2022年数学培优竞赛新方法-第讲-一元二次方程的应用

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1、第 4 讲一元二次方程的应用在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者，而在青少年的精神世界中，这种需要特别强烈。苏霍姆林斯基知识纵横方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表。许多数学问题可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解。一元二次方程的应用有以下几个方面：(1)求代数式的值；(2)列二次方程解应用题；(3)解相关几何问题。例题求解【例 1】在平面直角坐标系中有点)2,2(A、)2,3(B，C 是坐标轴上一点。若ABC是直角三角形，则满足条件的点C 的坐标是 _。（山东省竞赛题）思路点拨C 点可在x轴也可能在

2、y轴，又ABCRt直角顶点未确定，故解本例的关键是分类讨论。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 12 页 -【例 2】已知实数x、y满足32424xx，324yy，则yx444的值为（）。A7 B2131C2137D5（全国初中数学竞赛题）思路点拨分别解关于x22、y2的方程。【例 3】在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块高墙（墙长15cm）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围城（如图所示）。若花园的 BC 边长为 x（m），花园的面积为y（m2）（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（

3、2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x 的值，若不能，说明理由；（3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？（青岛市中考题）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 12 页 -【例 4】已知：如图，在Rt ABC 中，C=90，AC=4cm，BC=3cm，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为1cm/s，点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点C 匀速运动，速度 2m/s，连接 PQ。若运动时间为t（s）（2t2)，解答下列问题：（1）当 t 为何值时，PQ BC？（2）设AQP 的面积为

4、 y（cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）如图，连接PC，并把PQC沿 QC 翻折，得到四边形PQP C，并且存在某一时刻t，使四边形PQP C 为菱形，求此时AQP的面积.（青岛市中考题）思路点拨对于（3），先求出 PQ 平分 Rt ACB 周长时 t 值，再看求出t 的值是否满足由面积关系建立的方程。例 4 图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 12 页 -【例 5】如图，在平面直角坐标系中，直线1xy与343xy交于点A，分别交x轴于点 B 和点 C，点 D 是直线 AC 上的一个动点。（1）求点 A、B、C 的坐标；（2）当CBD 为等腰三角形时

5、，求点D 的坐标。分析对于（2），利用“腰相等”建立方程，解题的关键是分情况讨论状况。（太原市中考题）巧定价格【例 6】某公司投资新建了一商场，共有商铺30 间。据预测，当每年的年租金定为10 万元时，当全部租出。每间的年租金每增加5000 元，少租出商铺1 间。该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1 万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000 元。（1）当每间商铺的年租金定位13 万元，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定位多少万元时，该公司的年收益（收益+租金-各种费用）为275 万元？（绍兴市中考题）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 12 页 -学力训

6、练基础夯实1.某药品经过两次降价，每瓶零售价由100 元降为 81 元，已知两次降价的百分率相同，那么两次降价的百分率为_。（大连市中考题）2.庆“五一”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有_支队参加比赛。（鄂州市中考题）3.假如一人患红眼病，经过两轮传染共有144 人患了红眼病，按这样的传播速度，若有两人患了红眼病，经过第一轮传染后患红眼病的人数共有_人。4已知线段AB 的长为 a，以 AB 为边在 AB 的下方作正方形ACDB 取 AB 边上一点E，以 AE 为边在 AB 的上方作正方形AENM 过 E 作 EF 丄 CD，垂足为 F 点

7、 若正方形AENM与四边形 EFDB 的面积相等，則AE 的长为 _（2011 年潍坊市中考题）(第 4 题）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 12 页 -5.图是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图铺成了一个2 2 的近似正方形，其中完整菱形共有5 个；若铺成3 3 的近似正方形图案，其中完整的菱形有13 个；铺成4 4的近似正方形图案，其中完整的菱形有25 个；如此下去，可铺成一个n n 的近似正方形图案当得到完整的菱形共181 个时，n 的值为（）A.7 B.8 C.9 D.10（2011?荆州市中考题）6.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10

