做好中学数学建模-提升数学课程价值

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1、做好中学数学建模,提高数学课程价值 即将推出的新修订的高中数学课程原则，最突出的变化是突出了“立德树人”的主线规定，在学科课程的学习中，通过贯彻学科核心素养的教与学来培养人和发展人。 数学核心素养是具有数学基本特性的、后天形成的、可以通过数学学习过程培养的、适应个人终身发展和社会发展需要的核心能力与思维品质，涉及数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学核心素养既有独立性，又互相交融，形成了一种有机整体。 作为数学核心素养之一，数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言体现问题、用数学知识与措施构建模型解决问题的过程，重要涉及：在实际情境中，从数学的视角发现问题，提

2、出问题，分析问题，建立模型，求解结论，验证成果并改善模型，最后解决实际问题。 数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。它是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。 高中数学课程原则指出，通过高中数学课程的学习，学生能感悟数学与现实之间的关联，学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；加深对数学内容的理解；学会交流与合伙；提高应用能力，增强创新意识和科学精神；结识数学建模在解决科学、社会、工程技术等问题中的作用。新的课程原则不仅对提高数学建模素养提出规定，并且进一步给出学时和学业质量原则方面的规定。 作为一线教师，如何将提高学生数学建模素养的规定贯彻在平常

3、教学中呢？数学建模素养的形成，需要过程，需要积累，需要交流和反思，也需要问题和情境。为此，在具体教学中要特别注意如下几点。 1.提高结识，敢于实践 在上一轮的课程改革中，数学建模已经被写入高中课程原则，但由于没有学时安排、教学资源匮乏等，并未实际进入课堂。近几年，由于数学和数学应用的迅速发展，数学建模成为大学理工科和部分文科专业的必修内容，成为创新人才培养的有效途径，成为变化学生学习方式、提高创新精神和实践能力的有效手段，因而不断得到注重。 通过已有的建模实践，我们也深刻地感受到数学建模能较好地体现出“立德树人”的规定。做建模的过程，是教师和学生一起成长的过程。团队中的诸多教师有这样的感受，困

4、难是临时的，资源和经验是在参与中迅速增长的，而学生的成长变化是每日可见的，是我们做建模的动力源。 2.把握层次，及时渗入 数学建模是新课标的核心素养，具有很强的综合性，与其她核心素养联系紧密、互相交融。数学建模素养的养成，需要一种渐进的而又有层次的过程，需要在各章节及内容上故意渗入，逐渐提高规定。因此，从数学应用渗入到完整的数学建模活动，涉及如下层次： （1）为了协助学生理解、建立概念、函数、定理、公式等而故意设计的实际情境。（2）直接套用数学概念、函数、定理、公式等，给出有实际意义的成果，或者解释、阐明、得到成果的实际意义。（3）通过简朴的变换，间接套用数学概念、函数、定理、公式等，给出有实

5、际意义的成果。（4）教师或教材给出实际问题，引领学生完毕数学化的，简朴、具体的数学应用。（5）教师或教材给出实际问题，学生自主完毕数学化的，简朴、具体的数学应用。（6）教师或教材给出问题情境，学生自主提出实际问题，师生一起完毕“建立模型”和“模型求解”等重要过程的数学活动。（7）全过程（选题、开题、做题、结题）、学生部分自主（在发现提出问题、模型的选择和建立、求解模型、给出模型成果的解释等环节中，教师部分参与，予以指引和支持）的数学建模活动。（8）全过程、全自主（学生自主发现提出问题，自主完毕数学化的建模过程，自主求解模型，自主给出模型成果的解释，在整个过程中，可以自主谋求教师的协助）的数学建

6、模活动。 作为一线教师，应在平常教学中故意完毕（1）（2）（3）（4）的内容，可以在章节复习中浮现（5）的规定。 （6）（7）（8）是数学建模的专项规定，教材中会有体现，教师可根据学生的状况，选择做到一定限度，如可以只做到（6）的水平。 此外，做好数学建模渗入，也要故意识地抓住“渗入点”。例如：（1）指数函数人口增长、指数爆炸。（2）有实际背景和意义的函数图像。（3）数列的通项与求和存款的本金和利息的计算。（4）分段函数邮费或打车费用的计算。（5）三角函数的应用有实际意义的高度、距离和角度的计算。（6）有实际意义的三角函数值、周期的计算或解释。（7）直线和二次曲线的实际意义（拱桥曲线、入射线、

