)MqcqkqfR (1)(1)(1)(1)()()()()(1 0)TkTTsTskksTskfffff )6(kkqx36消除不独立坐标消除不独立坐标 )11(),(),(),(),(gksgkjrgkjgkisgjrgjgigqxxxx(,)(,)(,)(,)(12)g rr gjjg ss gjjxxxx )13(),(),

32、(),(),(skgskjgksgkjrkgrkjgkrgkjqqqq设：设：模态矩阵与界面坐标相关的子阵模态矩阵与界面坐标相关的子阵 可划分出一方阵可划分出一方阵 对应界面自由度对应界面自由度,并且其逆阵存在并且其逆阵存在（不一定总存在）（不一定总存在）。Akj设：子结构设：子结构界面自由度界面自由度小于小于保留模态坐标自由度数保留模态坐标自由度数 （这对缩减自由度有一定限制）（这对缩减自由度有一定限制）；界面坐标、界面坐标、将子结构将子结构G G 的的非界面坐标非界面坐标由界面协调条件：由界面协调条件：有：有：分开列写：分开列写：37则则独立坐标与非独立坐标的变换关系式独立坐标与非独立坐标

33、的变换关系式为：为：(,)()(,)(,)(,)(,)(,)(14)rAr grr gr gkjkABrBsAs gss gs gkjkABsBqqqqqq )15(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(sBgsBgsAskgskjgsAsArBgrBgrArkgrkjgrArAqqqqqq则（则（1313）式可）式可分块写分块写成：成：)13(),(),(),(),(skgskjgksgkjrkgrkjgkrgkjqqqq38 1.1.自由界面法，自由界面法，易于计算，便于试验易于计算，便于试验。2.2.由于由于截去高阶截去高阶有影响的模态；有影响的模态；由于由于完全不考虑

34、相邻子结构完全不考虑相邻子结构对所求得的本部件模态信息的影响；对所求得的本部件模态信息的影响；不考虑约束对约束反力的影响不考虑约束对约束反力的影响造成造成明显误差、收敛慢明显误差、收敛慢。3.3.进而进而形成了一系列修正方法形成了一系列修正方法。（1515）可以建立了独立坐标）可以建立了独立坐标 与与 的转换关系：的转换关系：转换矩阵转换矩阵 中除了中除了 子阵外，还有模态子阵，子阵外，还有模态子阵，要比固定界面法的要比固定界面法的 阵阵复杂复杂。q q )16(qq 01、39加载后，将（加载后，将（1818）式）式修正为修正为：)17(02xmxk)18(02jijjjiijiijjjii

35、jiixxmmmmkkkk)19(02jijjjjjiijiijjjjjiijiixxmmmmmkkkkk原方法：原方法：改改 进进：Q0M0N0BBjjmBBjjk实际上该点实际上该点弯矩弯矩M M最大最大 设设子结构特征方程子结构特征方程为：为：40 1.1.和和 为对角阵，为对角阵，据相邻子结构性质据相邻子结构性质，凭经验确定凭经验确定。2.2.求解（求解（1919），可得到），可得到修正后的子结构特征向量修正后的子结构特征向量 ，以此作为子结构物理坐标与模态坐标的转换阵，以此作为子结构物理坐标与模态坐标的转换阵，可大大改善自由界面模态综合法的收敛性。可大大改善自由界面模态综合法的收敛性

36、。3.3.但附加质量但附加质量 与附加刚度与附加刚度 的确定的确定是人为的是人为的，误差难以事先估计误差难以事先估计。jjk jjmjjk加载界面主模态方法加载界面主模态方法评价评价jjm)19(02jijjjjjiijiijjjjjiijiixxmmmmmkkkkk41是是在子结构的自由界面在子结构的自由界面的各个自由度上，的各个自由度上，逐个附加一单位力而形成的静模态集逐个附加一单位力而形成的静模态集。附加模态法思路：附加模态法思路：以施加附加模态的方式以施加附加模态的方式体现临近子结构对界面的影响体现临近子结构对界面的影响。设：自由界面子结构的设：自由界面子结构的静力方程静力方程为：为：

37、则计算附加模态的公式为：则计算附加模态的公式为：其中其中 为附加模态阵，其为附加模态阵，其列数等于界面自由度数列数等于界面自由度数。将附加模态补充到截断的自由界面主模态之中将附加模态补充到截断的自由界面主模态之中：这样子结构坐标变换为：这样子结构坐标变换为：)20(FxK)21(0Ikkkkijiiijjijj(22)N ij (23)Nxpp施加单位力施加单位力421 1。此方法。此方法坐标变换矩阵复杂坐标变换矩阵复杂些，些，但但有利于利用实验数据有利于利用实验数据；2 2。对于。对于自由自由自由部件自由部件，子结构，子结构刚度阵奇异刚度阵奇异，需用需用移频法移频法或或虚加惯性力法虚加惯性力

38、法消除奇异性。消除奇异性。方法方法评价评价43把把其他综合方法中，其他综合方法中，略去的高阶模态的剩余效应考虑进来略去的高阶模态的剩余效应考虑进来。位移坐标的变换关系位移坐标的变换关系为：为：由静力方程：由静力方程：)25(hhllhlhlqqqqqx )26(Rxks 212TTsTsTskqRqRqR 121122(27)TsTTlllhhhxRR（）引入模态坐标、前乘模态转置矩阵引入模态坐标、前乘模态转置矩阵由模态矩阵正交性由模态矩阵正交性移项，将模态坐标写成显式移项，将模态坐标写成显式回代至物理坐标回代至物理坐标将低、高阶分别列写将低、高阶分别列写44对照（对照（2727）、（）、（2