8、元，每天可售出500 千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克现该商场要保证每天盈利6 000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（海口市中考题）7.如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120 米，下底长180 米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等设甬道的宽为x 米（1）用含 x 的式子表示横向甬道的面积；（2）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6 米如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.0

9、2 万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用为239 万元？（南宁中考题）第 7 题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 12 页 -8.如图，在平面直角坐标中，四边形 OABC 是等腰梯形，CB OA，OA=7，AB=4，COA=60，点 P 为 x 轴上的一个动点，但是点P 不与点 0、点 A 重合连接CP，D 点是线段AB 上一点，连接 PD（1）求点 B 的坐标；（2）当CPD=OAB，且，求这时点P 的坐标（广东省中考题）能力拓展9.过点 P（-1,3）作直线，使它与两坐标轴围城的三角形面积为5，这样的直线可以作_条。（全国初中数学联赛题）10.参加

10、会议的成员都互相握过手，其中某人与他的一些老朋友握过第二次手。若这次会议握手的总数是159 次，那么参加会议的成员有_人，其中，第二次握手共有_次。（第 19 届江苏省竞赛题）第 8 题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 12 页 -11.如图，直线bxy33与 y 轴交于点 A，与双曲线xky在第一象限内交于点B、C两点，且4ACAB，则k=_.(武汉市中考题）12.如图，正方形A1B1P1P2的顶点 P1、P2在反比例函数xy2)0(x的图象上，顶点A1、B1分别在 x 轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点 P3在反比例函数xy2(x0）的

11、图象上，顶点A2在 x 轴的正半轴上，则点P3的坐标为 _。（2011 年宁波市中考题）13.一个三角形的边长分别为a，a，b，另一个三角形的边长分别为b，b，a，其中 ab，若两个三角形的最小内角相等，ba的值等于（）A.231B.251C.232D.252第 11 题第 12 题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 12 页 -14.如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（）。（山东省竞赛题）A.2537B.253C.251D.22115.（2006?无锡）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB DC，AB=8cm，CD=2cm

12、，AD=6cm 点P 从点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿 AB 向终点 B 运动；点 Q 从点 C 出发，以 1cm/s 的速度沿 CD、DA 向终点 A 运动（P、Q 两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止）设P、Q 同时出发并运动了t 秒（1）当 PQ 将梯形 ABCD 分成两个直角梯形时，求t 的值；（2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ 的面积是梯形ABCD 面积的一半？若存在，求出这样的t 的值；若不存在，请说明理由（无锡市中考题）第 15 题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 12 页 -16.某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍

13、长元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51 张贺卡问这间宿舍里住有多少位学生（山东省竞赛题）17.如图,已知直线)1()1(kkxky(k1)与双曲线y=6/x在第一象限和第三象限分别交于点 A（11,yx）和点 B（22,yx），分别由A、B 向 x 轴引垂线，垂足为M、N，当四边形 AMBN 的面积取得最小值时，求k 的值。（世界数学团体锦标赛试题）第 17 题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 12 页 -18.如图，在 ABC 中，AB=AC=10cm，BD AC 于

14、点 D，且 BD=8cm 点 M 从点 A 出发，沿 AC 的方向匀速运动，速度为2cm/秒；同时直线PQ 由点 B 出发，沿BA 的方向匀速运动，速度为 1cm/秒，运动过程中始终保持PQ AC，直线 PQ 交 AB 于点 P、交 BC 于点 Q、交 BD 于点 F连接 PM，设运动时间为t 秒（0t5）（1）当 t 为何值时，PM BC？（2）设四边形PQCM 的面积为 ycm2，求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使ABCPQCMSS169四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使四边形PQCM 成为等腰梯形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由（2011 青岛市中考题）第 18 题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 12 页 -19.求所有满足下列条件的四位数abcd，abcd=2cdab，其中，数码c 可以为 0。（“新知杯”上海市竞赛题）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 12 页 -