7、反射线等） 3.关注过程，积累资源 高中数学课程原则对“数学建模活动”提出了过程的规定，重要是指建模要以课题研究的形式来开展。课题可由教师给定，也可由学生与教师协商拟定。课题研究的过程，涉及选题、开题、做题、结题四个环节。学生要撰写开题报告，教师要组织开展开题交流活动。开题报告涉及选题的意义、文献综述、解决问题思路、研究筹划、预期成果等；做题就是解决问题的过程，涉及描述问题、数学体现、建立模型、求解模型、得到结论、反思完善等过程；结题涉及撰写研究报告和报告研究成果，由教师组织学生开展结题答辩。根据选题内容，报告可以采用专项作业、测量报告、算法程序、制作实物或研究论文等多种形式，并且学生也可以采

8、用独立的方式或者小组合伙的方式，完毕课题研究。学生的开题、解题报告，都是不可多得的建模再学习的资源，值得我们分析和挖掘。 本文重要通过一组教学案例来体现以上的想法。 建模活动案例1：蚊香问题的开题讨论 问题情境：市场中所卖某品牌的一片蚊香如图1所示。它的俯视外观图是一种近似的中心对称图形，我们也称这片蚊香的过对称中心的弦为“直径”。经测量，最大直径长为119毫米，最小直径长为106毫米。这一片蚊香可以打开、拆成形状同样但旋转方向相反的两盘蚊香。 问：（1）每盘蚊香大体可以燃烧多长时间（精确到0.1小时）？ （2）如果市场上需要此种品牌的持续燃烧时间分别为4小时、8小时、10小时的蚊香，分别计算

9、它们相应的蚊香片的最大直径（精确到1毫米）。 过程简介： （1）学生提供上网检索，或者自己购买一片蚊香做燃烧实验。通过实验，发现该蚊香的燃烧速度约为每小时 12 厘米。（2）开题。教师组织学生个人或小组讨论后，让学生努力给出解决问题的技术路线，在班内交流解决问题的大体思路，互相启发，互相质疑，从而提高解决问题的可行性。 教师给学生比较充足的时间和机会体现不同的想法，学生会提出拟定蚊香长度的多种模型和算法，此时教师应规定学生比较优劣，重要想法如表1所示。 做题、结题环节从略。 阐明： 这个案例是教师给出拟定问题，用选题、开题、做题、结题四个环节来推动数学建模活动的一种案例。案例的重点是：体现学生

10、在“开题”环节试图解决此问题的不同思考。为了保证数学建模的效果，应特别注重过程和活动的设计，避免变成“讲练范式”，保障学生在建模过程中独立思考的机会和权利。 建模活动案例2：学校内、外建筑物的测高 目的：通过测量学校内的可及目的（旗杆和教学楼的高）和校外的不可及目的（如校外邻近的一座写字楼）的高度，让学生通过度组、合伙学习，用选题、开题、做题、结题四环节，结合几何或三角知识解决实际测高问题，体验数学建模活动的一种完整过程。 情境（测量任务）： 测量本校一座教学楼的高度；测量本校旗杆的高度；测量学校墙外的一座不可及但在学校操场上可以看见的高大写字楼（或其她可见的高大建筑）的高度。规定学生构成23

11、人的测量小组，以小组为单位完毕实际测量的数据获取，以个人为单位填写测量报告（含测量措施、计算过程和计算的数据和成果）。 活动过程： （1）选题：由教师给出原始问题 教师可以对学生提出如下的规定和建议：成立工作小组，讨论小组的工作目的、分工，准备相应的测量工具（可以自制某些简朴的测量工具，如测角的工具）。测量之前，应通过小构成员间的“头脑风暴”，讨论交流，明确测量方案，分工测量数据。最佳有两套方案测量同一建筑物，思考如何才干减小误差。查阅有关资料，设法发现并提出某些测量效率高的新措施。分工合伙，完毕实际测量，及时记录好测量数据。完毕计算和报告，在课上交流，可用实物、照片、模型、PPT等形式体现小

