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1、对函数的有关概念及性质分析导读:绝对值函数是个很广的概念,可分为两大部分,一部分是绝对值施加在X上的,另一部分是绝对值号施加在Y上的,如y=|x|y|=x就记住绝对值号在谁上头就把原图像根据哪一种轴做轴对称变换,记住这一点,不管多复杂的解析式都可以照此办理.绝对值函数可以看作初等函数。3.1导数,是微积分中的重要基本概念。核心词:函数,概念,性质一方面是初等函数有关问题分析:1.绝对值函数的概念及性质绝对值函数是个很广的概念,可分为两大部分,一部分是绝对值施加在X上的,另一部分是绝对值号施加在Y上的,如y=|x|y|=x就记住绝对值号在谁上头就把原图像根据哪一种轴做轴对称变换,记住这一点,不管
2、多复杂的解析式都可以照此办理.绝对值函数可以看作初等函数。1.1绝对值函数的定义域,值域,单调性例如f(x)=a|x|+b是定义域:即x的取值集合,为全体实数;值域:不不不小于b的全体实数单调性:当x0时,单调减函数;增;增;减;1.2绝对值函数图象规律:|f(x)|将f(x)在y轴负半轴的图像有关x轴翻折一下即可,在y轴正半轴的图像不变。f(|x|)将f(x)在x轴负半轴的图像有关y轴翻折一下即可,在x轴正半轴的图像不变。1.3带绝对值的函数求导,即将函数分段。2.取整函数的概念与性质2.1取整函数是:设xR,用x或int(x)表达不超过x的最大整数,并用x表达x的非负纯小数,则y=x称为取
3、整函数,也叫高斯函数。任意一种实数都能写成整数与非负纯小数之和,即:x=x+x,其中x0,+)称为小数部分函数。2.2取整函数的性质:a对任意xR,均有x-1xx0且a不等于1).补充:上面的公式是不可以代常数进去的,只能代函数,新学导数的人往往忽视这一点,导致歧义,要多加注意。(3)导数的四则运算法则:(uv)=uv;(uv)=uv+uv;(u/v)=(uv-uv)/v2.(4)复合函数的导数复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数-称为链式法则。4.高等函数的概念以及含义问题4.1一元微分1)一元微分是设函数y=f(x)在x.的邻域内有定义,x0及x
4、0+x在此区间内。如果函数的增量y=f(x0+x)?f(x0)可表达为y=Ax+o(x)(其中A是不依赖于x的常数),而o(x0)是比x高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且Ax称作函数在点x0相应于自变量增量x的微分,记作dy,即dy=Ax。一般把自变量x的增量x称为自变量的微分,记作dx,即dx=x。于是函数y=f(x)的微分又可记作dy=f(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。当自变量X变化为X+X时,相应地函数值由f(X)变化为f(X+X),如果存在一种与X无关的常数A,使f(X+X)-f(X)和AX之差是X0有关X的高阶无穷小量
5、,则称AX是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微。一元微积分中,可微可导等价。记AX=dy,则dy=f(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。2)其几何意义为:设x是曲线y=f(x)上的点M的在横坐标上的增量,y是曲线在点M相应x在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线相应x在纵坐标上的增量。当|x|很小时,|y-dy|比|y|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似替代曲线段。4.2多元微分1)多元微分的概念:与一元微分同理,当自变量为多种时,可得出多元微分的定义。2)多元微分的运算法则dy=f(x)dxd(u+v)=du+dvd(u-v)=du-dvd(uv)=duv+dvud(u/v)=(duv-dvu)/v23)微分表d(x3/3)=x2dxd(-1/x)=1/x2dxd(lnx)=1/xdxd(-cosx)=sinxdxd(e(x2)/2)=xe(x2)dx高等函数中尚有值定理与导数应用、泰勒中值定理、曲率、方程的近似解、不定积分、定积分、平面曲线的弧长、可降阶的高阶微分方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、向量代数与空间解析几何、重积分及曲线积分以及无穷级数等,本文就简朴的函数问题做一总结。
对函数的相关概念及性质分析