39、828）、（、（2929）式有：）式有：)29(RGGxhls )28(1RGRkxs3012TllllhGGGGlG 1122(27)TTslllhhhxR（）)26(Rxks由静力方程由静力方程2626式式可知：可知：引出柔度阵引出柔度阵 柔度阵分低、高阶列写柔度阵分低、高阶列写对对 求逆可得求逆可得易测易测难求难求 故故高阶剩余柔度高阶剩余柔度 用用 静柔度静柔度 减去减去 低阶模态柔度矩阵低阶模态柔度矩阵 求得。求得。hG GK45 一种典型的理论模态与实验模态的综合技术一种典型的理论模态与实验模态的综合技术。系统响应的系统响应的剩余影响表达剩余影响表达设：设：一个一个正弦力向量正弦力

40、向量 作用作用于于n n个自由度的个自由度的系统系统，其其模态坐标模态坐标描述的描述的运动方程运动方程为：为：据微方理论，据微方理论，可设解为可设解为：代入（代入（a a）式，式，整理得整理得：jwteF )(aeFqKqcqmjwtT ,jwtqA e ,jwtqA jwe )(2bewAqjwt )()(2ceFqKCjMjwtT46参照参照 d d 式，响应的式，响应的求和形式可写成求和形式可写成：*)()(2ceFqKCjMjwtT n nxq 2()TjwtF exdKMjC 21(1)TniiiiiiiiiiFxKMj CKMC据据c c式式 将将 解出带入解出带入：q第第 阶模态

41、刚度阶模态刚度i第第 阶模态阻尼阶模态阻尼i第第 阶模态质量阶模态质量i第第 阶模态向量阶模态向量i47 ，即，即 ，激励就高频段响应而言，可以近似看作是静力激励就高频段响应而言，可以近似看作是静力 ，激励变化太慢激励变化太慢 （1 1）式）式“”“”。将响应自谱将响应自谱在频率域中在频率域中分为三部分分为三部分，见图见图5 5。5-25-2（用（用 、将其分为将其分为 低、中、高频三段低、中、高频三段 ）1n2n0iK（高阶响应频率）激振频率i)(2ni 21Tniii niFxK如果如果考虑：激励频率考虑：激励频率 处于某一主要频带处于某一主要频带 系统系统的响应的响应 ，可以形成如下的可

42、以形成如下的简化思路简化思路：21TniiiiiiFxKMj C12nni48 ，即，即 ，可可只考虑系统的惯性只考虑系统的惯性，分母变成了，分母变成了“”“”激励变化太快，激励变化太快，来不及变形，只考虑惯性来不及变形，只考虑惯性。iM21ni（低阶响应频率）激振频率i)(121TniiiiFxM 21TniiiiiiFxKMj Ci49因此，将（因此，将（1 1）式改写成：）式改写成：21212211(2)TTTnnniiiiiiii ni niiiiiFFFxMKMj CK )3(12FHqFHxkm或 )4(11剩余惯性niiiTimMH )5(12剩余柔度nniiiTikKH 阶模态

43、的参与因子为第iCjMKFqiiiTii2 )6(212111频带内的模态矩阵为nnnnn式中：式中：21(1)TniiiiiiFxKMj C50设：设：中中保留全部中、低阶模态保留全部中、低阶模态；用剩余柔度用剩余柔度 表达高阶模态的影响表达高阶模态的影响。则（则（3 3）式变化为：）式变化为：的含义不同的含义不同 将激励写成显式：将激励写成显式：定义广义力：定义广义力：将（将（8 8）代入（）代入（9 9）得：）得：将（将（8 8）（）（1010）合并成一个矩阵式：）合并成一个矩阵式：对于对于4646页（页（c)c)式式略去高阶模态影响有：略去高阶模态影响有：)7(FHqxk 11(8)k

44、kFHxHq )9(注意负号FFTq )10(11qHxHFkTkTq 1111(11)TTkkqkkHHqFxFHH 2)11(FqKqCjqMTll 21(3)mkxHFqHF kH 2()()TjwtMjCKqF ecl51将（将（1111）式代入（）式代入（1212）式，移项，合并同类项，有）式，移项，合并同类项，有：20000000000(12)00lllTqqMCKqqqjxxxFFFFF）（11 21111000000013llTTlKKKKMCqqjxxKHHqxFHH11（）kH将将 式形式对应式形式对应 改写为：改写为：1111(11)TTkkqkkHHqFxFHH 2)1

45、1(FqKqCjqMTll52 1.1.该方程该方程略去了高阶模态略去了高阶模态，但，但以剩余柔度以剩余柔度的的形式考虑其影响形式考虑其影响。2 2剩余柔度剩余柔度 ，易于用实验（机械阻抗）方法求得易于用实验（机械阻抗）方法求得 如（如（5.45.43030）式：）式：。3 3此子结构模态综合性此子结构模态综合性大大缩减了结构自由度，收敛快，比较有效大大缩减了结构自由度，收敛快，比较有效。4 4应用方便应用方便，各参数矩阵，各参数矩阵 （、）一般既可用分析方法，又可用实验方法求得。一般既可用分析方法，又可用实验方法求得。5.5.若某一问题，若某一问题，中间某区间频段的响应是主要的，中间某区间频段的响应是主要的，可只考虑保留中间模态可只考虑保留中间模态，并同时考虑剩余质量并同时考虑剩余质量 、和剩余柔度、和剩余柔度 的影响，的影响，lKHmHlmlKlCkHl TlllhkGGH12中低阶模态柔度中低阶模态柔度静柔度静柔度剩余柔度剩余柔度mHKH