12、构成果和创意。 （2）开题：交流 组织课堂上的开题交流，让学生分组讨论自己打算采用的测量措施，教师和其她同窗可以提出质疑。例如，有的学生提出可以通过测量仰角来计算高度，有的学生提出可以运用太阳的影子来测量楼或旗杆的高度，有的学生提出可以用照相机拍一张测量对象和参照物如已知身高的人在一起的照片，通过参照物的高度按比例算出楼的高度这时教师要适时追问、互相探讨，让学生明确测量要用到的数学模型，培养她们的良好的思维习惯和科研习惯。 事先认真思考，可以减少实践过程中的盲目、低效和失误，也可以让学生意识到看似简朴的问题中也有不少需要认真思考的事物。 （3）做题：实测 测量实行的地点可以选择学校内外的开阔地

13、带，如操场、停车场等，规定学生合伙完毕，但应独立地填写“测量报告”。可安排在统一的时间，这对教师的现场观测和管理有利。 在学生测量过程中，教师要认真巡视，发现和记录态度认真、合伙默契、测量措施好的测量小组和个人，特别注意观测和发现测量中的问题。不合理的测量措施，会导致测量成果浮现很大的误差和严重失实。当学生浮现类似问题时，教师要把它当作一种极好的教育契机，让学生对浮现这样问题的因素进行分析和反思，引导她们发现问题，谋求解决问题的措施。并且，教师要仔细观测，认真记录测量现场学生比较好的创意和测量中的问题，以供讲评时使用。 （4）结题交流和评价 在学生完毕“测量报告”后，可安排一次交流讲评活动，安

14、排报告的学生最佳有特点，如测量成果精确、测量过程完整清晰、测量措施有创意、误差解决有手段、报告书写认真到位事实上，这种交流讲评的环节往往是数学建模过程中让学生收获最大的环节。 （5）生成可拓展的资源（师生共同提出测量后的拓展问题） 这样的测量措施，对吗？全班中有一多半的学生，采用照相法测旗杆的高。要点如下：让一种已知身高1.8米的A学生站在旗杆下，拍一张照片，再从照片上“量出”旗杆有7个A学生的身高，于是就可以推断旗杆有71.8=12.6米高。如果对的，为什么，原理是什么？如果不对，为什么，如何矫正？ 如下是测量后学生提出的新问题，同样可以成为建模的新的生成性资源。 我市的最高建筑物电视塔的高

15、度是多少米？ 一座高度为H米的电视塔，它的信号传播半径是多少千米？信号覆盖面积有多大？ 找一张北京市的地图，看一看该市的地区面积有多少平方千米？电视塔的位置在地图的什么地方，根据计算得到的数据，看看这座电视塔发出的电视信号与否可以覆盖该市？ 分析： 测量楼高是一种很老式的数学应用问题，该课题对培养学生分析和解决问题、动手实践、误差分析等能力很有好处。测量的模型措施可以以几何为主，如比例线段、相似形等，也可以用三角措施，甚至可以用物理措施，如自由落体的记时、几何光学的双镜法等。因此，教师应鼓励学生合伙学习，自主设计、选择测量措施解决问题。也可以提出这样的规定，用两种不同的措施测量同一对象。 此案例是教师给出拟定问题，内容贴近学生已经学过的知识，比较容易上手。不用“讲练”模式，而用选题、开题、做题、结题四环节来推动建模活动，是为了学生能有效地参与解决问题的过程。在合伙交流中，通过想一想、选一选、议一议、说一说、做一做、讲一讲、评一评、比一比等形式，做中学，学中做，体会数学的应用价值，呈现个性特长，尝试创新。 通过建模案例，我们可以看到，要善于设计和组织有效的数学建模活动，让学生“卷入、投入、进一步”其中，在活动中展示个性特长，体现智慧和发明力，激发爱好，提高素养，更好地理解数学的作用和价值。 责任编辑：孙建辉